湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期12月联考数学试卷

腾·云联盟20232024学年度上学期高三年级12月联考数学试卷命题学校：红安一中 命题教师：吴欢 审题教师：高龙井考试时间：2023年12月14日 试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则A．2 B．4 C．8 D．162．下列函数是R上的单调递增函数且为奇函数的是A． B． C． D．3．已知，，则A． B． C． D．4．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为A． B． C． D．5．在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知为数列的前n项和，，下列说法正确的是A．B．C．当数列的前n项积最大时，或者D．数列的前n项和为7．已知某正四棱锥PABCD高为h，底面ABCD边长为a，内切球半径为r，外接球半径为R，下列说法中不正确的是A．得到a，h的值，可以确定唯一的R B．得到a，h的值，可以确定唯一的rC．得到a，R的值，可以确定唯一的h D．得到a，r的值，可以确定唯一的h8．椭圆C：（）的左右焦点分别为，，B为椭圆C的下顶点，延长交椭圆C于另一点A，若，则椭圆C的离心率为A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是A． B．C． D．10．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，，，，则下列说法中正确的是A． B．C．若，则 D．11．已知数列满足，，下列说法中正确的是A． B．，且，满足C．（） D．记的前n项积为，则12．函数的图象称为牛顿三叉戟曲线．若关于x的方程有3个实根，，，，且，则下列说法中正确的是A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在点处的切线方程为．14．2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛在杭州奥体中心体育馆打响，中国女篮战胜日本女篮，以6战全胜的战绩强势夺冠，第7次获得亚运会金牌。中国队6场比赛得分依次为101，101，111，104，100，74，则中国队6场比赛得分的第75百分位数是．15．（），若存在，使得，则正实数的取值范围为．16．MN是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点E为的中点，若空间内动点Р满足AP⊥CE，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，，，，AD为∠BAC的平分线．（1）求△ABC的面积；（2）求．18．（12分）如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的所有枝长均为2．（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l，证明：l∥平面QAB；（2）求直线PA与平面QAB所成角的正弦值．19．（12分）甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得5分，负方得0分，平局各得2分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，甲学校在两个项目中平局的概率分别为0.1，0.2．各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；（2）用X表示甲学校两场比赛的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）记数列的前n项和为，满足，且．（1）求的通项公式：（2）记，求数列的前n项和．21．（12分）已知．（1）若恒成立，求实数a的取值范同：（2）设表示不超过x的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）22．（12分）已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．（1）求抛物线C的方程：（2）当△OMN面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）数学参考答案一、单选题1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B二、多选题9．BCD 10．AC 11．AD 12．AD三、填空题13． 14．104 15． 16．选填题部分解析：11．由可得，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以A正确．由可得，因为，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以恒成立．则，是递减数列，所以B错．代入中可知C不成立（或者取验证可知C不成立），所以C错．由，，利用累乘法可得：，因为，所以，则．所以D正确．另解：由，左右两边同时取对数，，令，利用待定系数法可以求得，代入，则．可依据的通项公式来判断B、C均错．12．，则在和单调递减，单调递增，因为，由函数图象可知时符合题意，故A正确．由图可知，则，，因为在上单调递增，由可得，故B错．由可得，由图象可知，即，解得，故C错．由，令，则（），构造（），通过求导可知．故D正确．四、解答题17．（1）在△ABC中用余弦定理，，，所以．（2）因为，解得，因为AD为∠BAC的平分线，在△ABD和△ADC中分别用正弦定理可得①，②，①÷②可得（角平分线的性质不证明不扣分），又，所以．在△ADC中用正弦定理，，解得．18．解：（1）由正四棱锥PABCD可知AB∥CD，面PCD，所以AB∥面PCD，由线面平行的性质定理，面PAB与面PCD的交线l∥AB．又因为面QAB且平面QAB，由线面平行的判定定理，l∥面QAB．（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．由正四棱锥的性质，PQ⊥平面ABCD，取ABCD中心为O，故可以分别以直线OA、OB、OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，，，，所以，，，设平面QAB的法向量为，由，取．设PA与平面QAB所成角为，则．所以PA与平面QAB所成角的正弦值为．19．（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜．则甲获胜的概率为．（2）X所有可能取值为0，2，4，5，7，10．，，，，，．P0245710X0.10.120.020.380.140.2420．（1）因为，用代替n可得（），两式相减：，整理得：（），即（），则（），解得（），因为，所以，也满足上式，故对于任意的，．（通过不完全归纳法猜出通项的只得3分）（2），当时，，当时，．记前n项和为，当时，，化简得，当时，．综上所述，．21．（1），令得，当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为恒成立，所以，即，解得．（2），则，因为，当时，由（1）知在单调递增，成立，此时且时，不等式中等号不成立）；当时，由（1）知在单调递减，，不符合题意，此时；当时，易知有解；因为的