2023-2024学年安徽省高二年级下册开学考试数学试题（A卷）（含解析）

2023-2024学年安徽省高二下册开学考试数学试题(A卷)

一、单选题

1.已知Z，石为空间向量，且口用=(,则侬,-3%()

兀一兀一3兀一

A.-B.—C.—D.兀

424

【正确答案】C

【分析】求出cos(£®的表达式及值，即可求出cos侬,-36)的值，进而得到他,-3分的值.

【详解】由题意，

.•.向量夹角侬,一3分=亨，

故选：C.

2.已知点4(。,7),8(-1,6)在直线/：y=-3x+l上，则直线ax+如+1=0的斜率为()

A.vB.一-C.2D.-2

22

【正确答案】A

【分析】将48两点坐标代入直线方程解出。力即可求解.

【详解】因为点7),8(7,6)在直线/：尸-3x+l上，

所以将Z（〃,7）,8（—1⑼带入/：y=-3x+l,

7=-3。+1a=-2

得6=（-3）x（-i）+r解得

b=4

所以直线-2x+4y+l=0,即的斜率为

故选：A

3.已知两圆f+/=10和(*_仔+&这)2=20相交于人,B两点,则|48|=()

A.2亚B.4Mc.VioD.2A/10

【正确答案】D

【分析】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长.

【详解】因为两圆的方程为―+夕2=10和（x-l）2+（y-3）2=20,所以两圆的公共弦方程为

x+3y=0,又因为该弦过圆一+「=10的圆心，故证.

故选：D.

r22

4.已知椭圆C:二+与v=1（〃>人>0）的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则。的离心率等

a~b

于（）

AV5—1V5—1pV5+1y/5+1

A•--------tR5♦--------lx•--------nL/•--------

4242

【正确答案】B

【分析】根据椭圆的几何性质即等比数列概念即可得出。也c的关系式，解方程即可得离心

率.

【详解】由题意可得，长轴长2”、短轴长方、焦距2c成等比数列，

所以（2好=2ax2c,BPb2=ac=a2-c2

We2+e-1=0>解得e=~1或6=旧~~-（舍）

22

故选：B

5.已知等比数列｛4｝的公比g>-l,且％与%的等差中项为5,«2=-4,则旬23=（）

【正确答案】A

【分析】根据等差中项的概念和等比数列通项公式即可求得出必

2

【详解】由题知4+%=2x5,BPa,+atq=10,X<72=a[q=-4,

q=8

%=2

解得1或

夕=一2'

n-l

因为g>-i,所以。“=8

2023-1z])2019

“2023=图

故选：A

6.如图，已知等腰直角三角形/8C的斜边8C的中点为。，且8c=4,点P为平面N8C外

一点，且尸8=PC=2jI，PA=2,则异面直线尸。与45所成的角的余弦值为（）

【正确答案】D

【分析】取ZC中点。，连接0。，PD,则/P。。即为所求角，再利用余弦定理求解即可.

【详解】如图取4c中点Q,连接00,PD,

因为。是8c中点，所有OO〃8C,则/尸。。即为所求角,

因为8c=4,PB=PC=2近，所以尸0=2,

又因为N8C是等腰直角三角形，所以<B=/C=20，0D=后，

在APAC中由余弦定理可得cosAPAC='产+=也,

2APAC4

所以在PAD中由余弦定理可得PD=VAP2+AD2-2APAD-cosZPAC=2，

PO2+DO2-PD2^y/2

所以cos/POQ=

2PODO--V

故选：D

7.抛物线C：/=2px（p>0）的准线交x轴于点。，焦点为F，直线/过点。且与抛物线C交

于A,3两点，若忸日=2|/尸|,则直线18的斜率为（）

B.土与C.土逑D.土也

344

【正确答案】A

【分析】设出直线/B的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出两根之

积和两根之和，由几何关系可知A为8。的中点，即可求解出直线的斜率.

【详解】设直线方程为》=叼-5，

x=my-E

将，2联立得-2pmy+p2=0,

y2=2px

设8(”)，即1+」=2r

IM%=p-

过点48分别向准线作垂线，垂足为M,N,

又因为忸尸|=2|/日,所以|7VB|=2|M4|,即\BD\=2\AD\,

2

必=~Pm

所以A为8。的中点，即2%=必，所以得；

m

y2=-P

则，毋=1,解得加=±逑，

94

所以直线月8的斜率为工=±逑，

m3

8.某高科技企业为一科技项目注入启动资金1000万元作为项目资金，已知每年可获利20%,

但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入,

方能保持原有的利润增长率，设经过"年后，该项目资金达到或超过翻一番(即为原来的2

倍)的目标，则〃的最小值为lg2=0.31g3=0.5()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】由已知分析出递推关系，结合等比数列的定义即可得出勺-500=600^),然后

解指数不等式，结合对数运算性质即可求解.

【详解】由题意设经过〃年后，该项目资金为。“万元，

则q=1000(1+20%)-100=1100,

且。“+1=4(1+20%)-100='|。"-10°，

得。向-500=,(4-500)，

得a“-500=(q-500)x(g)=600^,

所以令500+600x(：)>2000,

,5

得〃-3呜屋地=叱-产跖

72.6lg2+lg3-(lgl0-lg2)

_1-2口/

21g2+lg3-l'

所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻一番的目标.

故选：B

二、多选题

22

9.已知曲线C:^^~+上一=l(,〃>9或相<4),则()

m-94-?w

A.曲线。可表示椭圆

B.曲线C为双曲线

C."?=0,则曲线C的焦点坐标为(土风,0)

2

D.w=0,则曲线C的渐近线方程为了=±§苫

【正确答案】BD

【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程和性质求解即可.

w-9>0

【详解】若C表示椭圆，则4-〃?>0,此时加无解，选项A错误;

一9w4一加

因为机>9或〃?<4,则（m-9）（4-机）<0,所以曲线C为双曲线，选项B正确;

22z

当加=0时，曲线0：?-旅=1表示焦点在y轴的双曲线，所以焦点坐标为（0,土耳），渐近

2

线方程为y=±：x,选项C错误D正确；

故选：BD

10.已知等差数列｛对｝的前n项和为S“，公差为d,5IO=1OO,S2O=400，则下列说法正确的是

()

A.d=2B.an=2n-\

「「1111

C.SR=S)+SD.—।------1----1------>11---------

3〃2〃“w邑S“〃+l

【正确答案】ABD

【分析】先将等差数列的前〃项和公式代入百。=100,Sg=400中，求出公差、首项，进而求得

11111

。“㈤，从而判断选项A,B,C的正误;根据^=—>=——77进行放缩，利用裂项相消

3〃n177I11n〃+1

即可判断选项D的正误.

【详解】解:因为｛%｝为等差数列，且5IO=1OO,52O=400,

3=100

S10=10《+

%=1

所以2；加，解得

d=2'

5=20。]+---------d=400

202

所以4=2〃-1,故选项A,B正确;

〃(《+%),.2

因为S〃=

2-'

所以&,+S”=4/+〃2=5/w9/r=S3,，故选项C错误;

,11111

因为S”所以丁=一T>(4\=--------

Snnn[n+l)nn+1

111111

所以彳+不+…+不=齐+至+…十=

111

>-------1--------F…4------7------r

1x22x3+

111111,1

=1——+——+•,•+—=]--------

223nn+\〃+1'

故选项D正确.

故选:ABD

11.己知正四棱柱ABCD-A^D,的底面边长为2,=4,点E在棱8©上，点F在棱

上，则以下说法正确的是（）

A.若尸为中点，存在点E,CFA.BE

B.若£为8£中点，存在点尸，G尸〃平面/CE

C.若E,尸分别为B£,的中点，则E尸与平面eq，。所成的角的余弦值为述

3

D.若E,产分别为4G，的中点，则EF到平面/BG的距离为苧

【正确答案】BCD

【分析】利用空间向量进行判断，垂直转化为数量积问题，线面平行结合判定定理来验证,

线面角通过法向量来求解，线面距转化为点面距求解.

【详解】如图，以。为坐标原点，所在直线分别为x，〉，z轴，建立空间直角坐

则4（2,0,0）,4（2,0,4）,8（2,2,0）,C（0,2,0）6（0,2,4）.

对于A,F为中点，尸（2,0,2）,设Em2,4）,0<a<2,

则而=（2,-2,2）,而=（4-2,0,4）,若CFLBE,则存.而=0,解得”一2（舍），所以A

不正确.

对于B,E为B£中点,由正四棱柱的性质可得//4C，/Cu平面/CE,4GU平面

ACE,所以平面/CE,即当产在4处时，满足题意，所以B正确.

对于C,E,F分别为4G，44,的中点,£（1,2,4）,F（2,0,2）,£F=（1,-2,-2）,

易知平面CG。。的一个法向量为“=(1,0,0)，设E尸与平面CCQQ所成的角为0,

n-EF।)历

所以sin®="L=w，所以cos9=&,所以C正确.

n^EF33

对于D,由上面可知方=(1,-2,-2),懑=(0,1,0),元;=(-2,2,4),££=(-1,0,4);

设平面/8G的一个法向量为正=(x,y,z),

m-AB=0fy=0.一,、

则一‘°"八，令z=l，可得加=2,0,1；

m-AC.=0[-2x+2y+4z=0

因为丽石=0，平面48G，所以EFP平面48G，

所以E尸到平面/8G的距离即为点E到平面N8G的距离，

\BE-m\2J5

点E到平面/8G的距离“=匚闩」=今一,所以D正确.

H5

故选：BCD.

12.已知数列｛《J,他,｝,满足fq=2”+i-2(“wN*),=log2(a2„tl),则以下结论正确

j=i

的是()

A.数列｛%｝为等比数列

B.数列mJ为等差数列

C.用x“集合词”,V机4a“+1,〃?€N*｝中元素个数，则x"=2"'-2〃

D.把数列｛“"｝,｛"｝中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第2023项

为4025

【正确答案】ACD

【分析】确定q=2","=2〃+1,则%=22向，4必=4,A正确；%=2田+1,B错误；

Cn

x„=2n+'-2n,C正确；根据2"<4025<2»确定新数列的第2023项为如2=4025,D正确,

得到答案.

【详解】〃“=£4-£q=2"”-2-2"+2=2",n>2,当q=2Z-2=2,满足通项公式，

/=1/=1

2n+1

故a,=2",从而得々=log2(a2n+1)=log,2=2/7+1,

对选项A：令c“=%=22"i,得§包=4,正确；

Cn

对选项B：令4,=%=2x2"+l=2"“+l,九-d“=2"+2_2"M=2"M,数列｛%｝不为等差数

列，错误；

对选项C：怎=2的一2〃-1+1=2向-2〃，正确；

对选项D：2"<4025<212,组成的新数列含有数列｛4｝的项为2,22，2%…，21%2”共

11项，所以新数列含有数列｛4｝的项为A,&，…Hon，故所求新数列的第2023项为

怎n=4025,正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知2]均为空间单位向量，且它们的夹角为60。，则卜+2力卜.

【正确答案】不

【分析】根据条件可求出75,然后根据忖+2*,伍+2,进行数量积的运算即可求解.

【详解】因为问=|同=1,«@=60。，

所以a•5=WWcos(a,4=],B+2耳=/(£+2或=^a+4a-b+41y=71+2+447,

故V7

四、双空题

14.已知点A,8在曲线y=x2+2x图像上，且A,B两点连线的斜率为2,请写出满足条

件的一组点A,B.

【正确答案】(T-1)(1,3)

【分析】根据A,8在曲线上，设出点A,8的坐标，由A,8两点连线的斜率得出A,B

的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.

【详解】由题意，

在y=f+2x中，点A,8在曲线上，

设Z(X1,x：+2xj,S(x2,Xj+2X2),

A,8两点连线的斜率为2,

..x；+2%-(x；+2x)

■•kAB=-----------------=毛+Jf+2=2，

x2—x,

解得：x2+%j=0,

.•.当士=一1时，/(—1,-1),8(1,3).

故5(1,3).

五、填空题

15.已知矩形N8CD在平面a的同一侧，顶点A在平面上，AB=4,BC=2近，且48,BC

与平面a所成的角的大小分别为30。,45。,则矩形“8。与平面a所成角的正切值为.

【正确答案】拒

【分析】如图，过8，。分别做平面a的垂线，垂足分别为E,F,连接ZE,AF,通过

几何关系可得到尸=/尸=2,AE=2y/3,EF=8。="'，过A作/满足〃/EF,过E

做EP垂直/于点P,连接8尸，则/8PE即为所求，通过等面积法计算出产£=口叵即可求

3

解

【详解】如图，过B,。分别做平面a的垂线，垂足分别为E,F,连接4E,AF,

由£>"JLa,BELa,AE,AFua,所以。Z7,AF,BE1AE,

因为8c与平面。所成的角的大小分别为30。,45。,且BC//4O,BC=AD,

所以N8/1E=3O。，ADAF=45°,得BE=DF=4F=2,AE=2百,

因为。尸1a,BE1a,所以DF〃BE,

又BE=DF=2,所以四边形。尸E8是平行四边形，

所以BD//EF,因为8£><za,E尸ua,所以8O〃a,所以EF=BD=亚,

过A作/满足〃/E尸，则/即为矩形与平面夕的交线，

过后做后？垂直/于点P,连接8P,则/8PE即为所求，

在AAEF中，cosNFAE=

2x2x26-3

由cos2NFAE+sin2NF4E=l,0<NFAE<n可得sinZFAE=—,

3

所以S"尸=1x2x2jJsinSIE=,解得产石=毡

223

所以矩形ABCD与平面a所成角的正切值为tanNBPE=空=瓦

AAPI/

故答案为.G

16.已知函数/(x)=x?+x,数列｛《,｝的首项6=：,点(a“,a“+J在函数y=/(x)图象上,

O

若机<X-----7<加+1,则整数加=

【正确答案】7

111202311

【分析】将点代入函数得到。向=。：+%,变换得到一”=-------,X-?=8——，

%+1a„a”+i+1a.

根据°<——<1得到答案.

【详解】因为点(。,,。用)在函数y=/(x)图像上，所有。用=端+勺,

%=：，故%>。恒成立；

O

aa=a>,

n^\~nn77故“"+1>"〃+77，“2004>：+20°3X^>1，0<

64o4(sM

所以7<8-----<8,所以"z=7.

六、解答题

17.已知正项等比数列｛qj中，。0=36,出+%=60.

⑴求死；

⑵若"=143安，数列,二-1的前〃项和为5,，求证.§,<1

2口也+1J

【正确答案】（1）%=2X3"T

（2）证明见解析

【分析】（1）设｛环｝的公比为4,由"求解；

由（1）得4=Iog3当=〃，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）解：设｛q｝的公比为4,

则有］

解得q=2,q=3,

所以%=2x32

（2）由（1）得）=k）g3等=》,

。1111

所以s?=r^+T-i+—（=1-----，

1x22x3+n+1

因为-T>0,所以1---<1,

〃+1〃+1

所以5al.

18.已知直线/过点尸（-1,2）,且/与轴分别交于点48,O4B为等腰直角三角形.

⑴求/的方程；

（2）设。为坐标原点，点A在x轴负半轴，求过。，A,0三点的圆的一般方程.

【正确答案】（1）工-》+3=0或x+y—l=O

（2）x2+y2+3x-y=0

【分析】(1)设直线方程为y-2=Mx+l),分别解出48两点坐标(x,o)和(0/),利用N=3

解出人的值即可；

(2)设圆的一般方程为犬+/+6+/+尸=0(D2+£2-4F>0),将点代入解方法组即可.

【详解】(1)因为直线/过点尸(-1,2),所以设直线为y-2=k(x+l),k#0,

令y=0,得x=所以

令x=0,得…+2,所以8(0,A+2),

又因为048为等腰直角三角形，所以|(训=|。即，

得-/+卜+2|,

解女=±1或％=-2,

当人=-2时直线过原点，不满足题意，

故直线/的方程为y-2=(x+1)或y-2=-(x+l),

即x-y+3=0或x+y-l=0.

(2)由题意可知直线/的方程为x-y+3=0,即/-3,0),

设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

将0(0,0),4(-3,0),P(O,2)代入

'尸=0伊=3

得<9-3。+尸=0,解得<E=-1,

l+4-D+2E+E=0尸=0

所以所求圆的方程为/+/+3x-夕=0.

)2

19.已知A,B是椭圆C：}=l(a>b>0)的右顶点和上顶点，点叩仓何在椭圆C

上，且直线OP经过线段的中点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/经过C的右焦点尸与C交于M,N两点，且NMBN=],求直线/的方程.

【正确答案】⑴江+广=1

164

(2)x+6y-2仃=0或3x-5岛-6X/5=0

【分析】（1）由直线过中点得3=亳=；,再将点「修庭,0）代入椭圆方程得到方程组,

解出即可;

（2）首先排除斜率为0的情况，从而设/：x=my+26,联立椭圆得到韦达定理式，根据

丽•丽=0得到关于必，必的等式，代入韦达定理式，解出，*即可.

【详解】（1）因为“（。,0）,8（0力），所以48的中点为6,£|,

直线经OP过线段NB的中点，所以？=±==L,

a2V22

又因为点网2近,匈在椭圆C上，故提+a=1,

故可得々2=16,从=4,

所以二十仁=1

164

（2）若直线/的斜率为0时，可得历（-4,0）,N（4,0）,易得丽,砺x0,故不满足题意;

若直线/的斜率不为0时，设/：x=my+2拒，

x=zwy+2^3

联立/V

---1----i

164

消去x得（4+,叫_/+46叼-4=0,

W（X|，M）,"（乙,力）,

i-4y/3m-4

贝m>S+%=E,必当=心

TT

因为/A/8N=—,

2

所以两•丽=0，即（占,必-2＞（%,%-2）=0,

得%多+（必-2）（%-2）=0,即（即］+20）（叩2+26）+仇-2）仇-2）=0

得例2+1）必力+（2扬i-2）仇+y2Hl6=0,

得3，"2-2jL〃-15=0,

所以机=-5万或"?=之且

3

所以直线/：x+岛-2百=0或3x-Sy-6>/5=0.

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（为,%）,（£，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算△:

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为%+9、x,x,（或必+力、乂%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

20.如图，在三棱柱中，N5C是边长为2的等边三角形，AA'=l,AB=也，

平面/88NJ.平面/8C,E为线段的中点.

（1）求证：CE1AB'；

（2）求CE与平面N/'C'C所成的角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵巫

65

【分析】（1）作于连接CA1,由平面488'/，平面/8C,得到平面

ABC,进而得到B'MLCM,然后求得CB'=2,根据NC=2且E为4方中点，利用三线合

一证明：

（2）以M为坐标原点，MA,分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，求得N=（x,y,z）

是平面Z/'C'C的一个法向量，设CE与平面44'C'C所成的角为。，由sinO^cos（区,"J求

解.

【详解】（1）如图所示：作于连接CN,

由平面ABBA1平面ABC,且平面ABB,Ac平面ABC=AB,

Wu平面488W,

得B'M1平面4BC,•♦•CMu平面ABC,

所以8'A/_LCM,

因为8'8=1,AB=2,AB'地，由勾股定理得Z*?+58*=/4，

所以N/*8=90。，

所以B'M=®,BM=；,

22

13

在C8A/中，由余弦定理得：CM2^CB2+BM2-2CB-BM-COS60^―,

所以CM=业,

2

在直角三角形C8M中，由勾股定理可得。*=小乎）+（半）=2,

又AC=2且£为AB'中点，

所以CE_L力*

（2）如图，以M为坐标原点，MA,分别为'轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

E

4

^C=(-1,73,0),AA'=；,0,白

所以诟=

设〃=(x,y,z)是平面AA'C'C的一个法向量,

ii-AC=-x+\fiy=0,

则,取y=l,得7=(6,1,-1)

万•AA'=—x+—z=0,

22

设CE与平面A4'C'C所成的角为

/一0.至

27195

所以sin6=kos(CE,"44

J—xy/3+1+165

所以CE与平面/4C'C所成的角的正弦值为名叵.

65

21.设邑为数列｛6｝的前"项和，且勺，S.，2/成等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵设4=嘉，设数列也｝的前”项和为如若噢2不二>加-2023对〃eN*恒成立，求刀,

22一乙

和正整数机的最大值.

【正确答案】(1)答案见解析

(2)2025

【分析】(1)根据&,S’,2"成等差数列得到a“+2”2=2S"，再利用通项和前〃项和的关

系，得到+a,i=4〃-2,进而得到为+2一%=4,再分〃为奇数偶数求解;

(2)由〃=含专利用错位相减法得到T„,然后由log2丁=>m-2023对〃6N*恒成

2-/”

立求解.

【详解】(1)解：由题意a“+2〃2=2S,,

令〃=1,有q=2,当〃=2时，得。2=4,

所以〃22,时有+2(〃-=2S,i，

两式相减得a,-a„_,+2«2-2(H-1)2=25„-2S„.,,

得a“+a,T=4"-2,

即当“21时，a"+a“*|=4“+2,a„+2+an+l=4n+6,

所以q,+2一为=4，

当n为奇数时,%=%+(三jx4=2?,

当〃为偶数时，禽=出+('-1>4=方，

所以%=2〃；

(2)因为“=券=£，

uui、iT123n1231n

所以［=5丁k…亍2'•=Y+Y+r+'"+2^^

两式相减得;1=g+：+［…+:-合=1一1一会,

LLI、If-2+〃

所以北=2-亍•

log2—!—=n-log2(n+2),

2Ta

令c“=〃-bg2(〃+2),

得

c“+i-g=〃+1Tog?("+3)-〃+皿("+2)=1-log?(霍)=log?(=log?11+

C”+l-C">°，即C.<C“+］，

要使得log2丁二〉m-2023对“eN*恒成立，

2—"

只需加-2023<c,=1-log23,即，〃<2024+log,3,

故正整数加的最大值为2025.

丫22

22.已知双曲线C：、-二=1(°>0/>0)的左，右焦点分别为々(-c,0),玛(c,0),离心

ab~

率为3,点M(3,8)在C上.

(1)求C的标准方程；

(2)已知直线/