2023年中考数学考前第22讲：函数中四边形存在问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第22讲：函数中四边形存在问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：

平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及

建等式计算等.

解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计

算.难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可

以使计算又好又快.

如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以己知三个

定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.

根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便.

根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便.

具体的解题思路：①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；②转化四边形的存在性

为点的存在性或三角形的存在性：③借助几何特征建等式.

难点拆解：①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画

图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解.②菱形存在性可转化为等腰三角形存在

性处理.③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借

助对称性和中点坐标公式联立求解.④直角梯形存在性关键是利用好直角.

【例题1】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形

如图，在平面直角坐标系中，已知点小一3,4),B(-6,-■2),C(6,-2),若以点4B,

C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点。的坐标,你的答案唯一吗？

eJ

：1-

√-^÷4-3^-⅛.I234567-r

i_______7________•

B-3-C

-4-

-5r

第1页共24页

【例题2】已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形

如图，矩形018C在平面直角坐标系XQy中，点4在X轴的正半轴上，点C在y轴的正半

轴上，0/=4,OC=3,若抛物线的顶点在AC边上，且抛物线经过O,Z两点，直线ZC

交抛物线于点D.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)求点D的坐标.

(3)若点M在抛物线上，点N在X轴上，是否存在以点/,D,M,M为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理曲.

第2页共24页

1.如图，抛物线y=χ2-2χ-3与X轴的负半轴交于/点，与y轴交于C点，顶点是“，经

过C,M两点作直线与X轴交于点N.

⑴直接写出点儿C,N的坐标.

(2)在抛物线上是否存在这样的点尸，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如.图，在平面直角坐标系中，把矩形0/8C沿对角线力C所在的直线折叠，点8落在点

。处,DC与y轴相交于点E矩形OABC的边OC,OA的长是关于X的一元二次方程/一12X

+32=0的两个根，且。4>OC.

(1)求线段0/,Oe的长.

(2)证明△/£)E丝Z∖COE,并求出线段OE的长.

(3)直接写出点。的坐标.

(4)若F是直线ZC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点尸，使以点E,C,P,F

为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

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3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=oχ2+bχ+c(GVO)与X轴交于A(-2,0)、8

(4,0)两点，与y轴交于点C,且OC=2OA.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点记

m=粤，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点Q是X轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在

这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的

坐标；如果不存在，请说明理由.

第4页共24页

4.如图，抛物线y=aχ2+bx-3经过点A(2,-3),与X轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,

且OC=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且NBDo=NBAC,求点D的坐标：

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A,B,M,N为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

第5页共24页

5.如图，是将抛物线y=-χ2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=l,与X轴的一个交点为A

(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点N为抛物线上一点，且BCLNC,求点N的坐标；

(3)点P是抛物•线上一点，点Q是一次函数y="3x+3W的图象上一点，若四边形。APQ为

22

平行四边形，这样的点p、Q是否存在？若存在，分别求出点P,Q的坐标；若不存在，说

明理由.

第6页共24页

6.如图所示，在平面直角坐标系中XOy中，抛物线y=aχ2-2ax-3a（a<0）与X轴交于A,

B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线I：y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线

的另一个交点为D,且CD=4AC.

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线I的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线I上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为反，求a的值；

4

（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形

能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

备用图

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2023年中考数学考前冲刺第22讲：函数中四边形存在问题

答案解析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行

四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等

式计算等.

解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.难

点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算

又好又快.

如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点

为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.

根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便.

根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便.

具体的解题思路：①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；②转化四边形的存在性为点

的存在性或三角形的存在性：③借助几何特征建等式.

难点拆解：①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，

借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解.②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处

理.③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助

对称性和中点坐标公式联立求解.④直角梯形存在性关键是利用好直角.

【例题1】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形

如图，在平面直角坐标系中，已知点4(—3,4),8(—6,—2),C(6,-2),若以点力，B,

。为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点。的坐标，你的答案唯一吗？

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lʃ

A5；

eJ

⅛•/I

•I

√6-5-4-32-l⅛.1234567v

4..............................-2-∙

B-3.C

解：答案不唯一，有三种情况：若/8为平行四边形的对角线，则点。的坐标为(一15,4)；

若BC为平行四边形的对角线，则点。的坐标为(3,-8)；若Ne为平行四边形的对角线，

则点。的坐标为(9,4).

【例题2】已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形

如图，矩形0/8C在平面直角坐标系XQy中，点Z在X轴的正半轴上，点C在y轴的正半

轴上，04=4,0C=3,若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O,N两点，直线ZC

交抛物线于点D.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)求点D的坐标.

(3)若点M在抛物线上，点N在X轴上，是否存在以点4D,M,N为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的顶点为E,根据题意，得E(2,3).

设抛物线的函数表达式为y=α(χ-2)2+3,

将(4,0)代入，得0=4α+3,即〃=—,

4

.∙.抛物线的函数表达式为y=-⅛-2)2+3=--χ2+3x.

44

(2)设直线AC的函数表达式为y=Ax+6(Λ≠0),

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将(4,O),(O,3)代入,

k=£

∣4k+b=0,A,

得解得

b=3,b=3.

故直线4C的函数表达式为＞=一为+3,

4

将直线AC的函数表达式与抛物线的函数表达式联立,

r3_)

V=­x+L3,

X=1

4x=4,

得解得9或

V=—-χ2+3x,y=0.

L44

.∙.点。的坐标为力.

(3)存在，分两种情况考虑:

I.若40为平行四边形的对角线，则有MD=AN.

由对称性得到∕3'力,即。跖=2,故M=2,

二点M的坐标为(2,0).

II.若/。为平行四边形的一边，则MN〃4D,MN=4D.

①

①当点M在X轴上方时，如图①所示.

由I知∕N2=2,

.∙.点M的坐标为(6,0).

②当点〃在X轴下方时，如图②所示，过点。作。0_LX轴于点0,过点”3作〃3P_LX轴

于点P,可得AADQmANMWP,

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，点My的纵坐标为一2.

4

将W=,代入抛物线的函数表达式，得-2=-4+3χ,解得XM=2一币或XM=2+3,

444

：.XN=XM^-3=S或由一1,

二用(一币一1，O),NA√7-l,0).

综上所述，满足条件的点N有4个，NQ0),N2®0),M(-√7-l,0),M(√7-l,0).

1.如图，抛物线y=χ2-2χ-3与X轴的负半轴交于4点，与y轴交于C点，顶点是经

(1)直接写出点/,C,N的坐标.

(2)在抛物线上是否存在这样的点尸，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)/4(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).

(2)存在.若ZC为平行四边形的对角线，则点尸的坐标为(2,-3)；若/N为平行四边形的

对角线，则点P的坐标为(一4,3)；若CN为平行四边形的对角线，则点尸的坐标为(-2,

-3).把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2,-3)在该抛物线上，因此存在符合条件

第11页共24页

的点P,点尸的坐标为(2,-3).

2.如图，在平面直角坐标系中，把矩形ONBC沿对角线ZC所在的直线折叠，点8落在点

D处,DC与y轴相交于点£矩形OABC的边OC,OA的长是关于X的一元二次方程x2-12x

+32=0的两个根，且OaoC.

(1)求线段。1,OC的长.

(2)证明AADEW△COE,并求出线段OE的长.

(3)直接写出点。的坐标.

(4)若/是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P,使以点E,C,P,F

为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)解χ2-i2r+32=0得x∣=8,X2=4.

：边。C,0/的长是关于X的一元二次方程/-12x+32=0的两个根，且Qi>0C,

：.OA=8,OC=4.

(2)∙.∙把矩形0/8C沿对角线/C所在的直线折叠，点B落在点D处,。。与y轴相交于点E,

LAD=AB=CO,NADE=NABC=NCOE,

又,：NAED=NCEO,

：.AADE/△COE(AAS),

∙*∙CE=AE=OA—OE=8—OE.

在必Z∖QET中，由勾股定理得OE2+OC∙2=CE2,

即OE2+42=(8-QE)2,

：.0E=3.

(3)如图所示，作£)A/_Lx轴于点Af,

则aCOEs△CMQ,

第12页共24页

gp-ɜ--—⅛—=£,

、DM4+0M8’

.∖OM=1-2DM=2—4,

5f5

工点D的坐标为（一£,£）.

⑷存在.

如图②所示，点P的坐标为(4,5)；

如图③所示，点P的坐标为P3(石，3-2√5);

③④

第13页共24页

如图④所示，点户的坐标为尸4(一心，3+2√5).

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=αχ2+bχ+c(o<0)与X轴交于A(-2,O)、B

(4.0)两点，与y轴交于点C,且OC=2。4

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y=kx+l(A>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记

m=粤，试求m的最大值及此时点P的坐标；

DU

(3)在(2)的条件下，点Q是X轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在

这样的点Q、M使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的

坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)因为抛物线y=αχ2+bχ+c经过A(-2,0)、B(4,0)两点，所以可以假设

y=a(x+2)(x-4),求出点C坐标代入求出。即可；

(2)由可得m=粤=粤，根据关于m关于X的二次函数，利用二次函

DKDC

数的性质即可解决问题；

(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.分两种情形分别

求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；

【解答】解：(I)因为抛物线y=αχ2+bχ+c经过4(-2,0)、8(4,0)两点，

所以可以假设y=α(x+2)(x-4),

V0C=20AfOA=2f

：.C(0,4),代入抛物线的解析式得到Q=-2，

.∙.y=-+(x+2)(x-4)或y=-ɪ×2+^+4或y=-W(X-I)2+-^-.

(2)如图1中，作PE_Lx轴于£,交BC于F.

第14页共24页

∖'CD∕∕PE,

：.丛CMDS丛FMP,

PMPF

../D=-----=-----，

DHDC

直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,则。(0,1),

YBC的解析式为y=-x+4,

设P(n,-ɪ"2+0+4),则F(n,-∏+4),

2

：.PF=--n2+n+4-(-n+4)=-±(n-2)2+2,

22

zɔʌ

.•.m=P-F---------1--(n-2)2H-2J2,

CD63

-三<0,

6

2

二当n=2时，m有最大值，最大值为《，此时P(2,4).

3

(3)存在这样的点Q、Λ/,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.

①当。P是矩形的边时，有两种情形，

。、如图2-1中，四边形OQNP是矩形时,

第15页共24页

有（2）可知P（2,4）,代入y=kx+l中，得到k==,

；・直线DP的解析式为y=∙^∙x+l,可得。（0,1）,E（■彳，0）,

由AOOESz∖Q0o可得UU=，”，

00OD

2

ΛOD=OE∙OQ9

2

Λl=-∙0Q,

3

3

ΛOQ=-⅛-,

2

3

.*.Q(二，0).

2

根据矩形的性质，将点P向右平移■1个单位，向下平移1个单位得到点N,

37

ΛΛ∕（2+—,4-1）,即N,3）

22

b、如图2-2中，四边形PDNQ是矩形时,

；直线PD的解析式为y=∙fx+l,PQLPD,

2

216

.∙.直线PQ的解析式为y=3x+T,

ΛQ(8,0),

根据矩形的性质可知，将点。向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

222

②当。P是对角线时，设Q(x,0),则QD2=χ2+ι,QP2=(x-2)+4,PD=13,

∙.∙Q是直角顶点，

.∖QD2+QP2=PD2,

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Λχ2+1+（χ-2）2+16=13,

整理得χ2-2x+4=0,方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的点N坐标为（1，3）或（6,-3）.

2

4.（2017山东临沂）如图，抛物线y=aχ2+bχ-3经过点A（2,-3）,与X轴负半轴交于点

B,与y轴交于点C,且0C=30B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且/BDO=NBAC,求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A,B,M,N为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)待定系数法即可得到结论；

(2)连接AC,作BF_LAC交AC的延长线于F,根据已知条件得到AF〃x轴，得到F(-1,

-3),设D(0,m),则OD=Im即可得到结论；

(3)设M(a,a2-2a-3),N(1,n),①以AB为边，则AB〃MN,AB=MN,如图2,过

M作MEj"对称轴y于E,AF_Lx轴于F,于是得到aABF之4NME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,

得到M(4,5)或(-2,11);②以AB为对角线，BN=AM,BN〃AM,如图3,则N在X

轴上，M与C重合，于是得到结论.

【解答】解:(1)由y=a×2+b×-3得C(0.-3),

ΛOC=3,

V0C=30B,

ΛOB=1,

ΛB(-1,0),

-4Λ~2d—3--3

把A(2,-3),B(-1,0)代入y=aχ2+bx-3得｛,.,,

。-b-3-01,

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Λa=l,b=-2,

.∙.抛物线的解析式为y=×2-2x-3；

(2)设连接AC,作BF_LAC交AC的延长线于F,

VA(2,-3),C(0,-3),

；.AF〃x轴，

F(^1,-3),

ΛBF=3,AF=3,

∕BAC=45",

设D(0,m),则OD=∣m∣,

VZBDO=ZBAC,

二∕BDO=45°,

ΛOD=OB=I,

.".∣m∣=l,

,m=+l,

ΛDι(0,1),D2(0,-1)；

(3)设M(a,a2-2a-3).N(1,n),

①以AB为边，则AB〃MN,AB=MN,如图2,过M作ME_L对称轴y于E,AF_Lx轴于F,

则aABF丝Z∖NME,

.∙.NE=AF=3,ME=BF=3,

Ia_11=3>

.*.a=3或a=-2,

ΛM(4,5)或(-2,11)；

②以AB为对角线，BN=AM,BN〃AM,如图3,

则N在X轴上，M与C重合，

ΛM(0,-3),

综上所述，存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(-2,11)

或(0,-3).

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ΛΓ

5.(2017山东泰安)如图，是将抛物线y=-χ2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=l,与

X轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点N为抛物线上一点，且BCLNC,求点N的坐标：

33

(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=;/+］的图象上一点，若四边形OAPQ为平

行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P,Q的坐标；若不存在，说明

【分析】(1)已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式;

(2)首先求得B和C的坐标，易证AOBC是等腰直角三角形，过点N作NHJ_y轴，垂足是

H,设点N纵坐标是(a,-a2+2a+3),根据CH=NH即可列方程求解；

(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1,且PQ〃0A,设P(t,-t2+2t+3),代入

y=∙∣χ+∙∣∙,即可求解.

【解答】解：(1)设抛物线的解析式是y=-(X-I)2+k.

把(T,0)代入得0=-(-1-1)2+k,

解得k=4,

则抛物线的解析式是y=-(×-l)2+4,即y=-χ2+2x+3:

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(2)在y=-χ2+2χ+3中令χ=o,则y=3,即C的坐标是(0,3),OC=3.

VB的坐标是(3,0),

ΛOB=3,

AOC=OB,则4OBC是等腰直角三角形.

ΛZ0CB=45o,

过点N作NH_Ly釉，垂足是H.

VZNCB=90o,

ΛZNCH=45o,

ΛNH=CH,

・・.HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

设点N纵坐标是(a,-a2+2a+3).

Λa+3=-a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=l,

AN的坐标是(1,4)；

(3)・・・四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=I,且PQ〃OA,

设P(t,-t2+2t+3),代入y=3χ+二，则-t2+2t+34(t+l)+—,

2222

整理，得2t2-t=0,

解得t=0或二∙

2

15

・・・-t2+2t+3的值为3或著.

6.（2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中XOy中，抛物线y=ax?-2ax-3a（a<

0）与X轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线I：y=kx+b与y轴负半轴

交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

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(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)求直线I的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)点E是直线I上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为与，求a的值；

(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形

能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【分析】(1)解方程即可得到结论；

(2)根据直线I：y=kx+b过A(-1,0),得到直线I：y=kx+k,解方程得到点D的横坐标为

4,求得k=a,得到直线I的函数表达式为y=ax+a;

(3)过E作EF〃y轴交直线I于F,设E(x,ax2-2a×-3a),得到F(x,a×+a),求出EF=a×2

-3ax-4a,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

(4)令ax?-2ax-3a=ax+a,即ax?-3ax-4a=0,得至IJD(4,5a),设P(1,m),①若AD

是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结

论.

【解答】解：(I)当y=0