2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）1 排列组合题型归类（9大题型）（解析版）

秘籍01排列组合题型归类

r高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题食☆☆☆☆

考向预测排列组合题型考察

事应试秘籍

排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对

于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础

上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。

【题型一】人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩

余座位随人排列。

主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。

出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：

容斥原理〃(AU8)=〃(A)+MB)-〃(AcB)

:典例剖析

1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，

且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】记事件A:2位男生连着出场，事件8:女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法

种数为6-[“(A)+〃(8)-〃(4c8)],再利用排列组合可求出答案.

【详解】

记事件A:2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的排法种数

为〃(A)=&&=48,

记事件5:女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B的排法种数为

"(B)=8=24,

事件ACB:女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形

成三个元素，所以，事件AB的排法种数为用A；=12种，

因此，出场顺序的排法种数8—〃（Au8）=8-[〃（A）+〃（8）—“（4c8）]

=120—(48+24-12)=60种，故选C.

2.（2023・福建・统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了

国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A,B,C等3个受灾点执行救援

任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队,其中甲救援队只能去B,

C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（）

A.72B.84C.88D.100

【答案】D

【详解】若甲去B点，则剩余4人，可只去AC两个点，也可分为3组去A,5c3个点.

当剩余4人只去A,C两个点时，人员分配为1,3或2,2,

此时的分配方法有C；C-A；+,Aj=14；

A；

当剩余4人分为3组去AB,C3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可,

此时的分配方法有C1A；=36,

综上可得，甲去B点，不同的安排方法数是14+36=50.

同理，甲去C点，不同的安排方法数也是50.

所以，不同的安排方法数是50+50=100.

故选：D.

3.（2023春•湖南,高三长郡中学校联考阶段练习）某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F

的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中8,。必须安排在同一个学校.则

不同的安排方法共有（）

A.96种B.144种C.240种D.384种

【答案】C

【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为3,1,1,1,则不同的安排方法种数

为：C：xA：=96种;

若教师人数依次为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为：C；xA：=144种,

故不同的安排方法共有96+144=240种.

故选：C.

『名校模拟

1.（2023•辽宁盘锦・盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（）

A.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种

C.全体站成一排，女生必须站在一起有144种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种.

【答案】C

【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C；x2x1=70种,

故A正确；

对于B：先排女生，将4名女生全排列，有A：种方法，

再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A；种

方法，故共有A：・A；=1440种方法，故B正确.

对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A：种情况，

再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A：种情况，

2.（2023•云南昭通•统考模拟预测）2022年11月初，新冠疫情突袭昭通市鲁甸县，昭通市统一指挥、众志

成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派

到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的

分配方案有（）

A.8种B.10种C.12种D.14种

【答案】C

【详解】先将甲、乙两名医护人员分配到两组，有A；=2种方案，再将剩下的3名医务人员分到核酸检验

和扫码两个小组，有C；A；=6种方案，所以甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有2x6=12种方案.

故选：C.

故共有A：・A：=576种方法，故C错误.

对于D：若甲站在排尾则有A：种排法，若甲不站在排尾则有A；A；A；种排法,

故有A：+A：A；A；=3720种排法，故D正确;

故选：C.

3.（2023春•重庆沙坪坝,高三重庆八中校考阶段练习）文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单

的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个""，两个和两个"".把它们从

上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为"同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数

量有（）

A.8个B.10个C.12个D.14个

【答案】B

【详解】列举得：....X-X-x..JX,.：x„x-,_xX,^X_x,

..x「rx,dX，x,.：X)xA,„xX..,

共10种，

故选:B.

【题型二】人坐座位模型2：染色（平面、空间）

染色问题：

1.用了几种颜色

2.尽量先从公共相邻区域开始。

空间几何体L可以“拍扁”，转化为平面图形

?典例剖析

1.（2023春・全国•高二专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为

代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围A8CO四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，

要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）

A.12B.24C.48D.84

【答案】D

【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：

当种植的鲜花为两种时：A和C相同，8和£＞相同，共有A；=12种种植方法；

当种植鲜花为三种时：A和C相同或8和。相同，此时共有2C；A；=2x4x6=48种种植方法；

当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有A：=4x3x2xl=24种种植方法，

综上：则不同的种植方法的种数为12+48+24=84种，

故选：D.

2.（2022春・山东烟台・高二烟台二中校考阶段练习）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需

栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，

中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共

有（）

A.400种B.396种C.380种D.324种

【答案】B

【详解】圆环的3个区域种植绿色植物共有q=6种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类:

第一类，A,C,E均种相同植物，有'=3x2x2x2=24种;

第二类，A,C,E种2种不同植物，有外=4"仁*2、1X1=36种；

第三类，ACE种的植物各不相同，有M=A；xlxIxl=6种.

故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有6x（24+36+6）=396种.

故选：B

3.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色

可供使用，则不同的染色方法种数是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

将不同的染色方案分为：AC相同和AC不同两种情况，相加得到答案.

【详解】

按照那CO的顺序：

当AC相同时：染色方案为5x4x3x1x3=180

当AC不同时：染色方案为5x4x3x2x2=240

不同的染色方案为：420种

故答案为A

学名校模拟

1.（2023秋,辽宁丹东•高二统考期末）如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE五处区域构成，现为了

美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰

方案数为（）

ABC

D

E

A.216B.144C.128D.96

【答案】B

【详解】区域B有4种颜色鲜花可供选择，区域A有.3种颜色鲜花可供选择，区域。有3种颜色鲜花可供选

择，

区域C、E各有2种颜色鲜花可供选择,

由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为4x3x3x2x2=144利L

故选：B.

2.（2023•江苏•高二专题练习）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂

2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（）

A.24B.30C.36D.42

【答案】B

【详解】分2类（先涂前3个圆，再涂后3个圆.）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜

色，有A：C；C；=24种涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有C；C；=6种涂法.综

上，不同的涂法和数为24+6=30.

故选：B.

3.（2021春•广东佛山•高二校联考阶段练习）某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每

行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（）

C.24D.48

【答案】C

【详解】由题意可知：不同的涂色种数为：^=4x3x2x1=24,

故选：C

【题型三】分配问题：球不同，盒不同

球不同，盒不同（主要的）

方法技巧：盒子可空，指数基形式，盒的球次累，盒子不可空"先分组再排列”分类讨论

注意平均分组时需要除以组数的全排列。

:典例剖析

1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）

A.30种B.90种C.180种D.270种

【答案】B

【详解】先考虑第一类，即3个盒子放球的个数为：1,2,2,则

第1个盒子有：以=5,

第2个盒子有：C；=6,

第3个盒子有：《=1,

，第一类放法种数为5x6x1=30,

不同的放法种数有N=3x30=90.

2.将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所

放小球的编号奇偶性均不相同的概率为

【答案】C

【详解】由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,

若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1,

且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，

6

P-

故所求概率为25

C；A；+等A；

故答案选C

3.将A,B,C,。四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A,8不能放

入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）

A.15B.30C.20D.42

【答案】B

【详解】当放入一个盒子的是A,C时，有A；=6种不同的放法

当放入一个盒子的是A,D时，有A；=6种不同的放法

当放入个盒子的是瓦C时，有父=6种不同的放法

当放入一个盒子的是B,D时，有用=6种不同的放法

当放入一个盒子的是C，。时，有K=6种不同的放法

贝I］共有6x5=30种不同的放法

故选：B

十名校模拟

1.（2023春•浙江杭州•高二浙江大学附属中学期中）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭

州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去

一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）

A.6种B.60种C.36种D.24种

【答案】B

【详解】①羽毛球场安排2人，除中外的其余4人每人去一个场地，不同安排方法有A：种，

②羽毛球场只安排1人（甲），其余4人分成3组（211）再安排到剩余3个场地，不同安排方法有C；A；种，

所以不同的安排方法有A：+C：A；=24+36=60种.

故选：B.

2.（2023春•高二课时练习）高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂中的一个工厂进行社会实践，

其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）

A.360种B.420种

C.369种D.396种

【答案】C

【详解】解：方法1：直接法

以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：

第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；

第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有C；A：=4x4=16（种）；

第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有C：x42=6x4x4=96（种）;

第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有C；x4、=4*=256（种）.

综上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（种）.

方法2：间接法先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再去除甲工厂无人去的情况，

即：5x5x5x5-4x4x4x4=369（种）方案.

故选：C

3.（2023・河南•校联考模拟预测）数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、

椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲

述，则可能的安排方案的种数为（）

A.240B.480C.360D.720

【答案】A

【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线,

c；c；c；c

则5名同学分成2,1,1,1四组，共有=10种情况,

再将四组学生分配给四种曲线，一共有A：=24种情况,

则可能的安排方案的种数为10x24=240种,

故选：A.

【题型四】分配问题：球同，盒不同

球相同，盒子不同

方法技巧：盒子不可空用挡板法，盒子可空用接球法。

?典例剖析

1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）

A.22B.25C.20D.48

【答案】C

【详解】解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，

因为每个盒子都有球，

所以每个盒子至少乂一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将

它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有C：=20种，

所以每个盒子都有球的放法种数为20.

故选：C.

2.将5个相同的球放入3个不同的盒子中，可以存在盒子没有球的放法种数为（）

A.22B.25C.21D.48

【答案】C

【详解】解：假设三个盒子中都存在一个球，借出来变成5个球和3个虚拟的球分配到三个不同的盒子中

的问题，因为有借有还，所以是不可空的问题再用挡板法。

将8个球摆成一排，中间形成7个空，只需在这7个空插入2个隔板将它们隔开,不同插入方法共有C；=21

种，

所以每个盒子都有球的放法种数为21.

故选：C.

3.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号

盒每盒至少4个球，共有种方法.

A.C；B.dC.C；A：D.

【答案】A

【详解】设四个盒子中装的小球个数分别为a,b,c,d,则a+b+c+d=20,要求①②号盒每盒至少3

个球，③④号盒每盒至少4个球，令vv=a-2,x=b-2,y=c-3,z=d-3,则w,x,y,z都大于

或等于1,且w+x+y+z=10,问题相当于将10个球分成四部分，在10个球的9个间隔里选三个隔开，有

种方法，故选择A

孕名校模拟

1.（2016•山东•高三阶段练习）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得

一本，问这样的分法有种（）

A.36B.9C.18D.15

【答案】B

【详解】解：分配方案为（2,1,1）,其中有且仅有一个学生拿两本书，

若他拿两本语文书，则此时共有种分法；

若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C；种分法;

因此共有C；A；+C；=9种分法.

故选：B.

2.（2022秋,辽宁本溪•高二校考阶段练习）中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱、问天实验舱和

梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“〃字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间

站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工

作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（）

A.360种B.180种C.720种D.450种

【答案】D

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有3=90（种）不同的方案:

方案二：分别安排3人，2人，1人,共有C：C；C；A；=360（种）不同的方案.

所以共有90+360=450（种）不同的安排方案.

故选：D.

（多选）3.（2022春•江苏苏州•高二校考期中）下列说法正确的为（）

A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；

B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法;

C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；

D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少—■本，有540种不同的分法.

【答案】ACD

【详解】对于A,6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，

最后2本给丙，共有种不同的分法，故A正确：

对于B,6本不同的书中，先取1本作为•组，再从剩余的5本中取2作为•组，

最后3本2作为一组，共有C：C；C；=60种，再将3分给甲、乙、丙三人，

共有=360种,故B不正确；

对于C,6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法=10种；

对于D,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论:

①一人4本，其他两人各1本，共有C：C；C；C：=90；

②一人1本，一人2本，一人3本，共有=360种，

③每人2本，共有C：C：C；=90,

故共有90+360+90=540种.

故选：ACD

【题型五】代替元法：最短路径

左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A,向上是字母B,则移动几步就

是几个A,与B相同元素排列

代替元法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”

?典例剖析

1.如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C,再由点C沿着置于水平面的正方体的棱爬行至

顶点8,则它可以爬行的不同的最短路径有（）条

A.40B.60C.80D.120

【答案】B

【详解】试题分析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二竖，共有=10条路径，从C至共有3x2=6

条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚊从A到8可以爬行的不同的最短路径有10x6=60条，故选B.

2.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能

力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的

飞行方式有多少种？

A.5B.25C.55D.75

【答案】D

【详解】

由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形：

一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，英有C；=5种

情况；

二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单

位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有C；C；C：；=20种情况；

三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单

位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有CC；C=30种情况；

四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，

有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有C；A；=20种情况；

故而共有5+20+30+20=75种情况，

故选：D.

（多选）3.（2023•江苏•高二专题练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者

活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道尸处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是

（）

————————

E

A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

C.小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到尸处和小华会合一起到老年公寓的概率为II

D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过尸；

事件&从尸到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则P（8|A）=尚

【答案】BC

【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移

动，

A：小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为C；=3条，

错误；

B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为C；=35条，

正确：

C：小明到F的最短路径走法有=6条，再从尸处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老

年公寓共有35条，所以到尸处和小华会合•起到老年公寓的概率为*=塌，正确；

D：由题意知：事件A的走法有18条即P（A）=£,事件由⑶的概率外人修卜竺然之，所以

3535x335

尸（例4）=为「=5,错误.

故选：BC

学名校模拟「

1.（2023・全国•高二专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由

于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路,

如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，A8段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）

条

N

M

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【详解】由Af到N的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有C；=35条路,

由M到A的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有C；=3条路，

由B到N的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有C；=3条路,

所以由M到N不经过AB的最短路在有笛-C；C；=26.

故选：D.

（多选）2.（2023秋•江西吉安•高二江西省万安中学校考期末）如图，小明、小红分别从街道的E、F处出

发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则（）

□G•

□

□

£

・

A.小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3

B.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35

C.若小明不经过尸处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32

D.若小明先到户处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的

最短路径条数为18

【答案】ABD

【详解】由图知，要使小红、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移

动，

对于选项A,小红到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数

为C；=3条，故A正确;

对于选项B,小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为C；=35

条，故B正确；

对于选项D,小明到F的最短路径走法有=6条，再从尸处和小红一起到老年公寓的路径最短有3条，所

以到F处和小红会合一起到老年公寓的共有6x3=18条路径，故D正确；

对于选项C,由选项D可知，小明不经过产处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35-18=17,

故选项C不正确.

故选：ABD

3.（2022秋・上海徐汇・高二上海市南洋模范中学校考期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从4点出发

不经过C、D点到达B点的最短路径有种.

【答案】24

【详解】

如图，由已知可得，应从A点，先到E点,再到户点，最后经点G到8点即可.

第一步：由A点到E点，最短路径为4步,最短路径方法种类为=4；

第二步：由E点到尸点，最短路径为3步,最短路径方法种类为=3；

第三步：由尸点经点G到8点，最短路径为3步，最短路径方法种类为C；C：=2.

根据分步计数原理可得，最短路径有4x3x2=24种.

故答案为：24.

【题型六】代替元法：空车位停车等

这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。

?典例剖析

1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个

连在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【详解】给8个车位编号：1,2,3,4,5,6,7,8,

当1,2,3号为空时，有4xA：种停放方法；

当2,3,4号为空时，有3xA：种停放方法；

当3,4,5号为空时,有3xA：种停放方法;

当4,5,6号为空时，有3xA：种停放方法;

当5,6,7号为空时，有3xA：种停放方法;

当6,7,8号为空时，有4x4：种停放方法;

所以不同的停放方法的种数为4A：+3A：+3A：+3A：+3A；+4A：=20A：=20x24=480种.

故选：C.

方法二代替元法：四辆车标记为ABCD,四个空车位，三个组合一起，标记为3,剩余一个标记为1,则变成

数字1,3与四个字母排列，且数字不相邻，插空法即可禺8=480

2.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其

中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有

种

【详解】直接代替无法，标记为123456与AAA排列，只选不排。为

3.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲

车在乙、丙两车之间的停放方式共有种.

【答案】40

【详解】先将甲、乙、丙三辆不同的车排列，使得甲车在乙、丙两车之间，有2种排法，再将剩余的7个

空车位分为4组，分别排在甲、乙、丙三辆车形成的四个空上，有1,1,1,4；1,1,2,3；1,2,2,2

三种分组方法，则不同的分组方法共有用+C：=20种，由分步乘法计数原理得不同的停放方式共有

2x20=40种.

『名校模拟

1.（2023•上海•高二专题练习）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两

辆车停放在相邻车位的方法有种.

【答案】120

【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有A；=6种方法；

另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A；=20

种，

因此共有A；A：=120种.

故答案为：120

2.（2023・江苏•高二专题练习）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,

若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（）

A.288种B.336种C.384种D.672种

【答案】D

【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，2A>A；种方案，

丙、丁选•辆与甲、乙停泊在同一排，另辆单独-排，2A[A]A；种方案，

所以共有2A；.A：+2A；・A：•A；=672种方案.

故选：D

3.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只

能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配

方式有

A.12种B.11种C.10种D.9种

【答案】B

【详解】

设五位妈妈为ABCDE,五个小孩为必cde,对五个小孩进行排练后坐五位妈妈的车即可，

由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，故排列的第五个位置一定是。，

对其余的四个小孩进行排列：

bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc；

chde,ched,cdbe,cdeh,cehd,cedb；

dhce,dhec,dcbe,dceb,dehc,dech•

ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.

共有24中排列方法，其中满足题意的排列方法为：

bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,

共有11种.

本题选择8选项.

【题型七】环排问题：直排策略

环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为

中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为--圈。

?典例剖析

1.（2022春•江苏苏州•高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人

不全相邻的排法种数为（）

A.B.A；-A〉A；C.D.A；-A；.A；

【答案】D

【详解】8个人围成一圈，有'=A；种.

其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由

所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为A；-A>A；.

故答案为：D

2.（2022・全国•高三专题练习）A,B,C,D,E,尸六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，

必须坐最北面的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）

A.60种B.48种C.30种D.24种

【答案】B

【详解】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，

考虑8、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，

根据排列数的计算公式，得到，4A；,接下来，考虑其余三人的情况，

其余位置可以互换，可得A；种，最后根据分步计数原理，得到4xA；xA；=48种，

故选B.

『名校模拟

1.（2021春,辽宁•高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与

该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲"或"丙甲乙"是同一个排列.现有机位同学，若站成一排,

且甲同学在乙同学左边的站法共有6（）种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）

A.24B.48C.60D.120

【答案】A

【详解】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有M，则＜4：=60,解

得m=5,

甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙〃、“乙丙甲〃或〃丙甲乙”是同一排列，

其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为;A；,

由此可得〃个人围成一个圆的排列数为」A,；,5位同学围成一个圆的排列数为!々=24.

n5

故选：A

2.（2018春・北京海淀•高二统考期中）有这5名同学围成一圈，从A起按逆时针方向依次循环

报数，规定：A第一次报的数为1,B第一次报的数为3.此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数的

乘积的个位数字，如此继续下去.则A第10次报的数应该为

A.2B.4C.6D.9

【答案】D

【详解】第一轮五人依次报数为：第二轮五人依次报数为：第三轮五人

1,3,3,9,7；3,1,3,3,9；

依次报数为：7,3,1,3,3；第四轮五人依次报数为：9,7,3,1,3；第五轮五人依次报数为：3,9,7,

3,1；第六轮五人依次报数为：3,3,9,7,3；第七轮五人依次报数为：1,3,3,9,7；与第一轮重复，

所以第十轮五人依次报数为：9,7,3,1,3；即A第10次报的数应该为9,选D.

【题型八】数列思想：上楼梯等

1.斐波那契数列数列构造求解

2.可以把台阶转化为数字化型，一次一阶，记为数字1,一步两阶记为数字2,以此类推，这样上台阶转化

为数字1,2,。。排列，注意重复元素的排列

7典例剖析

1.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有

A.34种B.55种

C.89种D.144种

【答案】C

【详解】解法1：分类法：

第一类：没有一步两级，则只有一种走法；

第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有=9种可能走法；

第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有C；=28种可能走

法；

依此类推，共有-C；+C：=89,故选(C).

解法2：递推法：

设走3级有a,：种走法，这些走法可按第一步来分类，

第一类：第一步是一步一级，则余下的“一1级有a—种走法；

第二类：第一步是一步两级，则余下的“一2级有a针:种走法，

于是可得递推关系式a。=0-1-,又易得的=La：=2，由递推可得可：=89,故选(C).

2.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子

数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、.....,在数学上，斐波那契数列以如下被递

推的方法定义：=/⑵=1，/(〃)=/(〃—1)+/(〃-2乂〃22,这种递推方法适合研究生活中

很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二

楼就餐有()种上楼方法.

A.377B.610C.987D.1597

【答案】C

【详解】由题意若只有一个台阶，则有/(1)=1种上楼方法；

若有两个台阶，则有"2)=2种上楼方法；

若有三个台阶，则有/(3)=3种上楼方法；

若有四个台阶，则有/(4)=5种上楼方法；

以此类推：

若要到达第"个台阶，前一步可能在第个台阶上再跨一台阶上去，也可能是在第个2个台阶上跨两个台

阶上去，

回满足"〃)="〃-1)+/(〃-2乂〃22,〃€叱)，符合斐波那契数列的规律，由此规律列举出前15项：

1>2、3、5、8、13、21、34、55、89、144,233、377、610、987

团有15个台阶，则他到二楼就餐有987种上楼方法.

故选：C.

3.设整数数列为,电，…，4。满足4o=3q,生+/=2。5，且4+|€{1+0,2+《},，=1,2,…,9,则这样的数

列的个数为.

【答案】80

【详解】设々=4+i-4e{l,2}（i=l,2,,9）,则有2囚=4（,-4=4+仇++4…①，

b2+b3+b4=a5-a2=a^-a5=b5+也+4…②，

用f表示么也也中值为2的项数，

由②知，r也是4也也中值为2的项数，其中f《{0,1,2,3},

所以打,打，也的取法数为（C；丫+（C；丫+（C；丫+（C；丫=20,

取定瓦也，也后,任意指定仇也的值，有2?=4种方式.

由①知,应取伪w{l,2}使得。］+&+L+%为偶数，

而这样的4的取法是唯一的，并且确定了整数4的值，

进而数列4,4，，仇唯一对应一个满足条件的数列4，%，，«,«,

综上可知，满足条件的数列的个数为20x4=80.

故答案为：80.

誉名校模拟

1.（2020•上海•高三专题练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上

两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）

A.45种