基于核心素养的深度学习-另类匀变速运动的数学本质及协变类比

基于核心素养的深度学习——另类匀变速运动的数学本质及协变类比摘要：高中物理涵盖的思想方法很多，协变类比是一种创造性的平行思维方法，也是研究物理问题常用的方法之一，对解决一些教学难点有至关重要的作用．本文就另类匀变速运动，用数学工具进行巧妙推导，得出其数学本质特征，通过深度思维，发现高中物理中的类上抛、电容器充放电和电磁感应现象等物理模型都满足同一个函数关系，利用协变类比，得出共通的规律并加以应用．关键词：数学工具；另类匀变速运动；协变类比；物理模型1引言伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的．他从这个信念出发，猜想落体一定是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，另一种是速度的变化对位移来说是均匀的．前一种运动性质比较常见，后一种运动性质是怎样的？又应该满足怎样的条件？高中物理还有类似的规律吗？2逻辑推导2.1数学本质若速度的变化对时间来说是均匀的，即，变形为数学形式，积分得到：，若时刻的初速度为，则，显然速度是关于时间的一次函数，因加速度恒定，必然受到恒定的合力作用，这就是常见的匀变速直线运动的速度时间函数关系，它的运动规律相对来说也比较简单；若速度的变化对位移来说是均匀的，即“另类”匀变速运动，设，变形为，在数学中，哪个函数关于自变量的导数与它自身的比值为常数呢？只有自然指数函数（），事实上，，变形为：，积分后得，若时刻的初速度为，则速度公式①，果然是自然指数函数，加速度公式②，位移公式，设初始位移为零，则③，显然，自洽．所以另类匀变速运动的运动学条件是：（A为不为零常数，另类加速度的大小），由牛顿第二定律，，这是动力学条件．虽然另类匀变速运动的速度、位移、加速度、合外力却都随时间按指数规律变化，函数关系较复杂，但其合外力（加速度）、速度与位移两两之间呈简单的线性规律变化，如：④，⑤，⑥，为什么会这样呢？因自然指数函数的数学特性就是它的倒数与它本身成正比，二阶导数与它的导数和它本身均成正比，只是这些模型给自然指数函数赋予了物理意义而已．2.2协变类比经过深入思考，将另类匀变速运动的函数关系化简为：，经过变形得到一般的物理表达式：（A为非零常数），其实高中物理中曾多次出现两个物理量之间满足该函数关系的模型，下面用协变类比列表找它们的共通性．所谓协变类比是指对象的属性之间可能具有某种确定的函数关系而进行的推理，物理中常见的一种形式是，由两个对象的主要属性相同或相似，推论出他们的数学形式相同或相似．其基本模式为：已知对象具有a、b、c属性，且对a有；待研究对象具有、、属性，且、、与a、b、c分别相同或相似，则待研究对象可能也具有方程式，且与在形式上相同或相似．将几种物理模型的①—⑥式进行比较见表一：模型带电液滴上抛运动直流电源给电容器充电过程无外力作用的导体切割磁感线运动物理情境质量为m的带电液滴以初速度v0竖直向上抛出，在匀强电场中所受电场力与重力平衡，所受空气阻力的大小与其速度成正比电源电动势为E，电容器电容为C，电路中的总电阻为R．开关S接1，初始充电电流为在垂直于导轨向下上的匀强磁场B中，固定水平轨道光滑，导体杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，固定电阻为R，杆的初速度为v以后的过程示意图略RRabv0B函数关系液滴速度v与时间t关系（）充电电流I与时间t关系（）导体速度v与时间t关系（）物理规律求导积分物理量之间的关系函数图像yytOy0能量转化动能转化为内能电能转化为电场能和内能动能转化为内能（续表）模型电容器放电过程原子核衰减过程物理情境电容器两极间电压为E，电容为C，电路中的总电阻为R．开关S接1稳定后，再接2，初始放电电压、电流分别为，原子核总数为，衰变常数为，示意图无函数关系放电电压U与时间t关系（）放电电流I与时间t关系（）衰变数量N与时间t关系（）物理规律求导积分无物理意义无物理意义物理量之间的关系函数图像同前能量转化电场能转化为内能核能转化为其他形式能图2v图2vt0图1Rabv0B3应用品鉴例1如图1所示，两根足够长的平行光滑金属导轨水平放置，其间距为L，处于方向竖直向下匀强磁场中，磁感应强度大小为B．在导轨上垂直导轨放置一根金属棒ab，金属棒在两导轨之间部分的电阻为r，在导轨左侧接有一个阻值为R的定值电阻，除R和r外其余部分电阻均不计．现对ab施加一瞬时冲量，使其获得水平向右的初速度v0，并开始向右滑动．（1）求刚开始滑动时，金属棒ab中电流的大小，并判断其方向；（2）请说明金属棒ab的运动情况并在图2中定性画出v-t图像；mgNF安图3（3）请判断金属棒的速度变化规律可能是：①速度的变化对时间来说是均匀的，mgNF安图3（4）根据第（3）问结果画出对应的图像．vtOv0解析（1）ab棒中的电流方向为b向a．金属棒刚开始滑动时，感应电动势大小为，vtOv0（2）对金属棒，受力分析如图3所示，金属棒速度逐渐减小，产生的感应电流逐渐减小，则安培力逐渐减小，金属棒做加速度减小的减速运动．图像如图4所示．图5Ov0x/mv/m·s-1图4（3）由（2）问可知，因金属棒加速度减小，所以速度随时间的变化不是均匀的，设金属棒的位移大小为x时的速度大小为v，此过程经历的时间为t，回路中的平均感应电流为，平均感应电动势为，对金属棒根据动量定理有图5Ov0x/mv/m·s-1图4（4）图像如图5所示．点评本题考查导体切割磁感线运动的特性，涉及法拉第电磁感应定律、楞次定律和闭合电路欧姆定律，最后一问隐含了力与速度的关系，让学生自己研判运动性质的类型，但题目对速度与时间具体的定量关系不做考查，这既降低了难度，又很好地考查了学生思维的迁移能力．例2将一质量为为m的带电液滴以初速度v0竖直向上抛出，已知处在匀强电场中，且所受电场力与重力平衡，在运动的过程中所受空气阻力的大小与其速度成正比，即．运动的过程中电量保持不变，求：（1）物体能够上升的最大高度为H；（2）上升过程所用的时间t能求解吗．解析（1）对液滴，由动量定理，有：，变形得：，解得：．（2）显然上升过程所用的时间不能求解，如果液滴不受电场力，由动量定理：，可以求出时间：．点评本题题干中直接给出力与速度的定量关系，将上例中的隐含条件变成显性的，直接告诉学生，该模型为另类匀加速直线运动，因合力是变力，不能用牛顿第二定律和动能定理求解位移，转而用动力学的第三条思路用动量定理求解，使问题迎刃而解．例3类比是研究问题常用的方法。图6（1）情境1：物体以初速度为在力的作用下减速直线运动，其加速度与速率满足关系：（A为常量），其速率v随时间t的变化规律可用方程（Ⅰ）描述。图6（2）情境2：如图6所示，电容器两极间电压为E，电容为C，电路中的总电阻为R．开关S接1稳定后，再接2，初始放电电流分别为，推导电路中的电流I和电流的变化率满足的方程（Ⅱ）。（3）情境3：原子核总数为，衰变常数为，相当于系数A，实验发现衰变数量N随时间t的变化规律与情境1中物体速度v随时间t的变化规律类似。类比（Ⅰ）式，写出数量N随时间t变化的方程（Ⅲ）。（4）比较方程（Ⅰ）、方程（Ⅱ）和方程（Ⅲ），发现情境2中电流I随时间t的变化规律变化规律、情境3中衰变数量N随时间t的变化规律与情境1中物体的速度变化规律完全一致。已知情境1中物体速率v随时间t变化的表达式为，通过类比写出情境2和情境3的函数表达式。解析（2）设时刻t电路中的电流为I，在较短的时间内，电容器的放电电流为，由欧姆定律，，联立得：，变形为：。（3）由题意，数量N随时间t变化的方程为：。（4）类比，用类比，用类比，类比，解得；用类比，用类比，类比，解得。点评本题考查协变类比思想的具体应用，对于电磁感应中速度随时间、自感现象中电流随时间变化的函数关系，对高中生来说较难，通过与雨滴下落类比，找到她们所满足的方程的共同点，应用协变类比，使问题得以解决。教学中对一些难点的突破，对复杂问题的简单处理，对物理规律的迁移，类比法都是很好的选择。4结语本文从另类加速度的定义出发，通过数学推导得出另类匀变速直线运动应满足的力和速度的定量关系，通过协变类比，发现高中物理中很多模型都满足共同的函数关系，得出它们共通的结论，并举例（导体切割磁感线运动、带电液滴上抛）说明其应用．参考文献：[1]李鑫．探讨“另类”匀变速运动[J]．物理教学，2019（02）：11—14．[2]许冬