2023年高考金榜预测数学试卷二（解析版）

2023年高考金榜预测卷（二）（新高考卷）

数学

一、单项选择题

/11ɪʌ/ɜɔ

(ɪ-ɪ)-+—ɪ

1.复数Z=——IL人则回=()•

ɪɪvɜ.

22

A.√2B.2C.4D.8

K答案HA

故选：A.

2.已知集合A=k∣χ2-5x+6≤θ},集合B=WV=Jlog?则AUB=()

A.(1,3]B.(l,+∞)C.[2,+∞)D.[2,3]

K答案Uc

K解析?A={Λ*-5x+6≤θ}={x∣2≤x≤3}

B=卜,=JIog2(*-1)}={巾≥2}

则AUB={x∣2≤X≤3}u{x∣X≥2}={x∣x>2}

故选：C

3.设“，OeR,则“ln@>0"是“lnα>lnb”的()

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案》B

K解析』ln→O,则f>l,当a=-2,b=T时，满足£>1,但此时lna,ln匕无意义，故

bbb

充分性不成立，

若lna>ln6,则ln“-Inb=Inq>0,故必要性成立,

b

则“In：>0”是“Inα>Inb”的必要不充分条件.

b

故选：B

4.某地区居民的肝癌发病率为0.1%,现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结

果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其

化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是()

A.0.999B.0.9C.0.5D.0.1

K答案2C

K解析》记事件A:某人患肝癌，事件8:化验结果呈阳性，

由题意可知P(A)=」一，P(BIA)=丝■,尸(8同=—,

所以，P(B)=P(A)∙P(B∣A)+P(孙P(B同=篝?2詈4,

现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是

999

⑶，(砌一P(A)∙P(8∣A)一IOrl

(IP(B)~P(B)999~2∙

505

故选：C.

5.已知a=(sinα,l-4cos2<z),b=(l,3sina-2),a,若，则tan[ɑ-?)=

()

A.-B.—C.-D.—

7777

K答案DB

K解析H因为W/0,

所以1—4CoS2α=Sina(3Sina-2),

l-4(l-2sin26r)=3sin2a-2si∏6Z,

5sin2cr+2sinσ-3=0,

又α∈(θ,g[,所以Sina=∣,

3

所以tanl=—，

4

W1

tana-1

所以tan(ɑ-?4_=_1

1+tana1+37,

4

故选：B.

6.设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75°东经1200,则甲、

乙两地的球面距离为()

A.垂RB.-RC.—RD.—R

I663

K答案》D

K解析H甲、乙两地在东经120°线上，所对圆心角为75°+45°=120°,所以甲、乙两地的

球面距离为球面大圆周周长的：，为一兀R,故选：D.

33

x。+X,—2≤x≤-1,、/、,、

7.已知定义在~2,2]上的函数/(力=伍("τ<χ<2,若g(x)=∕(x)i(x+l)的图像

与X轴有4个不同的交点，则实数。的取值范围是()

K答案》A

K解析》因为g(x)=∕(x)-α(x+l)的图像与X轴有4个不同的交点，所以与

易知直线y="(x+l)恒过定点A(TO)，斜率为”,

当直线与/(x)相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为C(Λn,%),则

a=y=------U

,⅞+1，解得ɪɪ，所以切线为y=-(χ+l),此时有三个交点；

^(x0+l)=ln(x0+l)[-e

/、.In3In3

当直线过点B(2,ln3)时，L=讦司=亍，此时有四个交点；

综上所述：

3e

故选：A.

22

8.设耳，尸2分别为双曲线C：'-方=l(a>O力>0)的左、右焦点，A为双曲线的左顶

点，以耳行为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点，且NM4N=135。，(如

图)，则该双曲线的离心率为()

A.√2

K答案》D

K解析》依题意得，以线段为直径的圆的方程为X2+/=C2,

双曲线C的一条渐近线的方程为y=-x.

以及/+从=。2,

X=-a,

y=-b.

不妨取M(α,8),则N[-a-b).

因为A(-α,0),∕M4N=135,

所以ZMAOɪ45,

b

又∠

tanfΛ∕AO五

b

所以

2a

所以b=2a,

所以该双曲线的离心率

故选：D.

二、多项选择题

9.设，",，?是两条不同的直线，ɑ,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若加_1_〃，∕n±<z,nVβ,则a_L/B.若InUa,aI/β,则加〃尸

C.若，〃_1_〃，mLa,nJ/β,则a_L/?D.若αβ=I,mlIa,mlIβ,则m〃/

K答案XABD

R解析IIA选项：若加_L",ιnYa,〃工β,则a，夕，故A正确；

B选项：由面面平行的性质可得若根ua,allβ,则机//月，故B正确：

C选项：若加，〃，n∕∕β,则a与P可能平行，也可能相交，故C错误；

D选项：过“作平面/,使得/a=a,过加作平面使得5c"=b,

因为〃“∕a,mu∕,γc=a,

则。〃加，同理b∕∕w,

故a∕∕b,又acB,bup,

所以。///，又qua,aβ=l,

a/H,又a∕Λn,

所以加/〃，故D正确.

故选：ABD.

10.设函数/（X）=CoSlX+；）,则下列结论正确的是（）

A.f(χ)的一个周期为一2兀B.y=∕(χ)的图象关于直线X=W对称

C./(X+兀)的一个零点为X.D.F(X)在(∣∙,j上单调递减

K答案HABC

K解析》对于A项，函数的周期为2Aπ,⅛∈ZΛ≠O,当Z=T时，周期T=一2兀，故A

项正确；

对于B项，当X=当时，COS(X+1)=COS停+1)=COS与-CoS3π=cosπ=-l为最小值，此时

y=/(χ)的图象关于直线X='对称，故B项正确；

对于C项，/(χ+))=cos(x+g∙),cos[^+y]=cosy=0-所以/(χ+万)的一个零点

TT

为X=N故C项正确；

6

πSTTTr4TT

对于D项，当上<x<π时，—<x+ʌ<-,此时函数/(χ)有增有减，不是单调函

2633

数，故D项错误.

故选：ABC.

11.设等比数列｛《,｝的公比为4,其前“项和为5“，前，项积为且满足条件4>1,

⅛2∙⅛>1.(¾22-l)∙(⅛-l)<0,则下列选项正确的是()

A.｛a,,｝为递减数列B.$022+1<§2023

是数歹｛方｝中的最大项

C.IJD.T4n45>1

R答案HAC

¾022-l>0

K解析H由(％022-1卜(%)23-1)<。可得：α2O22-1和,⅛23-l异号，即.八或

“2023—1<°

。2022-1<。

〃2023一1>°

而〃I>1,。2022,〃2023>1，可得“2022和“2023问号,且一个大于ɪ，一，个小于1.

因为q>l,所有〃2022>1，。2023<1，即数列｛4｝的前2022项大于1,而从第2023项开始

都小于1.

对于A：公比4=因为所以α,,=""i为减函数，所以｛凡｝为递减数列.故

a2O22

A正确；

对于B：因为。2023<1，所以“2023=*^2O23-⅛22<］，所以,^2022+1>,^2023.故B错误；

对于C：等比数列｛%｝的前"项积为［，且数列｛4｝的前2022项大于1,而从第2023项

开始都小于1,所以与β2是数列｛乃”中的最大项.故C正确；

对于D：T4w5=ala2aiaw5

20w

=αl(α1√)(α,√)(α1√')

4045x1+2+3+4044

4045x,2022x4045

4O4

因为¾023<l,所以<⅛35<1,即n045<l∙故D错误.

故选：AC

12.若函数y=∕(x)满足对VXeR,都有/(x)+∕(2-x)=2,且y=√(x)-l为R上的奇

函数，当Xe(TI)时，"x)=2*-L+sin?x+l,贝IJ()

26

A."3)=1

B./(x)是周期为1的周期函数

C.当x∈(T,l)时,/(x)单调递增

D.集合4=卜|/(X)=IOg3.中的元素个数为13

K答案HACD

R解析』因为y=∕(χ)-l为R上的奇函数，所以/(τ)-1=—/(χ)+ι,即

/(-x)+∕(x)=2,又/(x)+∕(2-x)=2,所以/(τ)=f(2-x),则2是“x)的一个周

期，故B错;

,九

£确；∖y=sm%

「fffT.一.

增，故C正版Tf

II

产…Ie

它的”凶心,元和故口正陶

二……

个交急，

∖°g∕的舀象有'3

y=IUE>3

故选:ACD.

二、填空题Ctl式的系数为1.

:的舒式中‘

B在H"

Wq,故只有

建会136°

二毋式展开顼…

哪柝N由二

LQKC一

CX

TLA,'为SiU-ʒ

产3为……

又H

J”……

战当mQi…耐"'

故疗

∖4∙

一——.

田∙⅛"⅛5

K解析H因为48=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,

所以AC∙4B=(AB+4O)∙AB=AB2+AB∙AO,

因为网=2∣ADl=2,ABAD=1>所以AC∙A8=4+1=5,

故K答案H为：5

41

15.已知正实数“涉满足一+L=1,则α+勿的最小值为_________.

Cl+bΓ⅛+l

R答案』8

因为£+击U

WI>+6)+("l)T

所以α+2b=

4(⅛+l)a+bλCU(⅛÷l)a+bo

=4+1—1+1——l+------≥4+2jJ——l--------=8，

a+h⅛+lVa+b⅛÷1

当且仅当坐±D=”2,即。=4方=2时，取等号，

a+b⅛+l

所以α+2b的最小值为8.

故K答案H为：8.

16.已知双曲线后:,为=1(4>°，6>°)的左、右焦点分别为斗心山川=4,若线段

x-y+4=0(-2≤x≤8)上存在点M,使得线段M6与E的一条渐近线的交点N满足:

IENl=:内M,则E的离心率的取值范围是.

…,ŋ√5底

K答案Uγ,2y-

R解析力设M(Xo，/+4),(-2≤x0≤8),1(2,0),

∖F2N∖=^∖F2M∖,则F2N=^F2M=i(xy-2,x0+4),

(XM-2,%)=；00-2,%+4)，贝IJXN=爸9yN=∙⅞+4

4，

b.

-2≤x0≤8,则XN>0,‰>θ.N点在渐近线yL上,

所以W="W=]__J,

,

4α4aXo+6x0+6

1,2-4工，所以;又J-

由一2≤%≤8得尹mGF'ι=4,

2«7a1Cr

所以∣≤∕≤K'所以*≤e≤半.

故K答案H为：I岑,半］.

四、解答题

17.已知数列{〃〃}满足4=1,nan+l=(π+∖)an+n(n+1).

(1)证明：数列{⅜}为等差数列:

设数列也｝满足求数列｛｝的前”项和

(2)b“=In%L,4S”.

册

(1)证明：法1：由也计|=("+ι)%+"5+ι),

两边同除以"5+1)得，—=%+1,也一殳=1(“≥1)为常数,

n+1nn+ιn

•••数列图

为等差数列，首项;=1,公差为1,

∏+1/

法2：由〃4+∣=(〃+1)4+〃(〃+1)得6L+("+1)，

%a〃

空+1--ɪ(71≥1)为常数,

72+1nnn

.∙.数列为等差数列，首项牛=I,公差为1.

(2)解：由"=4∙+("-l)xl=",.∙.ɑ,,="

n1

法1：a=In-=In"2

⅛〃

K'JS,,=ln∣÷ln∣+÷1∏¾^

23n+1

=21n-X-XX---------

12n

=21n(∕ι+l).

L2

法2：bll=In%=In依孚-=ln+11-Inzt,

则S“=(ln22-lnl2)+(ln32-ln22)+÷[ln(π+l)2-Inn2J

In(Tl+1)2-Inl2

=21n(n+l).

18.在一AgC中，角A,B,C所对的边分别是α,b,c.已知卑+您0+竿4=（）.

abacbe

(1)求A；

（2）若α=2√L求JWC的周长的取值范围.

cosBcosC2cosA

解：（1）由-------+---------F------=---0,

abacbe

得-2tzcosA=coosB+⅛cosC,

由正弦定理得一2SinAcosA=sinCcos8+cosCsinB,

所以一2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

又因为SinA>0,所以CoSA=-g,

由于:<A<π,所以角A=g；

(2)由⑴知A4，所以8+C4,贝IJC=TTO<B<g

26_♦_C

由正弦定理：=ci2πSinB.(π

sinΛsinBsinCSinsin-----B

3【3)

所以6=4SinB,c=4sin(g-B)=2Gcos8-2sinB.

所以匕+c=4sin8+2>∕3cosB-2sin8=2sinB+2yβcosB

fɪ出、

=4—sinβ+—-cosB

I22J=4siV+i∙

因为O<B<g,所以等<sin（8+'）≤l.

所以275<4sin（B+1）44.

所以46<α+b+cW4+2√5,

所以一ABC周长的取值范围为（46,4+26].

19.某选手参加套圈比赛，共有3次机会，满足“假设第上次套中的概率为P.当第A次套中

时，第后+1次也套中的概率仍为P：当第&次未套中时，第&+1次套中的概率为已知

该选手第1次套中的概率为;.

（1）求该选手参加比赛至少套中1次的概率;

(2)求该选手本次比赛平均套中多少次?

(1)解：设事件A：该选手参加比赛至少套中1次，

则咽十J⅛弓，故P(A)=1-明=看

(2)解：设X为套中的次数，则X的可能取值有0、1、2、3,

21

p(x=°)=区'

n/Vc∖1111111117/c、1‰1,

P(X=2)=-×-×-+-×-×-+-×-×-=—,p(χ=3]=

`722222424432'728

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

21217ɪ

P

6464328

91217173

因此，E(X)=Ox-÷1×-+2×-+3×-=-

v'646432864

即该选手本次比赛平均套中—次.

20.如图①在平行四边形ABa)中，AEYDC,AD=4,Ae=3,NAoE=60。，将

VADE沿AE折起，使平面4)EJ_平面ABCE,得到图②所示几何体.

D

(1)若M为B。的中点，求四棱锥M-ASCE的体积VMrz(CE;

(2)在线段DB上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦

值为乎，如果存在，求直线EM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，说明理

由.

解：(1)由图①知，AELDC,所以。E_LAE,在VAOE中，因为Ar)=4,乙M)E=60。,

AE=2y∕'3>DE=2,所以EC=I.

由图②知，平面4)EJ_平面ABCE,DEU平面AQ£,平面4Z>E平面ΛBCE=AE,因

为DELAE,所以DEl平面ABCE,

因为M为8。的中点，

所以乙-∙。£=4匕，-/8。£=；*9*5*88*。£=:*〈*(1+3)*2石*2=^^.

Z23OZɔ

(2)由(1)知E4,EC,E£>三者两两垂直，以点E为原点，

EA>EC，Eo的方向分别为X轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(如图).

则E(0,0,0),D(0,0,2),C(O,1,O),A(2^,0,0),β(2√3,3,θ),DB=(2√3,3,-2),

AC=(-2√3,l,θ),

τ^DM=λDB=(2√3Λ,3Λ,-2λ),O<λ<I,

EM=ED+DM=(0,0,2)+(2√3Λ,3Λ,-2Λ)=(2√3Λ,32,2-22),

BPM(2√3Λ,3Λ,2-2∕l),

所以CM=(2同3；I-1,2-22),

设平面ACM的法向量为加=(X,y,z),

m∙AC=O-2>∕3x+y=O

所以，则

m∙CM=O2√3Λx+(32-l)y+(2-2λ)z=0

令.1,得m=[l,2"空产，

Λ-i

设平面ΛBCE的法向量为〃=(0,0,1),

4λ^Λ-√3

¥，解得彳=；.

λ-∖

l2+(4&二研

1×f

Λ-l

所以平面ACM的法向量为〃?=(1,26,-26),

设EN与平面M4C所成角为凡

4√3

所以SinO=卜os（团,EM）I=ιn∙EM

∣w∣∙∣EM∣^25^

所以EM与平面MAC所成角的正弦值为迪.

25

21.已知P∣∙∣,g^)是椭圆C：0+方=l(a>6>0)与抛物线E：

丁=2px(°>0)的一个

公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.

(1)求椭圆C及抛物线E的方程；

3

(2)45是椭圆C上的两个不同点，若直线04,OB的斜率之积为-;(注：。为坐标

4

IBMI

原点)，点M是线段。4的中点，连接BM并延长交椭圆C于点N,求扁的值.

(22J∑λ

解：m'：Pi,3是抛物线E：V=2pχ(p>0)上一点,

\/

：.P=2,即抛物线E的方程为丁=4x,焦点F(1,O),

∙*∙cr-b2=1,

又M1，叫在椭圆C1+a上,

结合"一/=1知从=3,/=4,

•∙•椭圆C的方程为工+二=1,抛物线E的方程为V=4x∙

43

/、Z、Z、仍M/\

(2)设AaM,B(Λ⅛,%),N(Λ3,%),∣^i=Λ(2>0),

Y点M是线段。4的中点，.∙.M伍母)，

2'⅞^-%J,BN=(W_肛为_必)，BN=2BM，

,

..(x3-x2,γ3-y2)=>

鼻=：玉+(1-2)马

V

%=(当+(1-彳)%

∙.∙点N(xp%)在椭圆C上,

；12「]

χ

2ι+(ι-4)∙¾ɪʃi÷(∙-^)y2

------------------=L+L------------------

叩2口，%2q)、+φT)(/竽+弩)、=1

÷(I-肛z

4(43J

二点AG⅛,yj,B(Λ2,9)在椭圆C上,

3

又∙.∙OA,。8斜率之积为-二，

4

.∙X+A=1,MK=1,½÷≡=o,

434343

o20

Λ-+(1-Λ)2=1,Λ5λ2-8λ=O,ΛΛ=-^A=O(舍),

45

.∣gΛ^[8.IBM_5

工画=7同=§.

22.已知函数/(x)=e'-atanx-l

(1)当α=l时，求曲线y="x)在(OJ(O))处的切线方程；

⑵若“X)在区间,会0),(0,9各恰有一个零点，求”的取值范围.

解：(1)当α=l时，/(x)=e'-tanx-l,贝IJr(X)=e'--V

COSX

则f'(O)=e°--⅛=0,又/(0)=e°TanO-I=O

cos0

则曲线y=∕(χ)在(Oj(O))处的切线方程为y=o

(2)f(x)=ex-atanx-∖,∣J∣∣Jf,(x)=ev-------=