1.5有限集合的子集系-参考答案

1.5有限集合的子集系参考答案例1【解析】因为与不能在的同一互补子集组中，所以．另一方面，由可以组成个子集，每一个子集都添上所得出的满足条件，所以的最大值为．例2【分析】从特殊情况入手，取，，有，所以，是一个符合要求的分拆．又取，，有，所以，是一个符合要求的分拆．猜测：把中前个数作为，后个数作为可能是一个符合要求的分拆．【证明】由．可见，取，是一个符合要求的分拆．例3【分析】利用退回最简原则，考虑两个元素时，，其子集为，，，，其中每个元素出现两次．考虑三个元素时，，其子集为，，，，，，，，其中每个元素出现四次．依次类推，集合共有个子集，每个元素出现次数为，于是中所有子集的元素个数之和为：．【解析】如果考虑中含元素的子集的个数，则集合且的元素个数为99个，的子集共有个．当把加到这个子集中去，就有的个子集包含元素，即出现在的个子集中，从而的所有子集的元素之和为：．若时，可得的所有子集的元素之和为：．例4【证明】用反证法，假设，两集合均不存在和为平方数的两个元素，不妨设，则，，，从而．考虑元素10，若，则矛盾；若，则矛盾．所以，原命题成立．例5【分析】这是1990年的一道高中联赛题，关键是弄清楚题意．条件（1）说明与不能同时属于，条件（2）表明的元素和为定值，且是8的倍数，由，便可一举完成两问．【证明】由条件（1）知．又由条件（2）知为常数，故为常数．若中有个奇数，则对上式两边关于模8求同余时，有，．可见，中奇数的个数是4的倍数．例6【解析】（1）考虑下标集合的任一元子集，在中任取一个元素，这就建立了从下标到元素的一个映射，并且不同的原像其像也不同，否则不同的，对应同一个时，必有个子集其交不空，与题设矛盾．这说明．（2）考虑任一，在中任取其余个集，它们的交集至少有一个元素（不空），而此交集与的交为空集．所以中至少含有中的个不同元素，有．当时，．①另一方面，与中任选个其余的集取交，交集至少有一个元素，则有种不同取法，可知至少有个不同元素，．②由①，②可得．例7【解析】中的子集最多含4个元素．假设有一个含5个元素以上的子集也符合条件，则这5个元素中至少有3个的第一位数码相同．不妨设，，这三个元素的第一位数码相同．同样，在，，中，第二、三、四、五个数码上，每一位都至少有两个元素的对应数码相同．但，，三元素两两分组只有3组，故至少有两个元素，它们除第一数码相同外，至少还有两位数码相同，不妨设这两个元素为与，则，的距离不大于2，矛盾．故子集系中子集的元素不多于4个．例8【解析】设共加了把锁，记为集合，并以分别记这11个人所打不开的锁的集合．依题意，每5个子集的交集非空，每6个子集的交集为空集，由例6知，即至少要装把锁．具体分配办法是：先将锁依次编号为再将11个人的所有不同的5人组合方式也依次编号为.于是每一个人都属于个不同的5人组，它们各自都有一个号码．我们只要不将这些号码的锁的钥匙发给该人，而将其余号码的锁的钥匙都发给他就行了．例9．【解析】若，则

设集合分为两组和,且和不满足题中条件．如果,那么,这不可能，从而推得.如果，那么,这不可能，从而推得如果那么,这不可能，从而推得于是这时中三个元素满足矛盾．这表明当时，把集合任意分为两组，总有某个组具有题中性质，即所求的最小值不超过另一方面，取,且设或,则,而且和都不其有题中性质．当时，将分为两组和,则和也都不具有题中性质．故满足条件的的最小值为例10．【解析】根据题意，称的某些非空子集为偶数集，如果其中所有数的和为偶数。记,对于的每一个奇子集，当时，取;当时．取,则为的偶子集．所以均为该集合子集的一半，从而共有个奇子集．例11【解析】若取,此时且中任三数之和大于即不在中．故.另一方面，作三元子集列

则.对于的任一个元子集.必包含有某个.若,则其中有元素；若某个,则其中有元素.于是，.因此1．【答案】2．【答案】3．【解析】对于中的任一非空子集，令，这样是的子集的全体到自身的一一映射．显然中的最大数和最小数就是中的最小数和最大数，中最大（小）的数与中最小（大）的数相加得，因此，所有的算术平均值．4．【解析】将分成以下类，，…，，其中元素除以后余数为，即，，，，，，．中最多包含的一个元素，若包含其他任何一个子集的一个元素，则它必可包含这个子集内的全部元素，不能同时包含与或与或与的元素．所以，最大子集包含个元素．5．【答案】6．【解析】由已知，元素的个数是．满足（1）的集合个数为，在此集合中，不满足（2）的集合的个数是，所以所求集合的个数为．7．设中各数之和为，则，，中各数之和依次为，，，总和为，是一个偶数．但中各数之和为，是一个奇数．由奇数不等于偶数知，这样的划分无法实现．8．【解析】若中有多于个元素的，我们取，并把去掉后的集合记为，由于，故与不会同时出现在子集系，，…，中．我们将换成并不影响，，…，的性质，这种操作一直进行下去，可以使，，…，中每一个子集的元素不大于．而满足之一的任意显然满足条件，故知的最大值为全体一元，二元，三元子集数的总和，即．9．【解析】设的所有含偶数个元素的子集的全体为，即，同样地，设，现在来建立到上的一一对应，将中的元素分为两类：第一类中的含元素．第二类中的不含元素，定义到上的映射．显然，是含有奇数个元素的集合，即是到的映射．容易验证，是一一对应的，而的所有子集个数为，所以．（上面的结论对于一般集合也是适合的．）10．【解析】记为个学生组成的集合，每个运动队就是的一个非空子集，，…，．由已知条件知，与之间互不包含，当每队人时可以取到的最大值，共可组成个运动队．11．【解析】因为，，所以，我们要将个数排成行，列，每列的数字和为．第一步，先把至的个数排成行，第行，从左到右依次写；第行由右至左，隔位写，再在所空位置上从右至左写；第行由右至左，从右端第二个位置起隔位写，再在所空位置上从右至左写，这就得到表11． 其中每列数字和都等于.现对中其余的数两行两行往上添，取至共个数，先把至从左到右排在第行，然后取至从右到左写在第行.这样，增添两行后每行元素和仍相等.依此类推，得出行中各列的元素之和均相等.取每一列为一个子集，便可得个子集，每个子集含有个元素，各个子集中各元素之和相等.类似地，可将分为个集合，每个集合包含个数，各个集合的元素之和相等，并且分法不唯一. 12.【答案】【解析】将种诺言构成集合，则每个政党所作的诺言构成了的一个子集.依题意这是中的不同子集，又由于任何两党都至少有一种公共诺言，所以，绝不可能有某两党的诺言刚好构成一对互补的子集.这就告诉我们，在每对具有互补关系的子集中，至多只有一个可以成为某个政党的诺言集合，所以政党的数目不超过的子集的一半.13.【答案】【解析】取中含的个子集，将每一个去掉后得出的个子集记为，除当中去掉后得出的空集外，其余的集合均可由与配对，得，而是中子集元素的积，对遍历求和，有. 于是 有 得14.【答案】 【解析】设联欢节持续了天，记，以表示第位演员作观众的时间的集合，.例如表示第位演员在第天作观众，而其余的第天均作演出.则为的非空子集，且由每一位演员均观看过其他演员的演出知，对任意的，与互不包含，由例知，这样的子集最长为.这就是要求 但，，，，，故知，即联欢节至少持续了天. 15.【答案】 【解析】设，，…，中元素最少的有个，共个元子集.添加中的一个元素到这些元子集中，使它们成为元子集，对每个子集来说，都有种添法，每个元子集至多可由个元子集添加而得，所以，经过添加后至少产生个元子集.由于，，…，互不包含，这些元子集与，，…，均不相同，当时，.① 所以，将，，…，中的元子集换成添加一个元素后得