2022-2023学年湖南省湘潭市湘乡云龙中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年湖南省湘潭市湘乡云龙中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(

)．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.若，，则与的大小关系为

（

）A．

B．

C．

D．随x值变化而变化参考答案：A3.下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，下列对乙运动员的判断错误的是（

）A．乙运动员的最低得分为0分B．乙运动员得分的众数为31C．乙运动员的场均得分高于甲运动员D．乙运动员得分的中位数是28参考答案：A4.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有

（

）A．6种

B．24种

C.180种

D．90种参考答案：D略5.已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C6.已知直线l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若l1∥l2，则a的值为（）A．﹣ B．6 C．0 D．0或﹣参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．从而可求出a的值．【解答】解：∵l1∥l2，∴3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．即6a2+a=0．解得，a=0或a=．故选：D．7.已知,且,则下列不等式成立的是A、

B、

C、

D、参考答案：D8.如图，在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一

点,为上两点,且的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（

）(A)点到平面的距离

(B)直线与平面所成的角(C)三棱锥的体积

(D)的面积参考答案：B考点：空间直线与平面的位置关系及几何体的体积面积的综合运用.【易错点晴】化归与转化的数学思想是高考所要考查的四大数学思想之一.本题以正方体这一简单几何体为背景,考查的是距离角度体积面积的定值问题的判定方法问题.求解时,首先要搞清楚面积是定值,其次是点到面的距离是个定值;这样就容易判定三棱锥的体积也是定值,从而选填答案B.9.设，是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，，为坐标原点，则（

）A． B． C．15 D．参考答案：D由题得，，，所以双曲线的方程为，所以点的坐标为或，所以．故答案为D．10.若对任意的，不等式恒成立，则m的取值范围是（

）A.{1} B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.[e,+∞)参考答案：A由已知可得对任意的恒成立，设则当时在上恒成立，在上单调递增，又在上不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使在在上恒成立，只要，令可知在上单调递增，，在在上单调递减，又故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期为_______参考答案：【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【详解】由题得所以函数的最小正周期为.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知椭圆，，为左顶点，为短轴端点，为右焦点，且，则这个椭圆的离心率等于 。参考答案：略13.双曲线的两条渐近线的夹角为

.参考答案：渐近线为：

∴夹角为：14.设函数，则__________．参考答案：－1点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15.数列满足：，若=64，则n=

.参考答案：7略16.（5分）三角形的面积为，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，设S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为．参考答案：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．利用类比推理可以得到四面体的体积为．故答案为：．17.函数在上的最小值是

参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若函数在处的导数为，则称点为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.（1）设函数f(x)=，其中.①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间.（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2?R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠，α=，β=，若|g(α)g(β)|＞|g(x1)g(x2)|，求λ的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）①=-1++∵=-1+1+a≠0，∴函数f(x)不具有“1—1驻点性”②由==(ⅰ)当a+＜0,即a＜-时，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；(ⅱ)当a+=0,即a=-时，显然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；(ⅲ)当a+＞0，即a＞-时，由=0得=±当-＜a＜0时，-＞0∴x?(0,a+-)时，＜0;x?(a+-,a++)时，＞0;x?(a++,+∞)时，＜0;综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；

当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,a+-)和(a++,+∞)，函数f(x)的单调递增区间为(a+-,a++)；（Ⅱ）由题设得：=3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴且即解得∴=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域R上单调递减.①当λ≥0时，α=≥=x1，α=＜=x2，即α?[x1,x2),同理β?(x1,x2]11分由g(x)的单调性可知：g(α)，g(β)?[g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|不符.②当-1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞=x2即α＜x1＜x2＜β∴g(β)＜g(x2)＜g(x1)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，符合题设③当λ＜-1时，α=＞=x2,β=＜=x1，即β＜x1＜x2＜α∴g(α)＜g(x2)＜g(x1)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|也符合题设由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-119.（本小题满分12分）已函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若对任意x∈R，f(x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)①当x≤－1时，f(x)＝－x－1－x＋3＝－2x＋2；②当－1<x<3时，f(x)＝x＋1＋3－x＝4；③当x≥3时，f(x)＝x＋1＋x－3＝2x－2.∴，∴y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知f(x)的最小值为4，由题意可知a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4.故实数a的取值范围为[－1，4]．20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|?|OQ|的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得a，b，c，即可得椭圆C的标准方程可．（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．同理得：|OQ|=||．故|OP|?|OQ|=||?||=||即可．【解答】解：（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的标准方程：．（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，又∵点M是椭圆C的右顶点，∴M（2，0），AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=||．同理得：|OQ|=||．故|OP|?|OQ|=||?||=||即．而（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=．y1y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=．所以|OP|?|OQ|=3【点评】本题考查了椭圆的方程，及椭圆与直线的位置关系，属于中档题．21.过直线x=﹣2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）若切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求证：直线AB恒过定点．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）不妨设，B（t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）．由y2=4x，当y＞0时，，，可得．同理k2=．利用斜率计算公式可得k1=，得=0．同理﹣mt2﹣2=0．t1，t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根，即可得出k1k2=为定值．（2）直线AB的方程为y﹣2t1=．化为，由于t1t2=﹣2，可得直线方程．【解答】证明：（1）不妨设，B（t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）．由y2=4x，当y＞0时，，，∴．同理k2=．由=，得=0．同理﹣mt2﹣2=0．∴t1，t2是方程t2﹣