海南省华侨中学2021-2022学年高一年级上册期末考试数学试题

海南侨中2024届高一(上)期末考试

数学科试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知集合用={123,4,5},Af={x|x2-x<6),则McN=()

A.{1,2}B.[1,3]C.{1,2,3}D.{4,5}

2.sin(-570°)=()

A.7B.--C.—u.-----

2222

3.“角夕为第二象限角”是“sin。tane<0”的()

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不

必要条件

4.下列函数中，既是奇函数又在区间(--0)上单调递增的是()

A./(x)=-co&xB./(x)=sinxC./'(%)=tanrD./(x)=x3-x-1

5.函数/(x)=x+—7,xe[2,5]的最小值是()

x—1

23

A.5B.—C.2-N/3D.26+1

6.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在

掷铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉

满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为gm,肩宽约为gm,“弓”所在圆的半径约为：m,

484

则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：近=1.414,6=1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

7.已知〃=02一"，6=InV2fc=sinl,贝(j()

A.a<h<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

试卷第1页，共4页

8.已知函数/（x）是定义在R在上的奇函数，且当x>0时，/.（x）=lgx,则函数

g（x）=/（x）-sinx的零点个数为（）个

A.2B.3C.6D.7

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9.已知函数y=/（x）的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

X123456

y-6.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064

则函数V=/（x）在下列哪些区间上一定存在零点（）

A.(1,2)B.(2,3)C.（3,5）D.（5,6）

10.已知cosa=q,且。为第二象限角,则下列选项正确的是（）

A/、5「.12-12

A.cos(^-a)=—B.sina=—C.tana=~

v71313

(

D.tanIoc-\—|=-----

I2）12

11.已知函数〃x）=3sin（2x+?）,则下列选项正确的是（）

A.〃力的最小正周期是4万B.函数y=|/（x）|是周期函数

C.函数尸小-系）是偶函数D./闺〈.既）

12.已知函数〃x）=ln（2*+1）-ln（2、-l）,则（）

A./（力的定义域为（0,+8）

B.4X）的值域为（。,+8）

C./（x）为减函数

D.“X）为奇函数

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

e,x40

13.若〃x）=1,则//--=___________：

lnx+—,x>0L\27J

14.已知点尸（1,2）在角a的终边上，贝ljsina=；

15.写出一个同时满足以下条件的函数；①是周期函数：②最大值为3,

最小值为-1：③在［0,1］上单调

试卷第2页，共4页

16.新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检!核酸检测分析是用荧光定量尸CR法，通

过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标。色实时检测，在

PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X,与扩增次数n满足：

lgX.=〃lg(l+p)+lgX。，其中p为扩增效率，X。为。M4的初始数量.已知某被测标本

DNA扩增8次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为；

该被测标本。扩增13次后，数量变为原来的倍.(参考数据：10°.=]334,

1002=1.585,1O025«1.778，1O03®1.995.)

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

1，111

17.(1)计算：0.064'+16*+0.252

(2)若10"=2,1(F=25，求2〃+机的值.

18.在单位圆中，已知第二象限角0的终边与单位圆的交点为尸(%,%),若为=g.

⑴求sina、cosa、tana的值；

⑵分别求sin(37t—a)、cos(。一与)、tan(—77r+a)的值.

19.己知函数/(x)=e2'+/.

⑴当a=l,/(x)为奇函数时，求人的值；

(2)如果/(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a,b值；

(3)若。>0,b>0,且/(x)的最小值为2,求2a+6的最小值.

20.已知函数/(x)=l-2sinx.

⑴用“五点法”做出函数/(x)在xe[0,2句上的简图；

2457r

(2)若方程/(x)=a在xe上有两个实根，求”的取值范围.

3O

21.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一

定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、

乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚

种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入。与投入

。(单位：万元)满足尸=80+4疝，。=；。+120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，

每年两个大棚的总收入为火x)(单位：万元).

试卷第3页，共4页

(1)求义50)的值;

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入｛x)最大？

22.已知函数/(x)=log式

(1)求函数/W的定义域；

(2)设g(x)=〃x)+a,若函数g(x)在(1,2)上有且仅有一个零点，求实数。的取值范围;

m

(3)设〃(X)=/(X)+K，是否存在正实数"7,使得函数y=〃(x)在［1,2］内的最大值

为4?若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.C

【分析】解不等式化简集合N,再利用交集的运算可求解.

【详解】集合％=卜卜2_》46}=卜岷一3)1+250}=计24x43}

又集合M={123,4,5},所以McN={l,2,3}

故选：C

2.A

【分析】利用诱导公式即可求得.

【详解】由题意可得sin(-570°)=sin(-570°+720")=sinl5(r=sin(18(r-3(r)=sin30°=；.

故选：A

3.B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当角。为第二象限角时，sin®>0,tane<0,所以sin。tan。<0,故充分；

当sindtanOcO时，sin9<O,tan。>0或sin。>0,tan®<0,所以。在第二象限或在第三象限,

故不必要；

故选：B

4.D

【分析】利用/(x)=-coax是偶函数判定选项A错误：利用〃-2兀)=/(-兀)=0判定选项B

错误；利用/(x)=tanx的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明/(x)是奇函数，

再通过基本函数的单调性判定/(x)的单调性，进而判定选项D正确.

【详解】对于A：/(x)=-cosx是偶函数，

即选项A错误；

对于B：/(x)=sinx是奇函数，但/(-2兀)=/(-兀)=0,

所以/(x)=sinx在区间(v,0)上不单调递增，

即选项B错误；

对于C：/(x)=tanx是奇函数，

答案第1页，共11页

但/(x)=tanx的定义域为(-■|+版,尹时，keZ,

即选项C错误；

对于D：因为X/xwR,-xeR,

有/(-x)=(-x)3-(-X)-1=-，-』)=-f(x),

即/(x)是奇函数；

因为必=/在区间(v,0)上单调递增，

%=-x—=匚在区间(F,0)上单调递增，

X

所以/(X)=X3-XT在区间(-应0)上单调递增，

即选项D正确.

故选：D.

5.D

【分析】利用基本不等式可求得/(X)的最小值.

【详解】/(X)=XH———=(X—1)d——-~~F1>21)—~~1-1=2-^+1.

X1X****1VX~~1

当且仅当时，即当》=6+1时，等号成立，

故函数“X)的最小值为26+1.

故选：D.

6.B

【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之

间的距离，求得其弦长，即可求解.

【详解】如图所示，由题意知“弓''所在的弧斜的长/=E+f+W=苧，其所对圆心角

4488

57

^_8__£

=万一5'

4

则两手之间的距离|/8|=2|/必=2xjxsin1.768仙).

故选：B.

答案第2页，共11页

B

7.B

【分析】中间值比大小.

［详解］a=02^>0.2°=116=ln&<ln6=g,c=sinl>sin.=；且。=sinl<1,所以

b<c<a

故选：B

8.D

【分析】作出函数_V=lgx(x>0)，和卜=5出才。>0)图象，可知当x>0时，g(x)=/(*)-sinx

的零点个数为3个；再根据奇函数的对称性，可知当x<0时，g(x)也有3个零点，再根据

g(0)=0,由此可计算出函数g(x)的零点个数.

【详解】在同一坐标系中作出函数夕=lgx(x>0),和^=5而、(丫>0)图象，如下图所示:

又因为函数〃可和卜=$皿》均是定义在R在上的奇函数，

所以g(x)=/(x)-sinx是定义在R在上的奇函数，

根据奇函数的对称性，可知当x<0时，g(x)=/(x)-sinx的零点个数也为3个,

答案第3页，共11页

又g（O）=/（O）-sinO=O,所以x=0也是零点;

综上，函数g（x）=/（x）-sinx的零点个数一共有7个.

故选:D.

9.ABC

【分析】利用函数的表格的函数值，结合零点存在定理，即可求解.

【详解】因为函数夕=/（》）的图像是一条连续不断的曲线，

又/⑴•/（2）＜0,所以函数在（1,2）之间一定存在零点，故A正确；

/（2）-/（3）＜0,所以函数在（2,3）之间一定存在零点，故B正确；

/（3）・/（4）＜0,/（4卜/（5）＜0,所以函数在（3,4）,（4,5）之间一定有零点，所以在区间（3,5）之

间一定有零点，故C正确；

/（5）-/（6）＞0,所以函数在（5,6）之间不一定有零点，故D不正确；

故选：ABC.

10.AB

【分析】利用诱导公式求解A选项，利用同角三角函数平方关系求解B选项，再利用同角

三角形函数的商数关系求解C选项，利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求解D选项.

【详解】A选项，由诱导公式得：cos（7i-a）=-cosa，A正确；

B选项，因为sin2a+cos2a=l,且a为第二象限角，sina＞0,所以sina=Jl-cos2a=||,

B正确；

C选项，tana=巴吧=-"，C错误；

cosa5

71

2cosa得，D错误.

-sincr

故选：AB

11.BC

【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项;

利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数〃x）=3sin[2x+q）的最小正周期为7=券="，A错；

答案第4页，共11页

对于B选项,

故函数y=|/（x）|是周期函数，B对;

=-cos2x,

对于C选项，fI8JLI8J4」I2)

上单调递减,

故选：BC.

12.ABC

【分析】利用对数型复合函数的定义域，列不等式组可判断A；由对数型复合函数的值域可

判断B；根据复合函数的单调性可判断C；根据奇偶性定义可判断D.

2v+l>0,

【详解】由解得x>0,A正确.

2x-l>0,

/(x)=ln|M=ln[l+W"因为1所以扉1+白口0,B正确.

2-1\2—172—1\2-17

因为函数y=l+号在(0,+8)上单调递减，

函数>=111/在（0,+8）上单调递增，所以/（X）在定义域内单调递减，c正确.

/（x）的定义域为（0,+8）,不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，D错误.

故选：ABC

13.1

【分析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解.

【详解】/（-；）=e3=e；,所以/=lneUl-=UU1.

故答案为：1

14.正指4格

55

【分析】根据三角函数得定义即可的解.

答案第5页，共11页

【详解】解：因为点尸(1,2)在角a的终边上，

所以sina=4==述.

J1+45

故答案为：亭.

15./(x)=2cosx+I(答案不唯一)

【分析】根据余弦函数的性质，构造满足题意的函数，由此即可得到结果.

【详解】由题意可知，/(x)=2cosx+l,

因为/(x)=2cosx+l的周期为2万，满足条件①；

又cosxe[-l,l],所以2cosx+le[-l,3],满足条件②；

由于函数了=8$》在区间[0,1]上单调递减，所以/(x)=2cosx+l区间[0,1]上单调递减，故

满足条件③.

故答案为:/(x)=2cosx+l.

16.0.7781788

【分析】①对数运算，由某被测标本OM4扩增8次后，数量变为原来的100倍，可以求出

P；

②由〃=13,可以求数量是原来的多少倍.

【详解】vlgX"=nlg(l+p)+lg4，4=100J0

・•・lg(l+P)=?lg?=:

p=10^-1«0.778

v1

lgq=13xlg(l+0.778)=3-

44

Y31

3=10'>X1000X1.778=1778

儿

故答案为：①0.778；②1778.

17.(1)10；(2)2.

答案第6页，共11页

【分析】（1）利用分数指数基运算法则分别对每一项进行化筒，然后合并求解;

（2）先利用已知条件，把机、〃表示出来，代入要求解的式子中，利用对数的运算法则化

简即可.

【详解.】⑴原式=焉1+瓶7+而X=—1+8+-=10

22

(2)因为10"=2,10"'=25，所以〃=lg2,w=lg25,

所以2〃+〃z=21g2+lg25=21g2+2lg5=2Qg2+lg5)=21g10=2

272

18.(l)sina=-,coscr=--------，tana=

34

(2)sin(37t-a)=；,3兀T，tan（-7兀+a上乎

COS6Z--

【分析】（1）先由三角函数的定义得到sina=%=；,再利用同角三角函数基本关系进行求

解;

（2）利用诱导公式进行化简求值.

⑴

解：由三角函数定义，得sina=%,=g,

8

由sin2a+cos2a=1得cos%=l-sin2«=—,

又因为。为第二象限角，所以cosa=-2也

3

]_

sincr3V2

则tana=------=—=.

人」cosa2V24'

亍

⑵

解：由诱导公式，得:

sin(3n-a)=sin(…)=sina=L

'3

nt\3兀n1

则cos[a-；-=cosa+一=-sina=——,

2.3

—立

tan(-7;c+a)=tana=

19.(1);>=-1

（2）。=1,b=-l（答案不唯一，满足/<0即可）

答案第7页，共11页

(3)272

【分析】(1)当。=1时，根据奇函数的定义，可得2、+方2-、+2-、+从2'=0,化简整理，即

可求出结果；

(2)由函数y=2*和函数y=2T在R上的单调递性，可知帅<0,即可满足题意，由此写

出一组即可；

⑶令2』,(f>0),则〃x)=a2++af+；,然后再根据基本不等式和已知条件，可

得必=1,再根据基本不等式即可求出结果.

(1)

解：当a=l时,f(x)=2x+-^=2x+b-2-x,

因为〃x)是奇函数，所以〃r)+/(x)=O,

即2'+62-*+2-、+62=0,得(2，+2-*)(6+1)=0,可得6=-1；

(2)

解：当。=1,6=7时，此时函数为增函数.(答案不唯一，满足/<0即可)

检验：当。=1和6=7时，y=y=g,均是R上的单调递增函数，所以此时

y(x)=e2*+/是R上的单调递增函数，满足题意；

(3)

解：令2，=/">0),贝ij/(x)=a-2，+q=af+：,

所以荷号，即川+：22而，当且仅当小=；,即f=A时等号成立，

所以/(x)mm=2疝，

由题意，2疝=2，所以ab=l.

由2。+人2212ab=2>/2,

⑵〃［交

当且仅当2a=6时等号成立，由:，解得［“-2,

9T

所以(2。+6)喻=20.

答案第8页，共11页

20.（1）答案见解析

(2)(7,0]U[l+6,3)

【分析】（1）根据“五点法''作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；

（2）将原问题转化为'=$小》与y==在xe-"名上有两个不同的交点，作出函数

—inx在、一77的图象，由数形结合即可得到结果.

【详解】（1）解：列表:

713万

兀24

0~2T

/f{（xX)）1--111331

（2）解：若方程/（力=。在xw""上有两个实根，

则^=sinx与y=L或在xw-空，苧上有两个不同的交点,

236_

2aS/r_

因为xw不，所以sinxfj-Ll]

2乃54

作出函数》=$由不在的图象，如下图所示：

36

由图象可得，—―或!W二2<1,

2222

答案第9页，共11页

故a的取值范围是(T0]U[l+6,3).

21.(1)277.5；(2)投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大.

【分析】(1)由/(50)=尸(50)+0(150)计算可得；

(2)由已知列出函数式/(x)=P(x)+0(200-x),注意定义域，然后换元/=正，化为二次

函数，由二次函数知识得最大值.

【详解】(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元,

所以次50)=80+4疡而+；*150+120=277.5.