2022-2023学年山西省忻州市名校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省忻州市名校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了12个

接种点，在乡镇设立了29个接种点.某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同

接种点的选法共有（）

A.31种B.358种C.41种D.348种

2∙)

A.6B.24C.360D.720

3.从由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的

个数是（）

A.6B.8C.10D.12

4.（X-1）2（M-2X+2）的展开式中，/的系数与常数项之差为（）

A.-3B.—1C.5D.7

5.如图，一圆形信号灯分成4B,C,D四块灯带区域，现有3种不同

的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带

选择不同的颜色，则不同的信号总数为()

A.18B.24C.30D.42

已知72

6.(χ2-2)(X-I)=α0+α1(x-1)H-a2(^x~I)+…+cig(x—I)',则(o⅛+ʤ+

+CI7++2)(c⅛++ɑs)=()

A.8B.5C.2D.4

7.20232023的个位数字为()

A.6B.7C.8D.9

8.已知α=0.9一仇0.9,b=1.1—Inl.l,C=1.001-1.001×Znl.001,则α,b,C的大小

关系为()

A.b<c<aB,c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

9.若C惶I=C辔Y,则X的值为()

A.4B.5C.12D.4或5

二、多选题(本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)

10.下列说法正确的是()

A.10×11×12×...×20可表示为4兆

B.6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次

C.若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种

D.将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同

的安排方法

2

11.已知关于X的方程(χ2-8x+m)(x-8x+t)=0的四个根是公差为2的等差数列｛αn｝

的前四项，Sn为数列｛αjl｝的前n项和，则()

A.α1=2B.m+t=22C.S5=ɑɜD.S10=100

12.已知函数/(x)=JaX2+X一)χ(αH0),下列说法正确的是()

A.存在α使得％=1是函数f(x)的极值点

B.当-1<α<0时，/(x)存在两个极值点

C.aa≤-Γ是"/Q)为减函数”的充要条件

D.存在α使得函数/Q)有且仅有两个零点

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船,若从甲地去丙地必须经过乙地中转,

则从甲地去丙地可选择的出行方式有种.

14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的4位数，其中奇数的个数为.

15.已知Sn是正项等比数列｛αn｝的前几项和，S2=2,则56-5S4+4S2的最小值为.

16.已知函数f(X)=一，若/(x)≥Ii(X-Inx-1)恒成立，则k的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知二项式(2-C)n的展开式中共有10项.

(1)求展开式的第5项的二项式系数；

(2)求展开式中含小的项.

18.(本小题12.0分)

已知函数∕^(x)=X2-α∕nx的图象在点P(l,∕(l))处的切线/过坐标原点.

(1)求实数ɑ的值；

(2)若直线，与抛物线y=-X2+mx+m相切，求抛物线的对称轴方程.

19.(本小题12.0分)

现有4名男生、3名女生站成一排照相.(用数字作答)

(I)两端是女生，有多少种不同的站法？

(2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？

20.(本小题12.0分)

已知等差数列｛%l｝的前n项和是Srι,4α1+α3=16,S5=Sa2.

(1)求数列｛%l｝的通项公式；

(2)若Swι+k-S7n=119成立，求正整数m,k的值.

21.(本小题12.0分)

已知(2C+丧产(n为正整数)的二项展开式.

(1)若C1?+禺+鬃+…+嬴=64,求展开式中所有项的系数之和；

(2)若Ca+C『2=465,求展开式中的无理项的个数；

(3)若n=20,求展开式中系数最大的项.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=-X3+-(1—d)x2—ax.

(I)若α=2,求函数/(%)的极值;

(2)当α>l时，若对V%≥0,((%)+%e*+b≥0恒成立,求b—4Q的最小值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，

所以共有29+12=41种不同接种点的选法.

故选：C.

根据题意该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，由加法原理

计算可得答案.

本题考查分类加法计数原理，属于基础题.

2.【答案】A

rhJ3就9×8×7×6×5×4×3×2×1.

【解析】解：j=一.以8x7x6XM丁一一=6z.

故选：A.

由排列数公式计算可得答案.

本题主要考查了排列数公式的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为这个两位数大于40,

所以选取十位数为4或5,个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，

这个两位数大于40的个数为2×4=8.

故选：B.

数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5,个位数不重复则在剩余的4个数字里选

择1个，即可计算结果.

本题主要考查排列组合知识，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解:因为(X—l)2(x2-2x+2)=(x-l)2[(x-I)2+1]=(x—I)4+(x-I)2,

取x=0可得常数项为：(—I)’+(-4)2=2,

在(X-1)4中，含/的项为△=C∣x2(-1)2=6x2,

在(X-I)2中，含/的项为A=C^x2(-1)°=X2,

所以(X-l)2(x2-2x+2)的展开式中，炉的系数为6+1=7,

所以/的系数与常数项之差为7-2=5.

故选：C.

取X=O即可得常数项，将多项式化为1)4+(X-1)2,根据二项式定理，分别求出(X-1)4,

(%-1)2中/的项数，再求和，即可求得/的系数，即可得出结果.

本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：若3种不同的颜色灯带都使用，

故有两块区域涂色相同，要么4,C,要么B,。相同，有2种方案，

则不同的信号数为2“=12；

若只用2种不同的颜色灯带，则4C颜色相同，B,。颜色相同，只有1种方案，

则不同的信号数为废掰=6；

则不同的信号总数为12+6=18.

故选:A.

根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.

本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解:因为(χ2—2)(x—1)7=α0+—1)+—1)2+…+。9(刀—1)9,

取X=1代入可得：α0=0.

取X=2代入可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+α9(T)>

取X=0代入可得：%—%+。2—。3+。4-0⅛+。6—。7+f⅛—ɑg(?),

c

(ɪ)+G)再除以2可得：α0+α⅛++。6+⅛=2,所以o⅛cι4+a6+a8=2,

(T)—②)再除以2可得：a[+ʤ++。7+。9=0，

所以(。1+ʤ+ɑg+CL∙j+Clg+2)(&2+。4+ɑð+ɑs)=2X2=4.

故选：D.

取X=1代入等式可得a0，分别取X=2,X=0代入等式，组成方程组，联立即可得为+α3+α5+

a7+α9'a2+a4+a6+a8,代入即可求得结果.

本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

7.【答案】B

20232221

【解析】解：因为20232°23=(3+2020)2°23=¾233X2020°+⅛z33°X2020+

2021

C⅛233X20202+...+c202330X20202023,

而20201,20202,…，20202023个位数均为0,

所以20232°23的个位数字与Co2332023X2020°=32°23相同，

10111011

而32023=3×32°22=3×9=3X(10—I)=3×CfOIIlO"UX(-1)°+3×

10111101010n

C∕0n100X(-1)+∙∙∙+3×IOX(-1)+3×C羽#10。X(-l),

因为102,IO2,∙∙∙,IO】。1】个位数均为0,

0t)

所以32023的个位数字与3Xcιoιp10ιX(-1)1010+3×fɪɔɪɪlθX(一I)IIl=3×1011×10-

3=30327相同，

故20232023的个位数字为7.

故选：B.

先将20232023写为(3+2020)2023,用二项式定理展开可知，20232。23的个位数字与32023相同，将

1

32023写为3x(I0_1)1011,再将(10_I)IOll用二项式定理展开可知的个位数字3×C⅛∕θlOX

0

(-I)】。】。+3×eɪθɪɪlθ×(-I)】”】相同,计算结果选出选项即可.

本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解个位数问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档

题.

8.【答案】B

【解析】解：设/(x)=X-ZnX,X>0,则有/^'(x)=1-：=号1,

所以当0<x<1时，∕,(x)<0,f(x)单调递减;

当x>l时，∕,(x)>0,f(x)单调递增.

所以/(0.9)>/(1)=1,/(1.1)>/(1)=1,即有α=0.9-∕∏O.9>1,ð=1.1-Znl.1>1.

令g(x)=x—xlnx(x>0),则g(x)=1—(Znx+1)=-Inx,

所以当0<χ<l时，g'(x)>0,g(χ)单调递增；

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以g(l.OOI)<g(l)=1,即C=LOol-LOOlXlnLooI<1,故α>c,b>c,

令∕ι(x)=ɪn(l+x)-ɪn(l-%)-2x(-1<%<1),有∕√(χ)=占+占-2=ʌɪ>。，

可得函数h(x)单调递增，故有∕ι(0.1)>九(0)=0,可得比1.1-M0.9-0.2>0,

可得0.9—)0.9>1.1—，凡1.1,故a>b,综上所述,c<b<a.

故选：B.

设/(x)=X-InX(X>0)，g(x)=x—xlnx{x>0),利用导函数可得f(x),g(x)的单调性，可得

a>c,a>c,-φ∙∕ι(x)=ln(l+x)—ln(l—x)—2x(—1<x<1),利用导函数可得h(x)在(—1,1)

单调递增，从而有α>b,即可得出答案.

本题考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题.

9.【答案】D

【解析】解：∙∙∙C特1=C告T,

.∙.X+1=2x—3或X+1+2x-3=13,

.∙.X=4或X=5,

经检验，4和5都成立，

故选：D.

直接根据组合数的性质求解即可.

本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目.

10.【答案】BC

【解析】解：因为4部=IIXl2x13X...X20,故4错误；

因为6人两两握手，共握弓=15(次)，故B正确；

先在5个位置中选出3个位置，对s,。，y进行全排列，剩下两个位置将r放入即可，

故有4g=5X4X3=60(种)，而正确的共有1种，

所以可能出现的错误共有60-1=59(种)，故C正确；

因为4=1+3=2+2,

当按3,1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组，

再将两组分配到两个不同科室中：共盘掰=8(种)分法，

当按2,2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科，

故有：a=6(种)分法，故共有8+6=14(种)安排方法，故。错误.

故选：BC.

根据排列数的计算公式可判断4两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算

即可判断B；先对s,O,y进行排列，再将r放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；分3人，1人

一组，和2人，2人一组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：因为｛an｝为等差数列，所以&+。4=α2+α3=8,

因为公差d—2,可得的—1,a2-3,a3—51α4—7,

所以数列｛arj｝的通项公式为ajl=1+2(n—1)=2n—1,

故Sn=n+DX2=砂,代入可得d⅛=5,S5=25,S10=100,

故选项4不正确，选项C,力正确；

根据韦达定理可得，m+t=a1a4+a2a3=7+15=22,故选项B正确.

故选：BCD.

根据韦达定理可得a1+a4=a2+a3=8,进而求得首项，即可得册，Sn,即可判断选项A,C,

D；由韦达定理可知m+t=a1a4+&2。3代入即可判断

本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：由题可知函数/(%)的定义域为(0,+8),f(χ)=iax+l-i=^±^,

对于4选项，若X=I是函数/(x)的一个极值点，有/'(I)=*=。，可得a=0,与aRO矛盾，故A

选项错误；

当Q>0时，4=16+16a>0,记一元二次方程a/+4%—4=0的两个根分别为x2(ɪɪ<x2)»

有％1+%2=—~≤0,XlX2=-ZV°，可得Vo<%2<1，

可得函数/(%)的减区间为(0*2)，增区间为(%2，+8)，

ax

有/(%)≥/(X2)=∖2+%2-"》2>-Inx2>0,此时函数f(%)没有零点；

当a≤-l时，J=16+16a≤0,可得a∕+4x-4≤0,此时函数/(%)单调递减，

由(⑶=*岁≤0(x>0)可得”与¥=4(；—今2-1,所以a≤-l,故C正确；可得此时

函数f(X)最多只有一个零点；

当—l<α<O时，4=16+16α>0,有/+g=—：>。，XlX2=—，>0，

可得0</<%2，函数f(x)的减区间为(0,Xi)，(x2,+∞),增区间为(XI,乂2)，

故/(x)存在两个极值点，故8正确；

且有α*=4-4x1>/(x1)-ɪɑɪf+X1—Inx1=1(4—Xl)+X1—Inx1=ɪɪɪ—Inx1+ɪ,

令g(χ)=gχ-"％+g(χ>1)，有g'Q)=g-=头，令g'(χ)>0可得X>2,

故函数g(x)的减区间为(0,2),增区间为(2,+8),有g(x)≥g(2)=5-伍2>^-"e=3>0.

故有/(%)>0,可得此时函数f(x)最多只有一个零点，由上知。错误•

故选：BC.

求出/,(X)=ax^+4x-4t由X=1是函数f(χ)的一个极值点可得a值可判断A；当a>0时记方程a/+

4x-4=0的两个根分别为与，x2(x1<x2),由韦达定理可得函数/(x)的单调区间，再利用函数

值可判断函数/(x)的零点；当a≤—1时A≤。可得函数/(x)单调递减，由f'(x)≤0可得a≤4(：-

今2一1可判断C及此时函数/(χ)零点个数；当-l<a<0时，由韦达定理可得函数/(X)的单调区

间及极值点个数可判断B；令g(x)=-)X+g(x>1),令g'(x)>0可得求出函数g(x)的单调

性可判断D.

本题主要考查了由函数由零点求参数的取值范围，体现了转化思想的应用，属于中档题.

13.【答案】12

【解析】解：由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有3X4=12(种).

故答案为：12.

由分步乘法计数原理可得答案.

本题考查分步乘法计数原理，属于基础题.

14.【答案】144

【解析】解：根据题意，分3步进行分析：

①，从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法，

②，0不能在千位，则百位的安排方法有4种，

③，在剩下的4个数中任选2个，安排在百、十位，有A掰=12种情况，

则符合题意的奇数的个数是为3X4X12=144个；

故答案为：144.

根据题意，分3步进行分析：①，从1、3、5三个数中取一个排个位，②，分析百位的安排方法

数目，③，在剩下的4个数中任选2个，安排在百、十位，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

15.【答案】-8

【解析】解：设等比数列｛%1｝的公比为q(q>0),

αα=ac2a2222

则S4=S2÷3+4¾+ιl+2Q=S2+(α1+a2)q=S2÷^2Q=2+2q,

442424

S6=S4+a1q+a2q=2+2q+S2q=2+2q+2q,

2424222

S6-SS4+452=2+2q+2q-5(2+2Q)+8=2(q-4q)=2[(ρ-2)-4]≥-8,当且

仅当q2=2,即q=J^Σ时，等号成立，

故56-5S4+4S2的最小值为-8.

故答案为：-8.

根据已知条件，依次将S6,S4化简，再结合二次函数的性质，即可求解.

本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查转化能力，属于基础题.

16.【答案】(一8,1]

【解析】解：因为/(x)≥k(x-Jnx-1)恒成立，所以x>0,

χlnx2

因为/(X)=一=焉=e-->由f(x)≥fc(x-Inx-1)恒成立，

即靖Tn*一2≥k(x—Inx—1)①恒成立,令∕ι(X)=x—Inx—1,

所以∕ι'(X)=I—；=?，即在(0,1)上，∕ι,(x)<0,九(X)单调递减，

在(1,+8)上,/I,(x)>0,∕ι(*)单调递增，故九(〉≥似1)=0,

令t=x—Inx—l(t≥0),①式可化为fT≥kt②,

当t=0时，②式可化为：i≥0,此时不等式恒成立，故k6R;

当t>0时，②式可化为：k≤?恒成立，故只需k≤(?)Jnm即可，

令g(t)==(t>。)，有g'(t)=(t~yc

在((U)上,g'(χ)<O,g(χ)单调递减,

在(L+8)上，g,(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(t)mE=g(i)=1，故k≤ι,

综上：k的取值范围为(一8,1].

故答案为：(一8,1].

n

将/(x)表示为e"-'x-2,原不等式恒成立，即ex-'"*-22∕c(χ一—1)恒成立，对χ—-1进

行换元，构造函数求出新元的范围，则原不等式即可化为-T≥kt,(t≥0),分t=0,t>0两

种情况讨论，当t=0时，代入可知恒成立，当t>0时，对不等式进行全分离，构造新函数，求导

求单调性求出最值即可得Zc的取值范围.

该题考查函数与导数的综合应用，属于难题.

17.【答案】解：(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9,

所以第5项的二项式系数为CJ=126；

(2)由(1)知n=9,记含%4的项为第r∙+1项,

所以7；+i=C^29^r(-<7)r=C^29^r(-l)rx^

T*ft

取2=4,解得r=8,所以T9=律2】(一1)8校=18χ4,

故展开式中含χ4的项为18P∙

【解析】(1)根据项数可求得n=9,根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；

(2)由(I)中的Ti=9,求出通项，使久的幕次为4,求出含/的项即可.

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由/'(x)="一αhιx,得f'(x)=2x-7，

.∙√,(l)=2-α,又/⑴=1,

；・函数/O)=X2-出nx的图象在点P(l,f(l))处的切线1的方程为y=(2-α)(x-1)+1,

把。(0,0)代入，可得O=Q—1,即Q=1；

(2)由(1)得,直线I的方程为y=%,

,(y=X,C

联乂)2II，得/+(1—m)%—m=0,

(y=-xz÷mx+m、J

由题意可得，/=(1—m)2+4m=0,得?n=—1.

••・抛物线的对称轴方程为X=y=-∣.

【解析】(1)利用导数求出函数f(x)=χ2—a7X的图象在点P(1,/(D)处的切线方程，把原点坐标

代入，即可求得a值；

(2)由⑴可得直线1的方程，与抛物线y=-X2+mx+m联立，利用判别式法求得nι,则答案可求.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：(1)根据题意，先排女生，在3名女生中任取2人，安排在两端，有属种方法，

再将其余5人全排列，安排在中间位置，有延种方法，

共有掰×Al=720种方法;

(2)先排男生，有外种方法，排好后，有5个空位，

再在5个空位中任选3个，插入女生，有“种方法，

共有用XAg=1440种方法；

(3)7名学生全排，甲乙顺序有2种，

则甲要在女生乙的右方的排法有年=2520种方法；

【解析】(1)先排女生，在3名女生中任取2人，安排在两端，再将其余5人全排列，安排在中间位

置，由分步计数原理计算可得答案；

(2)先排男生，分析可得排好后，有5个空位，再在5个空位中任选3个，插入女生，由分步计数原

理计算可得答案；

(3)先计算7人全排列的情况数目，用倍分法计算可得答案.

本题考查排列、组合的运用，涉及分类、分步计数原理原理的应用，常见方法：特殊元素优先安

排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用.

20.【答案】解：⑴设等差数列｛an｝的公差为d,由题意有：隗+2J>D

(3Ql-rIUa=o^uɪ-TuJ

解得%=2,d=3,所以an=2+3(n-1)=3n—1,

故数列｛册｝的通项公式为册=3n-l;

rɔʌrbe_c_nIn1Ia∩-&(am+l+∙m+Q_k[3(zn+l)T+3(m+k)-1]_

∖^Δ)rt∣5m+fcDm—CLm+1+QnI+2+÷m+k-5一一

k(6m+3k+l)

2，

有k(6"∖3k+i)=119；可得∕c(6m+3fc+l)=2×7×17,

因为m,keN*,所以6τn+3k+1CN*,

因为6m+3k+l>3k,所以k=2或k=7,

①当嚣;3k+1=7X17巾可得仁⅜由m为正整数，不合题意，舍；

②当{M∙k+l=2xl7时，可<ΛJ满足题意，

综上：m=2,k=7.

【解析】(1)设出公差建立方程组，解出即可得通项公式；

(2)由(I)的通项公式化简Sjn+k-Sm可得k(6τn+3k+l)=2×7×17,根据m,k∈N*,所以3k<

6zn+3∕c+l,所以Zc=2或k=7,对k分类讨论，即可得出结果.

本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由2"=己+盘+鬣+—+制=64可得71=6,

令X=1可得(2+1)6=36=729,

所以展开式中所有项的系数之和为729；

(2)若禺+C厂2=465,则n+四展ɪ=465，解得n=30,或n=-31舍去，

设(2C+1产的通项为4+1=GORO"G)吏=G023θτχ呼,r∈{0,1,2,…,30},

所以当r=l,3,5,…，29时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；

2rr

(3)设(2，五+1)2。的通项为JI=¾(2√^)°-(⅛)=C%22ft竽，

且r∈{0,1,2,…,20},

κ1j(⅛22°-r≥⅛ι219-r,解得6≤r≤7，T7=C品22。-6产裂=635043840χT,「8=

207

Cj02^x^=635043840泮，

所以展开式中系数最大的项为T7=635043840χT和1_635043840x-^∙

【解析】(I)由以+禺+鬃+…+a=2"求出n,再令X=I可得答案；

(2)由盘+C)T2=465求出心求出展开式的通项公式，再由久的指数不为整数可得答案；

(rrn20-r>r∙r-lo21-r

(3)求出展开式的通项公式由\