八年级数学下册讲义（人教版）：勾股定理单元检测（教师版）

第09课勾股定理单元检测一、单选题1．底边上的高为3，且底边长为8的等腰三角形腰长为()．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【详解】本题主要考查了等腰三角形三线合一这一性质.画出图形，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求出腰长为5．解：∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=8，∴BD=4，又AD=3，在Rt△ABD中，AB===5．故选C．2．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式：(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】【详解】解：根据已知条件可得：+2ab=+2ab，则，则这个三角形就是直角三角形.故选：B3．如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC=（）.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【详解】本题主要考查了勾股定理.解：设AB=5x，BC=3x,由题意得AC=4x∵直角三角形ABC的周长为24∴5x+3x+4x=24∴解得：x=2∴AC=8故选B4．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【答案】C【解析】【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面积为=84，（2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面积为=24，故选C.【点睛】此题主要考察勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.5．已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝10，则图中阴影部分的面积为（）A．50 B． C．100 D．【答案】A【解析】【分析】首先根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，得到，，然后结合图形计算即可得到答案．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得，，∴，同理，，∵是直角三角形，斜边，∴，∴图中阴影部分的面积=．故选：．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，运用勾股定理证明三个等腰直角三角形面积之间的关系是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为()．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解析】【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△ACD中，根据勾股定理来求线段AC的长度即可．【详解】如图，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2−BD2=64.在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC==10，即AC=10.故选B.【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算公式.7．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12,则其斜边上的高为（）A． B．13 C．6 D．25【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为=13，∵S△ABC=×5×12=×13h（h为斜边上的高），∴h=．故选A．8．一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）.A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒【答案】C【解析】【分析】本题根据放大后的三角形与三角形相似，故可根据相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．【详解】直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时间扩大一倍．故只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒．故选C.【点睛】本题主要考查的知识点是：相似三角形的应用.由题意得出两个三角形是相似三角形和灵活运用相似三角形的性质是解决此题的关键，这也是解决此题的一个易错点.9．在△ABC中，AB=17，AC=10，BC上的高AD长为8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．9 D．21或9【答案】D【解析】【详解】①∠C为锐角时：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=6+15=21.②∠ACB为钝角时：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=15－6=9.综上：BC=9或21.故选D.点睛：本题关键要考虑两种情况，分别对两种情况结合勾股定理求解即可.10．如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点作于点，交于点，过点作于点，则，此时最小，再利用等面积法求解最小值即可.【详解】解：如图所示：过点作于点，交于点，过点作于点，平分，，．在中，，，，，，，，．即的最小值是4.8，故选：D．【点睛】本题考查的是垂线段最短，角平分线的性质定理的应用，等面积法的应用，确定取最小值时点的位置是解本题的关键.二、填空题11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_______．【答案】8或或．【解析】【详解】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况：（1）如图，当AD为底边上的高时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，根据勾股定理得：．∴BC=2BD=8．（2）如图，当CD为腰上的高时，若等腰三角形为锐角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：．∴BD=AB－AD=5－4=1．在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，根据勾股定理得：．若等腰三角形为钝角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：．∴BD=AB＋AD=5＋4=9．在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，根据勾股定理得：．综上所述，等腰三角形的底边长为8或或．12．观察图形后填空．图(1)中正方形A的面积为__________；图(2)中斜边x＝________.【答案】3613【解析】【分析】图（1）根据勾股定理求出正方形的面积，图（2）直接根据勾股定理可求出x的值.【详解】设正方形的边长为a,∴a2=102-82=36,∴正方形A的面积36;∵直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,∴.故答案为:36,13.【点睛】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.13．四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有______个直角三角形.【答案】1【解析】【详解】∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．【点睛】本题考查了1．勾股定理；2．三角形三边关系；3．勾股定理的逆定理．14．东东想把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm,40cm,50cm的木箱中，他能放进去吗？答：______.(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】【分析】要判断东东能不能将木棒放进木箱中，只需将木棒的长与木箱的最长的长度比较即可；易知，木箱的体对角线最长，先由木箱的长和宽结合勾股定理求出底面对角线的长，再结合长方体的高利用勾股定理求出木箱的体对角线的长；接下来比较求出的木箱的对角线的长与70的大小关系即可得到答案.【详解】作如下长方体，其中AB=50cm，BC=40cm，CC′=30cm，连接AC、AC′，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=4100，在Rt△ACC′中，AC′=＞70，故他能放进去.故答案为能.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是理解木箱所能容纳的最大长度的位置，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续应用勾股定理的条件.15．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．【答案】6【解析】【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，则AB=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．16．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．【答案】a+c【解析】【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答,具体:求证△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根据S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c．．【详解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【点睛】本题考查正方形面积的计算，正方形各边相等的性质，全等三角形的判定．解题关键是本题中根据△ABC≌△CDE证明S3+S4=c三、解答题17．如图，已知等边△ABC的边长为6cm.(1)求AD的长度；(2)求△ABC的面积．【答案】（1）cm；（2）cm2【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一求出AD的长度是3cm，再利用勾股定理即可求出BD的长度；（2）根据三角形的面积公式S=ah，代入数据计算即可．【详解】(1)∵AD⊥BC，∴BD=CD=×6=3cm，∴AD=cm；(2)S△ABC=×BC⋅AD=×6×3cm2【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.18．在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）.【答案】见解析【解析】【详解】以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可．解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．如图所示，

19．若的三边，，满足条件，试判断的形状.【答案】三角形为直角三角形,理由见解析【解析】【分析】这是一道有关勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答题．把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状.【详解】，，即．，，，，，．，，．，，该三角形为直角三角形．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此题的关键就是灵活掌握完全平方公式的特点，用配方法进行恒等变形，在恒等变形的过程中不要改变式子的值.20．如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．【详解】解：连接．，，为直角三角形，，这块地的面积．【点睛】本题考查了学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力，解题的关键是掌握勾股定理的知识．21．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）【答案】25米【解析】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD=π•=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt△ADE中，AE===25．故他滑行的最短距离约为25米．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．22．如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到河岸L的距离分别为AB=2km，CD=4km且，BD=8km．（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），不必说