高中人教A版数学选修1-1测评模块复习课第3课时圆锥曲线中的定点定值最值范围问题

第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题课后篇巩固提升基础巩固1.若直线y=x+m与椭圆x24+y22=1相切,A.±6 B.±6 C.±3 D.±4解析由x24+y22=1,y=x+m,消去因此有Δ=8m2+48=0,解得m=±6.答案B2.直线y=2x与双曲线x24y2=1公共点的个数为(A.0 B.1 C.2 D.4解析双曲线x24y2=1的渐近线方程为y=±12x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2答案A3.过双曲线x2y2=1的一个顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于()A.12 B.22 C.1 D解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2答案A4.F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1A.2 B.3C.2 D.随点P的位置而变化解析由已知得F1(1,0),F2(1,0),则有k1=yx+1,k2=因此1k又因为P(x,y)在直线x+y2=0上,所以1k1-答案A5.设椭圆C:x24+y23=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM解析M(2,0),N(2,0),设P(x0,y0),于是kPM·kPN=y=34(4答案36.已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于解析椭圆右焦点为(3,0),所以y=x-3,x2+4y2所以|AB|=1+k2|x1x2|=答案87.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为22,过点(1)求椭圆的方程;(2)若|MN|=322,求直线MN解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=ca=解得a=6,b=3,c=3,所以椭圆方程为x26+(2)由题易知点B(3,0)在椭圆外,又直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可知直线MN斜率存在,设直线MN方程为y=k(x3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x212k2x+18k26=0,Δ=2424k2>0,得k2<1.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12k22k2+1,x|MN|=(=(=(k解得k=±22,满足k2<故所求直线方程为y=±22(x3)8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点((1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cybc=0,则原点O到直线的距离d=bcb由d=12c,得a=2b=2a解得离心率ca(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)24b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k(2k+1)1+4k由x1+x2=4,得8k(2k+1)从而x1x2=82b2.于是|AB|=1+122|x1=52由|AB|=10,得10(b2-2)=故椭圆E的方程为x212+9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为42,其左、右顶点分别为A1(3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于(1)求椭圆C的方程;(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2所以2c=42,解得c=22.因为椭圆的左、右顶点分别为A1(3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2c2=98=1,所以椭圆C的方程为x29+y2=(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x3).联立方程y=k1(x+3),x29+y2=1,消去y得(1解得点M的坐标为3-同理,可解得点N的坐标为27k由M,D,N三点共线可得6k11+9k123-27k121+9k12-1由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,即k1+-12k2即存在λ=12,使得k1+λk2=0能力提升1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA·MB=0,则k=(A.2 B.22C.12 D.解析过点F(2,0)且斜率为k的直线的方程为y=k(x2),设点A(x1,y1),B(x2,y2),则MA·MB=(x1+2,y12)(x2+2,y12)=(x1+2)(x2+2)+(y12)(y=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y22(y1+y2)+4=0.①由y消去y并整理得:k2x2(4k2+8)x+4k2=0,∴x1+x2=4k2+8k2,x1x消去x并整理得:ky28y16k=0,∴y1+y2=8k,y1y2=16.③将②③代入①并整理得:k24k+4=0,∴k=2.答案D2.已知F是双曲线x23a2-y2a2=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线CA.15° B.25° C.60° D.165°解析该双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=±a3ax,即y=±3因此两条渐近线的倾斜角分别为30°,150°,当P在右支上时,∠POF的取值范围是[0°,30°),当P在左支上时,∠POF的取值范围是(150°,180°],因此∠POF的大小不可能为60°.答案C3.抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线方程为.

解析依题意Fp2所以|MF|=4|OF|=4·p2=2p由抛物线的定义知M点的横坐标为2pp2因此其纵坐标y0满足y02=2p·3p2=故|y0|=3p,而△MFO的面积为43,所以12·p2·3p=故抛物线方程为y2=8x.答案y2=8x4.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.解(1)由题设知ca=2结合a2=b2+c2,解得a2=2.所以椭圆的方程为x22+y2=(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x1)+1(k≠2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x24k(k1)x+2k(k2)=0.由已知Δ>设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=4k(k-1)1+2k从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y=k=2k+(2k)1x1+1x2==2k+(2k)4k(k-1)2k(5.已知椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l和椭圆C交于M,N两点,A为椭圆的右顶点,AM·AN=0,求△AMN解(1)由已知得a=3,ac=322,所以c=22,b=1,故椭圆C的方程为x29+y2=(2)设直线AM的方程为y=k(x3),不妨设k>0.因为AM·AN则直线AN的方程为y=1k(x3)由y可得(9k2+1)x254