2024届高考物理第一轮复习重难点练习：第十一章 强化二十二　带电粒子在立体空间中的运动

专题强化二十二带电粒子在立体空间中的运动

旧标要求】1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和叠加场中的旋进运动.2.掌握带

电粒子在立体空间中的运动的解题思路和处理方法.

题型一带电粒子的螺旋线运动和旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的.现在主要讨

论两种情况：

(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒

子在磁场中就做螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁

场平面的匀速圆周运动.

(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进

运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运

动.

I例1】如图所示，质子以初速度。进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与

磁场方向的夹角为。.己知质子的质量为m、电荷量为e.质子重力不计，则下列说法正确的是

()

B

A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里

B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为f—

C.质子做螺旋线运动的周期为瑞］

D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为一"一

答案D

解析将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度oi=osin。，沿磁场方向的速度02=ocos

e,质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的枕迹为

螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为「=写

CD

空那'，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为7=竽=缪，选项C错误；一个周期

CDV1CD

内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离（即螺距）为X=02T=—市一，选项D正确.

［例2】（2023•山东荷泽市模拟）在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大

小为8,电场强度大小为E,方向均沿x轴水平向右.在。点，一个a粒子（氢原子核）以速

度。o沿与x轴夹角为60。的方向射入电、磁场，己知质子质量为〃?、电荷量为%不计a粒

子的重力.求：

（l）a粒子离x轴的最远距离；

（2）a粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能.

答案（1）苜^~（2）2机。J+---（v0+—）

解析（1）由题意可知a粒子的质量为〃％=4〃八电荷量为私=2<7，将a粒子的初速度分解成

沿x轴方向的分速度内与垂直x轴方向的分速度巧，则有

f.v=yocos6O0=^Vo,vv=fosin60°=坐i>o

由于q与磁场方向平行，不受洛伦兹力影响，电场方向沿着x轴方向，只影响内，不影响外,

故a粒子在电、磁场中的运动可分解为：垂直于x轴的平面

内做匀速圆周运动，沿x轴方向做匀加速直线运动.对于垂直于x轴平面内的匀速圆周运动，

有必必解得圆周运动半径行="吟故a粒子离x轴的最远距离是

直径的长度，即为2小;“）；

（2）a粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时，由于在垂直于才轴的平面内做匀速圆周运动，

可知此过程经历的时间『=37=3乂冽整=且譬，沿x轴方向的匀加速直线运动所通过的位移

qb

、=0."+%尸，又加速度”=誓=篝，解得x=^（Vo+喈）

a粒子从。点射出后到第3次与x轴相交的过程，由动能定理有q<xEx=Ek—

2\2itmE.6nE、

联立解得a粒子从。点射出后,第3次与尤轴相交时的动能Ek=2wy0-F—^―（。。+丁）.

题型二带电粒子在立体空间中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系.带

电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律,

再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.有时需要将粒子的运动分

解为两个互相垂直的平面内的运动（比如螺旋线运动和旋进运动）来求解.

【例3】（2022•山东卷・17）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场

约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系。到z中，0<zWd空

间内充满匀强磁场I,磁感应强度大小为8,方向沿x轴正方向；-34Wz<0,的空间内

充满匀强磁场H,磁感应强度大小为学3,方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45。；

z<0,的空间内充满沿），轴负方向的匀强电场.质量为加、带电量为+g的离子甲，从

yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为£,

在），Oz平面内运动一段时间后，经坐标原点。沿z轴正方向进入磁场I.不计离子重力.

（1）当离子甲从A点出射速度为加时，求电场强度的大小E；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度Um；

（3）离子甲以鬻的速度从。点沿z轴正方向第一次穿过x。），面进入磁场I,求第四次穿过xO），

平面的位置坐标（用”表示）；

（4）当离子甲以鬻的速度从。点进入磁场I时，质量为4%、带电量为+“的离子乙，也从O

点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场I,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第

一个交点的时间差忽略离子间相互作用）.

/Wsin^cos^aBd

口荥⑴qL⑷加

（3）（4d,0）（4）（2+2啦）湍

解析（1）如图所示

将离子甲在A点的出射速度。o分解到沿y轴方向和z轴方向，离子受到的静电力沿)，轴负方

向，可知离子沿z轴方向做匀速直线运动，沿)，轴方向做匀减速直线运动，从A到。的过程,

有

L=vocosp-t,Uosinp=at,a—

阴，“5r-加溢出6cosB

联工解仔E=----瓦:

(2)如图所示

2

离子从坐标原点O沿Z轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得“。归二一1-

离子经过磁场I偏转后从y轴进入磁场H中，由洛伦兹力提供向心力可得qs•坐8=詈，可

得rw

为了使离子在磁场中运动，需满足门Wd,“W3d

则可得uiW噜

故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为^

(3)离子甲以。=等的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场I,离子在磁场

4

。

I中的轨迹半径为nB2

离子在磁场II中的轨迹半径为rz=^

离子从O点第一次穿过到第四次穿过xOy平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过xOy平面的x坐标为

X4=2「2sin450=d

离子第四次穿过平面的y坐标为＞4=2〃=d

故离子第四次穿过X。)，平面的位置坐标为(d,d,0):

(4)设离子乙的速度为。'，根据离子甲、乙动能相同，可得%"=/x4w'2

离子乙在磁场I中的轨迹半径为

,4mvr

r'=~^~=d=2n

离子乙在磁场n中的轨迹半径为

,4mv1r-

广2=7z~=y]2d=2r2

q*B

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示,

从。点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有

"r+丁k翳+能=(2+2&党

一品，+/，=9昔+卜*=”4的篝

02B

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为。=此一，甲

课时精练

1.（2022・重庆卷5）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了解

等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想

化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E,磁感应强度大小为

员若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为必，

垂直于磁场方向的分量大小为。2,不计离子重力，则（）

A.电场力的瞬时功率为qE而可正

B.该离子受到的洛伦兹力大小为*出

C.6与5的比值不断变大

D.该离子的加速度大小不变

答案D

解析根据功率的计算公式可知P=Focos0,则电场力的瞬时功率为P=Egi,A错误；由

于功与磁场8平行，则根据洛伦兹力的计算公式知尸洛=卯28,B错误；根据运动的叠加原

理可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则5增大，力不

变，S与0的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加

速度大小不变，D正确.

2.如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS

上的。点处以初速度a=10m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为g、质量为m的小球.若

磁感应强度大小8=等，g取10m/s?.求:

（1）小球离开磁场时的速度大小；

（2）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离.

答案（1）10^2m/s（2*/兀］6m

解析（1）小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好

Tjr/77

转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为1=/=直=1S,则离开磁场时在竖直方向上的速

度马，=g/=10m/s,故小球离开磁场时的速度大小为0=而再五?=10^m/s.

(2)小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为＞=上尸=5m,小球在水平方向做匀速圆周运动

有4加8=噂，解得R=",水平方向位移为直径，即x=2R=〃*=^m,则小球离开

1KC/DCjD兀

磁场时的位置与抛出点的距离为i=^jr+y2=^y7i2+16m.

3.某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长

度d=4R,内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正

向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大.现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初

速度。o沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的3点进入II区，在以后的运动过程中

恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖

直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为，以电荷量为＜7,不计离子重力，求：

(1)电场强度的大小；

(2)离子到达B点时速度的大小；

(3)H区中磁感应强度的大小；

(4)II区的长度乙应为多大.

3mv(^52mvo,

答案⑴(2)4^O(4)rniR+^-/?5=1,2,3,…)

解析(1)离子在I区做类平抛运动，根据类平抛运动的规律有4R=o”，竽=/7产，根据牛顿

第二定律有。=普，解得电场强度的大小为£=

(2)类平抛过程由动能定理有—；机的2,解得离子到达B点时速度的大小为U=^Vo.

(3)离子在II区内做复杂的旋进运动.将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴

正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示.设

临界圆轨迹半径为r,根据几何知识有(R—r)2=F+与，解得离子的轨迹半径为离子

沿y轴正方向的速度为Oy=\jV2一研)2=/0,则根据洛伦兹力提供向心力有qv、B=~^~

解得II区中磁感应强度大小为8=2铮.

CJK

（4）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为T=—,由题意知离子在n区运动的时间

为T的整数倍，离子在z轴正方向上做句加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可

13层兀2

得£=。0〃7+呼（〃7）2（〃=1,2,3,"・）,联立解得H区的长度为乙=〃兀/?+jyR（”=l,2,3,,,,）.

4.如图所示，一些质量为，小电荷量为+q的带电粒子从一线状粒子源射出（初速度可视为0）,

经过电压为U的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从M5段垂直射出（S为MF中点），进

入棱长为L的正方体电磁修正区内（内部有垂直面MPRG的方向如图，磁感应强度B和电场

强度E大小未知的匀强磁场与匀强电场）.距离正方体底部小L处有一与RNAG平行且足够

大平板.现以正方体底面中心。在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系（其

中x轴与GR平行）.所有带电粒子都从正方体底面离开，且从M点进入正方体的粒子在正方

体中运动的时间满足葬.不计粒子重力.

（1）求粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时速度的大小；

（2）粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需的时间；

（3）若满足关系式笺，求从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标.（结果用乙

表示）

答案（1寸烹⑵2AA展

/J9-2小9+4兀）

解析（1）设粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时的速度大小为V,根据动能定理有qU

=^mv2,解得

（2）在正方体中，粒子在平行于MPRG平面方向的分运动为匀速圆周运动，在垂直于MPRG

平面方向的分运动为匀加速直线运动，设粒子做圆周运动的周期为T,根据洛伦兹力提供向

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