新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图课后提能训练新人教A版必修第二册

第八章8.2A级——基础过关练1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()A．90°，90° B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的O′x′与O′z′的夹角，所以度数为90°．2．(2023年福州月考)若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如图的一个正方形，则原来图形是()eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【答案】A【解析】由斜二测画法知，平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变．故选A．3．(多选)(2023年太原期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有()A．三角形的直观图是三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【答案】AB【解析】由斜二测直观图的画法规则可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图是平行四边形，所以B正确；长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故C错误；菱形的直观图是平行四边形，故D错误．故选AB．4．如图，某四边形的直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为()A．4 B．4eq\r(2)C．6 D．6eq\r(2)【答案】D【解析】原图形的面积等于“斜二测图形”面积乘2eq\r(2)，由该四边形的“斜二测图形”面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×1＝3，所以原图形面积为3×2eq\r(2)＝6eq\r(2)．故选D．5．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，那么△ABC的面积为()A．8 B．8eq\r(2)C．16eq\r(2) D．16eq\r(3)【答案】B【解析】△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，则直角边的长为2eq\r(2)，故面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4．所以△ABC的面积为4×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．故选B．6．(2023年眉山模拟)用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC边上的高为()A．1 B．2C．eq\r(2) D．2eq\r(2)【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r(2)．根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，得△ABC的边BC上的高AC＝2A′C′＝2eq\r(2)．故选D．7．(2023年银川月考)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，则原平面图形的面积为()A．eq\f(3\r(2),8) B．eq\f(3\r(2),4)C．3eq\r(2) D．6eq\r(2)【答案】C【解析】在直观图中，∠ADC＝45°，AB＝BC＝1，DC⊥BC，∴AD＝eq\r(2)，DC＝2．∴原来的平面图形上底长为1，下底为2，高为2eq\r(2)．∴该平面图形的面积为(1＋2)×2eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3eq\r(2)．故选C．8．有一个长为4cm，宽为3cm的矩形，则其直观图的面积为__________cm2．【答案】3eq\r(2)【解析】该矩形的面积为S＝4×3＝12(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S＝3eq\r(2)(cm2)．9．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为__________．【答案】36eq\r(2)【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq\r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq\r(2)＝36eq\r(2)．10．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2eq\r(2)(cm)；在过点B的与x轴平行的直线上取BC＝B′C′＝1cm．连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知OABC为平行四边形，OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\r(8＋1)＝3(cm)，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，面积为S＝1×2eq\r(2)＝2eq\r(2)(cm2)．B级——能力提升练11．(多选)(2023年建平月考)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的有()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周长是4＋4eq\r(2)【答案】CD【解析】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示，所以△ABC的周长是4＋4eq\r(2)，面积是4，故A错误，C，D正确．由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2eq\r(2)倍，故B错误．故选CD．12．(2023年衡水月考)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC的面积等于()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】B【解析】由已知中△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，∴在△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝eq\r(3)，则△ABC的面积为eq\f(1,2)BC·AO＝eq\f(1,2)(1＋1)×eq\r(3)＝eq\r(3)．13．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC中，最长的是__________，最短的是__________．【答案】AB和ACAD【解析】因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC＞AD．14．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为__________．【答案】4eq\r(2)【解析】设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2eq\r(2)S直观图，得eq\f(1,2)OB×h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×A′O′×O′B′，则h＝4eq\r(2)．故△AOB的边OB上的高为4eq\r(2)．15．如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直