2023年重庆市高一年级下册学期期末数学试题（含解析答案）

2022年春高一（下）期末联合检测卷子

数学

数学测卷子共4页，总分值150分.考试时间120分钟.

考前须知：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘

贴的的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔

在答题卡上书写作答.假设在真题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将真题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪

一项符合题目要求的.

1.复数」一的虚部是

1+1

111.1.

A.——B.-C.—1D.——1

2222

（答案）A

（解析）

（分析）利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共筑复数，化简为复数的标准形式a+bi（a力6R）,

b即为虚部.

（详解）

11-i1-i11.11

—、=工/=不一不1，所以复数•；一7的虚部是—q.

1+1+2221+i2

2.设向量）=（2,1）,b=（3,/H）»aA-b>则加=（）

313

A.-6B.--C.--D.一

262

（答案）A

（解析）

（分析）由向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.

（详解）由题意，a-b=6+m=0>即〃z=-6.

应选：A

3.设空间中的平面a及两条直线q,6满足a<za且bua,则“ac8=0”是"a〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（答案）B

（解析）

（分析）由直线、平面的位置关系，结合充分和必要条件定义作出推断.

（详解）当acb=0时，因为且bua,所以。与a可能相交；

当。〃a时，因为且bua,所以acb=0；

即“acb=0”是"a〃a”的必要不充分条件.

应选：B

4.某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如

表：

分位数50%分位数60%分位数70%分位数80%分位数90%分位数

户月均用电量

150162173195220

〔单位：kW-h）

如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确

定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为（）

A（162,173]B.（173,195]C.（173,220]D.（220,+oo）

（答案）C

（解析）

（分析）依据题设户均用电量的百分位数对应的值，结合电量覆盖要求即可得第二档电量区间.

（详解）由题意，第一档用电量区间为（0,173],第二档用电量区间为（173,220].

应选：C

5.已知口Z8C的面积为"荔•就，则NA4C=（）

2

兀兀兀2兀

A.-B.-C.—D.—

6433

（答案）C

（解析）

（分析）由向量数量积的定义及三角形面积公式可得JJcosN8ZC=sinN8NC，结合三角形内角性质即

可求ABAC.

（详解）由题设，SABC-7c^—\~AB^~AC：\cosZBAC，又S=；|前||就|sin加C

222

所以GcosZB/C=sin的C，即tan/8/C=G，而0<N34C（乃，故/8ZC=；.

应选：C

6.在正方体48CO-4AGA中，与直线/与不垂直的直线是（）

A.A{BB.BCC.4。D.BD]

（答案）C

（解析）

（分析）在正方体中，借助线面垂直关系进行推断.

（详解）如下图，

在正方形288/中，AB.1A{B；

因为8C_L平面488/,故8C_LZg；

连接8。、AC,因为8C///Q,所以/4与同。所成的角为60。，不垂直;

易得8R_L平面N8C，所以所以C正确.

应选：C

7.已知某圆台上下底面的面积之比为1：9,侧面积为则，母线长为2,则该圆台的高为（）

3

oFc4

A.2B,C.-D.1

33

（答案）B

（解析）

（分析）设圆台的上底面半径为r，母线长为/,高为〃，由题意确定下底面的半径为3r，由圆台的侧面

积公式求出人由此求解圆台的高即可.

（详解）解：设圆台的上底面半径为「，母线长为/,高为〃，

因为圆台的上底面面积是下底面面积的二倍，

所以下底面的半径为3r，

又母线长/=2,圆台的侧面积为画，

3

则乃（尸+3r）1=2Mr+3r）=今艺,

解得r=—,

3

则圆台的高/=半.

应选：B.

8.从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（〕

1111

A.-B.-C.-D.一

6543

（答案）B

（解析）

（分析）依据题意，列举出从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动的情况，进而结合古典概型求解即

可.

（详解）解：设（q,%），（〃,b2）,（q,C2）分别表示三对夫妇，

从中随机抽选2人参加采访活动的情况有：（％,。2）,（%力1）,（《力2）,（《,。|）,（%,。2）,

（附,4）,（。2也）,（。2，。）,（出，。2），（乙也）,（4，。1）,（如。2），仅2，。），92，。2），（g）,共15种；

其中，恰好抽到一对夫妇的概率为（41,生），（久也），（。1，。2），共3种，

31

所以，恰好抽到一对夫妇的概率为尸=百=《.

应选：B

二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于复数z及其共加复数彳，以下说法正确的选项是（）

A.z+zeRB"z|=|目

C.|z-z|=z2D.z-Z=|ZI-IZI

（答案）ABD

（解析）

（分析）依据题意，设2=。+药,。/6火，则z=”—历，进而依次商量各选项即可得答案.

（详解）解：依据题意，设z=a+bi,a,bwA,~z=a-b\>

则z+彳=2awR,|z|=|J|=yja2+h2>|z-z|=a2+b~,z~—a"—b2+2abi,z-z=|z|•|z|=a2+/）2

应选：ABD

10.设平面向量|刈=1,|B|=2,B在万方向上的投影向量为了，贝i］（）

A.a-c=chB.a-b-a-c

C.\a-c\„2D.a-c=\a\-\c\

（答案）C

（解析）

（分析）依据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.

（详解）解：

对于AB,如图，当6=45°时，

a-c=|a|-|c|cos6>=|c|2,c-b=同•忖为/=|司•^cos，=|司.同，均不相等，故AB错误，

因为|工|<|£|=1,|展列=|1卜|可856=|初242,故©对,

a-c=\a\-\c\cos0,故D错误.

应选：C.

II.已知10（）个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件4="第一次抽到

的零件为次品"，事件4="第二次抽到的零件为次品"，事件/="抽到的两个零件中有次品"，事件

8="抽到的两个零件都是正pin”,则（）

A.尸（止尸⑷B.P（4）=P（4）+P（4）

C.P（AuB）=P（A）+P（B）D.P（fi）=［l-P（4）］-［l-P（J2）］

（答案）AC

（解析）

（分析）利用事件之间的关系，结合概率的加法、乘法公式求解.

C1149x2+1x11

（详解）尸（4）=不占=«，P（A2）^-所以A正确；

C1005050x9950

因为4c4#0,A=AiUA2,故尸（z）=尸（4）+尸（4）一尸（4CI4），所以B错误；

因为/口8=0，ZU8=Q,即/、8为对立事件，故P（Zu8）=P（/）+P（8）,所以C正确；

尸⑻奈=黯，口-尸（4）］11"⑷卜亲黑PS所以D错误.

应选：AC.

12.某学校规定，假设五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5。。则需全员进行核酸

检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5七的人数，则依据这组数据的以下信息，能断定该校不需

全员进行核酸检测的是（）

A.中位数是1,平均数是IB.中位数是1,众数是0

C.中位数是2,众数是2D.平均数是2,方差是0.8

（答案）AD

（解析）

（分析）利用中位数、众数、平均数和方差的定义逐项推断.

（详解）A.因为中位数是1,设五个工作日内每天体温超过37.5。（2的人数为从小到大的顺序为a,b,1,

c,d,

因为平均数是1,所以a+b+l+c+d=5,假设d=4,则。=力=，=0,不合题意，故正确：

B.设五个工作日内每天体温超过37.5。（2的人数为从小到大的顺序为0,0,1,2,4,

满足中位数是1,众数是0,但有一天超过3,故错误；

C.设五个工作日内每天体温超过37.5七的人数为从小到大的顺序为0,2,2,3,4,

满足中位数是2,众数是2,但有一天超过3,故错误；

D.设五个工作日内每天体温超过373C的人数为a,b,c,d,e,

因为平均数是2,方差是0.8,则

a+b+c+d+e=10,

—[("2)2+仅一2)2+(c-2)2+(d—2/+(e-2)2]=0.8,

5L-

即(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2+(d-2)2+(e-2)2=4,

则eW4,假设e=4,从方差角度来说。=b=c=d=2,不满足a+Z>+c+d+e=10,

所以e<4,故正确.

应选：AD.

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.

37t

13.在口/8C中，BC=6,〃C=2,ZBCA=—,则Z8

（答案）回

（解析）

（分析）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解第三边.

37r

（详解）在口/8C中，BC=6,/C=2,NBCA=——,由余弦定理得，

4

AB2^BC2+AC2-2BCACCOSNBCA=（V2）2+22-2X72X72COS—

4

=2+4-2xV2x2x（-^）=10

所以

故答案为：Vio.

14.如图，边长为2的正方形48'C'。'是用斜二测画法得到的四边形Z8C。的直观图，则四边形Z8CD

（答案）872

（解析）

（分析）依据题意，求出直观图正方形的面积，由直观图和原图的面积关系分析可得答案.

（详解）解：依据题意，正方形HB'C'。'的边长为2,其面积=2x2=4,

其该平面图形的面积5=，

故答案为：8A/2.

15.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是.

（答案）三

36

（解析）

（分析）先计算根本领件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.

（详解）连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6x6=36,2次点数之和为8的有：

（2,6）,（3,5）,（4,4）,故有2x2+l=5种，其概率为三；

36

故答案为：2.

36

16.如图，46co是棱长为6的正四面体，瓦尸为线段的三等分点，G,"为线段CD的三等分点,

过点E,F,G,〃分别作平行于平面8CQ,平面4cQ,平面平面Z8C的截面，则正四面体

ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为.

（答案）竺也

3

（解析）

（分析）依据题意，取△8CO中心。，连接。4,进而得04,平面8co，再依据几何体关系计算得

VA_BCD=1872,%MN=半,进而得正四面体48。被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积

““T,...46及

为修=-A-BCD~4嗫-EMN—-2-'

（详解）解：如图，取△8CQ中心。，连接04,

因为ABCD是棱长为6的正四面体，所以04J.平面BCD,

依据几何关系：BO=2#）,AB=6,AO=2底,

匕-BCO=；S口Bco.OZ=gx；x6x6x

所以正四面体Z8CD的体积为:

因为平面励W//平面8CZ>,E为线段N5的三等分点，

所以SNMN=，三棱锥A-EMN的高力=，

1

所以“_c,_1r/_18V2_2V2

"I"^A-EMN~qS\EMN•h~万^A-BCD~~~~'

所以正四面体48c。被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为

v_v_AV]968叵46Vl

/_丫A-BCD-4,A-EMN-1323-3

故答案为：竺也

3

四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1T

17.在口Z8C中，AB=3,AC=2,1=§,点。，E分别在边BC上，且而=丽,

'BE=2EC<^DE=x'AB+yAC.

（1）求x,y的值；

（2）求|方

12

（答案）（1）x=——，歹=一

63

⑵-

6

（解析）

【分析）（1）依据平面向量线性运算法则计算可得应=-J在+金祝，即可得解；

ULUUL1UI____»|2（

（2）依据数量积的定义求出/8./C,再依据=--AB+-Ad\,利用数量积的运算律计算可

63J

得;

（小问1详解）

—.1—,—.2—►

解：因为益=丽，BE=2EC，所以DB=^AB,BE=-BC,

所以历=丽+屁=,而+2芯=_1万+2（%—刀）=一_1万+2就

2323、>63

▼,12

所以x=一一，y=-；

6-3

（小问2详解）

解：因为力。=卜8川/。卜0$/=3x2x；=3,

1

1---*24——22*•

=—AB+-AC——ABAC

3699

=5网+押-I万就

1c24022r49

=——X32+—x2~——x3=—

369936

所以其1=（;

13

18.某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为一，一,

34

2

且三人是否晋级彼此独立.

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率;

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.

（答案）⑴2；

1O

⑵g

36

（解析）

（分析）（1）正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率即可；（2）分成三种情

况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.

（小问1详解）

设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A,依题意P（Z）=1-

（小问2详解）

设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为8,依题意

19.如图，在正三棱柱Z8C—44G中，M,N分别为棱44，8c的中点.

[1]证明：4N"平面BMG；

[2]证明：平面BMG■1平面84GC.

（答案）（1）证明见解析

（2）证明见解析

（解析）

（分析）（1〕取8c的中点。，连接初，MD,即可得到四边形/团DN为平行四边形，从而得到

ANHMD,即可得证：

（2）依题意可得BCLAN,即可得到4V，平面88。。，再由4N//MD,即可得到

/。，平面84£。，从而得证；

（小问1详解）

证明：取8G的中点。，连接ND,MD,

因为M,N分别为棱44-8c的中点，

所以NDUCC.HAA,,ND=-CC.=AM,

2

所以四边形4WDN为平行四边形，NN//A〃九

又MDu平面BMC-平面8MG，

AN//平面BMq；

A

（小问2详解）

证明：•••3A_L平面ZNu平面48C,所以

又BCLAN,BCCBB】=B,8c,84u平面88。。，所以NN,平面

因为ANHMD,所以A/D_L平面84GC，

又加。u平面氏0G，所以平面BMC、1平面BB£C：

20.学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知全部学生的成绩均在区间［100,150］内,

且依据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.

分组频数频率

[100,110)0.05

[110,120)

[120,130)400

[130,140)0.3

[140,150]0.1

合计10001

（1）求图中。的值；

（2）试估量这1000名学生此次数学考试成绩的中位数.

（答案）（1）。=0.015；

（2）127.5.

（解析）

（分析）（1）补全直方表数据，依据频率和为1求参数a；

（2）利用直方表及中位数的求法求1000名学生此次数学考试成绩中位数.

（小问1详解）

由题设，频率直方表如下：

分组频数频率

[100,110)

500.05

[110,120)

15010a

[120,130)

4000.4

[130,140)

3000.3

[140,150]1000.1

合计10001

所以10a=0.15,可得a=0.015.

（小问2详解）

由（1）知：0.05+10。=0.2<0.5<0.05+10。+0.4=0.6,

所以中位数位于[120,130）内，令中位数为x,

则0.05+10a+(x-120)x0.04=0.2+(x-l20)x0.04=0.5,可得x=127.5.

21.如图1,在梯形N8CD中，ABIICD,ADA.DC,24B=2AD=CD=4,将△/O6沿。5折

成如图2所示的三棱锥尸―D8C,且平面PD5_L平面。8C.

⑴证明：PDLBC；

[2〕设N为线段PC的中点，求直线DN与平面PBC所成角的正切值.

（答案）（1）证明见解析；

⑵半

（解析）

（分析）（1〕由已知及勾股定理可证8。，2C,再由面面垂直的性质证8。_1面以58,依据线面垂直的

性质证结论.

（2）由等体积法有匕=求出。到面尸8c距离，再证明PD1尸C求出。N,即可求线面角的

正弦值，进而求其正切值.

（小问1详解）

由2Z8=2ZO=CD=4,且N8//CZ）,ADLDC,

所以等腰口14/及）中80=2及，假设后为8中点，则N8E。为正方形，

所以BEJ_C。，且BE=DE=EC=2,故8c=2/，

所以BD2+BC2=CD2,则BD1SC,

又面平面Z>8C,面PDSn平面。=6Cu平面。8C,

所以8CJ■面PO8,而尸。u面则尸。18c.

（小问2详解）

由（1）知：BC上面PDB，且△必。为等腰直角三角形，

所以S,pBo=528'尸£）=2，而8c=2近，故VC-PBD=：BCSPBD'

NJ3

由尸3u面PZW，有「818C,而PB=4B=2,且匕「尸即=/“灰-，

所以S”BC=；PB-BC=2^,假设D到面P8C距离为〃，生色，

所以0=2.

由（1）,尸0=2,CD=4,而PC=dPB?+BC2=26，故P。？+尸c?=,

所以PQ_LPC,而N为线段PC的中点，故尸N=百，

所以DN=yJPN2+PD2=J7>

h27F\

假设直线。N与平面P8C所成角为。，则sine===-7=,故tane='士.