高中数选修同步练习

PAGEPAGE1高中数学人教A版选修1-2同步练习1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与高B．人的寿命与营养C．正方形的边长与面积D．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A、C、D是确定关系，是函数关系，故选B.2.(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为()A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元解析：选B.由表可计算x＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，因为点(eq\f(7,2)，42)在回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))x上，且eq\o(b,\s\up6(^))为9.4，所以42＝9.4×eq\f(7,2)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.1，故回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1，令x＝6得eq\o(y,\s\up6(^))＝65.5.3.为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．解析：相关指数R.R2的取值范围是［0，1］.当R2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任何关系；当R2=1时，即残差平方和为0,x与y之间是确定的函数关系.其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1).答案：（0，1）4.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大.解析：经计算,去掉D（3，10）这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大.答案：D(3,10)1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是A.残差B.残差平方和C.随机误差D.相关指数R2解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1,y1）,(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是A.若残差恒为0，则R2为1B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C.6.（2012·莱州一中高二期中考试）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？7.（2012·莱阳一中期中考试）〖HT〗如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的.如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.综上分析可知,应选A8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为A.1,0B.0,1C.0.5,0.5D.0.43,0.57解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是①l1与l2的相交点为（s,t）；②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);③l1与l2必关于点（s,t）对称；④l1与l2必定重合.10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:(1)作出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）作出残差图；（4）计算R2，并作出解释；（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩.解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示(3)残差分析将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差eq\o(e,\s\up6(^))1≈－1.24，eq\o(e,\s\up6(^))2≈－0.37，eq\o(e,\s\up6(^))3≈0.55，eq\o(e,\s\up6(^))4≈0.47，eq\o(e,\s\up6(^))5≈1.39，eq\o(e,\s\up6(^))6≈0.18，eq\o(e,\s\up6(^))7≈0.09，eq\o(e,\s\up6(^))8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R2计算相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.0415x－0.003875作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.eq\a\vs4\al(11.)(创新题)已知x，y之间的5组数据如下表所示：x13678y12345对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋1与eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？解：用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋1作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1))eq\s\up12(2)＋(2－2)2＋(3－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)－5))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,3).用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(1－1)2＋(2－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a