2023年汕尾市普通高一数学竞赛试题及答案

2023年汕尾市普通高中学科竞赛(高一)

参考答案及详细解析数学

一、选择题(共6小题，每小题5分，共30分)

123456

答案DBBACC

1.D【解析】设z=a+6i(a,6eR),

3

--储+川=9,"二行，

由z・z=9且z+z+1zl=0,得解得

[2a+3=0,|.3万

…小攀=3(+*.

而(-1-争)=4+3x(一刽+3x(一「x(一别一明Z,

(-»>)=-Rx(-L+3x(-1x(争)+图

y—2022y—3674

.\2。22=32。22.4土学与值.1土争]=3”22

故选D.

2.B【解析】取△/18C的中心*连接PE,贝IJPE_L平面48C,且与棱均相切的球的球心

。在PK上，连接/1E并延长交8c于点。，则。为8c的中点,AD1.BC.

连接。。，易证8CJ.0。，过。作。交P/1于点/7

设球。的半径为r,贝1］。。=。尸=「，由题意易求得4。=3,AE=2,£7)=1.

由勾股定理得PE=，四2-4/=/12-4=2泛

在RtaP4E中，sinaAP£=4^=B=坐.

伊2后3

设OE=i(0<c<2拒)，贝疗。=6"=75r.

因为r=OD=VED2+OE1=/P+1,从而t+37

2货,所以广=,所以/=(孝)+1=去,r二亨，R

故球0的体积V=-1-7Tr3=y-ir(9)二、后?.

P-1,0—W1

3.B【解析】作出函数/(”)=1和>=一j-x的图象如图.

一，X>1

1X

高一•数学参考答案及详细解析第1页(共9页)

关于”的方程/(%)=-yx+/nR)恰有两个互异的实数解，等价于)，=/(%)

与y=+m(m£R)的图象有两个不同的交点，平移y二-十%,考虑直线经过点

7

(1,2)和(1,1)时有两个交点，可得加或

考虑直线y=-在％>1时与y=L相切,

3x

可得皿-"¥2=1,即％2_3侬+3=0,

由4=9/-12=0,

得加=手或加=普(舍).

综上所述，m的取值范围是［寺，引U｛竽卜故选B.

4.A【解析】由/(%)=1g%+(a—3)加一2a+6>0,得1g%>(3—a)比+2a—6.

由题意可知，满足不等式lgx>(3-a)%+2a-6的解中有且只有两个整数，

即函数)，=1g%在直线),二(3-a)%+2。-6上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.

如下图所示：

由图象可知，由于y=(3-a)%+2a-6=(3-a)(%-2),该直线过定点(2,0).

要使得函数y=lgx在直线y=(3-a)%+2a-6上方的图象中有且只有两个横坐标为整数

3-a>0,<3,

的点,则有即解得aW3—lg3.

1g3^3(3-a)+2a-6,[QW3-1g3,

又a>0,所以0<aW3-lg3,因此，实数a的取值范围是(0,3-lg3].故选A.

5.C【解析】根据题意，不妨设b=(2,0),a=(2cosa,2sina),aG[0,2F],C=

(3y),贝IJ/c=2%所以求力-c的最大值，即求％的最大值.

由•(c-b)=0,可得c?-a•c-b•c+a-=0,

即/-2sina•y+x2-2x(1+cosa)+4cosa=0,因为关于y的方程有解，所以A=4sin2a

-4%2+8x(1+cosa)-16cosa20,即A=4(1-cos2a)-4x2+8%(1+cosa)-16cos,

令，=cosa(-贝lj#一2(I+1)%+(/+41-1)w0,

所以([+1)—J2W%W(z+l)+\/2—2z,

高一•数学参考答案及详细解析第2页(共9页)

令/2-2l=/n（0WmW2）,则（c+l）+/2-2l二一『十。,

当加=1时，（Z+1）+笈二五取得最大值所以x这会，所以万・CW5,所以的最

大值为5,故选C.

6.C【解析）在△48C中，Z>2sinB-absinA=2S,S=^-acsinB,a'6sin4=a,asinB,

且在△48C中，恒有sinB>0,故题干条件可化为b2-a2=ac.由余弦定理得力=a2+c2-

2aoeosB,故。=2acosB+a,又由正弦定理化简得

sinC=2sin4cosB+sinA=sinAcosB+cos4sinB,

整理得sin（5-4）=sin4,故4=4或5-4=f-4（舍去），得6=24

0<4<-J,

因为△48C为锐角三角形，故.0<24<?解得点"<学，故亨<tan4<l,

0<TT-34<

故3tan4+氤/，4）.

故选C.

二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）

题号78910

32而-亨

答案{-2^5,2⑸0}/VS-^2T

题号11121314

8_33

答案21

13一了

7.{-26,275,0}

【解析】由于（a*-1）（久2+ax+5）=0,等价于a*-1=0①或支2+ax+5=0②，

又4={1},4*5=1,可知8要么是空集，要么是二元素集合.

（1）若8是空集，则方程①无实根，方程②无实根，此时。=0;

（2）若8是二元素集合，则方程①有一个实根，方程②有两个相等的实根，

ra^O,

此时，,

=『-20=0,

解得。=±2后，所以实数a的所有可能取值构成的集合5={-26,2万，0}.

故答案为{-2行,2⑸0}.

8.y/13-72

【解析】复数z满足1W|z+l+i|wE,即1W|z-（-1-i）W整,

高一•数学参考答案及详细解析第3页（共9页）

即复数Z在复平面内对应的点Z到点C(-1,-1)的距离d满足1wdw忘

设P(2,1),|2-2-4表示复数？在复平面内对应的点2到点2(2,1)的距离,

数形结合可知|z-2-i|的最小值为：

\AP\=|PC|-72=+2?-衣=国-汽.

故答案为/叵-反

[解析】当。片1时，/(£)=(a-l)x+l+=(«-1)(x-1)+—+(a-1)+1注

X-1X-1

2/a-1+(a-1)+1=(y/a-1+1)〜，

当且仅当x=Jm+1>1时，取“=”，

••/(%)min=(-1+1),

于是/(%)〉6恒成立就转化为(FT+1)2>6成立；

当a=1时,/(%)=1+-^~r>1.

x—1

设事件4:“/(%)>%恒成立”，

则基本事件总数为15,即

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(3,1),(3,2)(3,3),(3,4),(3,5)；

事件4包含基本事件:(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(3,5),共9个.

所以P(4)=尚=]C

10.2而-亨

阴一六C

铲

【解析】以4,B,C,D为顶点构造棱长为2的正方体ABCD-4'B'C'D',A

瓦/'

连接P9,DtQ.|由对称性得PB'=PB,,PB,+PQ=PB'+PQ,因为

/\I

E是DDt上的动，点小是下底面上的动点，

高一•数学参考答案及详细解析第4页(共9页)

则△，后尸是直角三角形，Q是E尸的中点，且芯/=万，故?Q=^,

所以P8'+PQ取最小值时，D,,Q,P,方四点共线，

222

则DtB'=/l+2+2=2西，此时PB、+PQ=2^-g.

故答案为2而-，

11.2

【解析］/(*)=-:cos2x+/>sinx+-=^-sin—+bsinx,

令"sinxe[-1,1],问题等价于g(D=f2+犯

对任意。，«2e[-1,1],都有注氏)-g&)「4,即g(t)m”-g(t)m"W4.

欲使满足题意的人最大，所以考虑6>0,

g(t)=y+机图象的对称轴为y-b,

=6+

当0<6<1时,g(t)max=g(l)y>g(，)min=g(⑷=g,

12ii

g(0max-g(t)min=5+6+5=下(6+]尸<2这4,.,.0<6<1成立；

当值1时，g(t)a-g(t)111M=g(l)-g(-l)=2h4,则收2,即10)W2,

综上，0<4w2.

所以/，的最大值为2.

8/TI

12

【解析】•.T,D,P三点共线，.•.可设」=人而(4>0).

百二机港+(5■一机)瓦,

4

...人而二加而+即丽二夕崩+七一无.

•・•8,D,C三点共线，

4

:"=8,AD=2.

,.•48=3,4c=2,乙朋C=90。，,8C=A

设C7)=x,ACDA=0,则80=/IT-工，乙BDA=r-e.

用wA廿…工m~T‘口/IAD2+CD2-AC2X...AD2+BD2-AB2

.•.根据余弦7E理可得cosB=—yjy.一而一=7，cos(TT-0)=」而)—ur)一

ZAU•CU4ZAU•DL)

高一•数学参考答案及详细解析第5页(共9页)

(取-j-5.

4(yiT-x)

*.*cos0+cos(IT-9)=0,

.X(/\3-XY-5=0,解得工二梏1,

I4(713-X)

CD的长度为宜君.

13.1

【解析】由/(x+l)-2为奇函数，可得f(x+l)-2=-/(-彳+1)+2,函数/(x)的图象

关于点(1,2)对称，又定义域为R,则有/(1)=2；又/(工+2)为偶函数，可得/设+2)=

/(-x+2),函数/⑺的图象关于直线x=2对称，则/(*)=4-/(2-%)=4-/(2+彳)，

又/(2+x)=4-/(-彳)，则/(》)=/(-工)，则/(工+2)=/(-工+2)=/(一2),函数/⑺

的周期为4,

M^F)M1012+T)MT)=4MI)；

由上可得/(-1)=/(1)=a+b/(0)=4-/(2)=4—4QT,贝

9[a+6+4-4a-6=1,

/0二1,

解得

U=i,

贝廿信)=4%'+i=3,则/(竽)=4_彳方)=i.故答案为1.

14--

4

【解析】因为6%+y+2xy+2=0,则63+y+2町+3=1,即(2%+l)(y+3)=1,

令2%+1=/〃，y+3=〃，所以nm-1,

所以%2+y2+x+6y=fm1)+(n-3)2+m+6(n-3)=-^-/n2+〃2一圣

又+n2Nmn=1,当且仅当^■机=n=李时取等号,所以％?+y2+%+6y的最小值为

।3733

44

故答案为吟

三、解答题（共4小题，每小题20分，共80分）

15.解：当a=o时，不等式|2%|+13比|NO对％sR恒成立，满足题意；.......3分

当a.。时，不等式\2x-a\+\3x-2a\^a2<^>2•--1+3­--2>|a|,

aa

...............5分

令”王eR,则有⑵-1|+|3t-2|才|a|,依题意,不等式⑵-1|+⑶-2|注|a|对

a

高一•数学参考答案及详细解析第6页（共9页）

"R恒成立,7分

-5V/+3Q,Y一51,

令f(z)=⑵-1|+⑶-2|，-/+1,.......12分

5/-3,9/，

显然/⑴在(-8,上单调递减，在玲，+8)上单调递增，

.......15分

故/⑴而“=>住）=9,则0<|a|wJ,

解得--^Wa<0或。<aW-^~.综上-}waw上,

所以实数a的取值范围是-gaw/.......20分

16.解：因为。0,[洋]+[洋]+[洋]=2,

11+%」L1+xJL1+xJ

故可设产方=止[0,J],即有[24+[3t]+[5t]=2,........2分

1+%L2J

当“[（）,时，⑵]+[3f]+[5〃=0+0+0=0,不符合题意，舍去；

当“[/，时，⑶+[3t]+[5。=0+0+1=1,不符合题意，舍去;

当Tt，7）n-t,[2/]+[3«]+[5/]=0+1+1=2,符合题意，

.......11分

此时1工2=1-e[V，。）0，+工€（2,3],

1+x1,L32IX

.......17分

当”/时，⑵]+[3订+[5〃=1+1+2=4,不符合题意，舍去.

综上，xe[汨5，1)U(1,色野.

.......20分

17.解：(1)已知."+sin叽在sin4=si"C,由正弦定理得卢”=，

ca-b图-ca+

即a2+c2-b~=y/3ac........2分

由余弦定理得COSB==磐=与，

2ac2ac2

因为8e(0,TT),

高一•数学参考答案及详细解析第7页(共9页)

所以B=F...............5分

o

(2)在锐角三角形45c中，a=2A,B=%

6

由正弦定理得醇=一^=一彳，

...............7分

sinATTsin(>

sin--

273sin(4+*

土&人G2万sinC3sin/!+Bcos4

sinAsinA

右+卓

3sin4+4cosA+万ccosA~"+B•+lan2/l

则6+c=3+-------：—=3+

sinALanAtanA

=3+=+舁i+T，12分

tanA

因为锐角三角形48c中，B=%

则4£(0,屈，C=TT-AG^0,y-j,

解得4w(年,屈,........15分

故tan"e(",+8),熹