北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题13全等三角形(图形)性质与判定(原卷版+解析)(8大考点)

专题13全等三角形(图形)性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一全等图形识别】 1【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】 3【考点三全等三角形的概念】 5【考点四全等三角形的性质】 7【考点五用SSS证明三角形全等】 9【考点六用SAS证明三角形全等】 12【考点七用ASA证明三角形全等】 14【考点八用AAS证明三角形全等】 17【过关检测】 20【典型例题】【考点一全等图形识别】例题：（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【变式训练】1．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（

）A． B． C． D．【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】例题：（2023·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．2．（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【考点三全等三角形的概念】例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【考点四全等三角形的性质】例题：（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为_____．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（

）A．80° B．70° C．65° D．60°2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．【考点五用SSS证明三角形全等】例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；(1)与相等吗？请说明理由．(2)若，，AF平分时，求的度数．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【考点六用SAS证明三角形全等】例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．求证：△ABE≌△DCF．【考点七用ASA证明三角形全等】例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【考点八用AAS证明三角形全等】例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【过关检测】一、选择题1．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个正方形是全等图形C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形D．两个全等图形的面积一定相等2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A． B． C． D．3．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考阶段练习）在和中，，，若补充条件后一定能保证，则补充的条件不能是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）5．（2023春·八年级单元测试）如图，，则对于结论，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2023春·七年级课时练习）已知，，，则_______．7．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在和中，已知，，请添加一个条件______，使得．8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，，相交于点F，则的度数是_____．9．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．10．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，、是的高线，与相交于点F．若．且的面积为6，则的长度为______．三、解答题11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由．14．（2023春·七年级课时练习）已知：与交于点，，．求证：规范证明过程证明：在和中，__________________在和中，______．15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，点，，，在同一条直线上．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．16．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）如图，点D是上一点，交于点E，．(1)求证：；(2)若，求的度数．17．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，，，点在上．(1)平分吗？为什么？(2)试说明．18．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，且，，且．(1)如图1，连接、，求证：；(2)如图2，求证；19．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）如图1，已知中，，平分交于点，是延长线上一点，连接并延长交于点，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，若点在上，点在上，且满足，试判断的数量关系，并证明你的结论．专题13全等三角形(图形)性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一全等图形识别】 1【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】 3【考点三全等三角形的概念】 5【考点四全等三角形的性质】 7【考点五用SSS证明三角形全等】 9【考点六用SAS证明三角形全等】 12【考点七用ASA证明三角形全等】 14【考点八用AAS证明三角形全等】 17【过关检测】 20【典型例题】【考点一全等图形识别】例题：（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【答案】B【解析】【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，故选：B．【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．【变式训练】1．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形【答案】B【解析】【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．【详解】解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】例题：（2023·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．【答案】45【解析】【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格∴，，∴∴，∵∴，即∴∵∴∵∴故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，，∴，∴，∴；故答案是：．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．【考点三全等三角形的概念】例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．【考点四全等三角形的性质】例题：（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为_____．【答案】10【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等详解即可．【详解】解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周长为22，∴△ABC的周长为22，∵AB+AC＝12，∴BC＝22﹣12＝10，∴B'C'＝BC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（

）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】B【解析】【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm．(2)∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【考点五用SSS证明三角形全等】例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在和中，，∴(SSS)；(2)AC和BD的位置关系是，理由如下：∵∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；(1)与相等吗？请说明理由．(2)若，，AF平分时，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：，理由如下：∵∴在和中∴∴(2)解：∵∴∴∵平分∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【考点六用SAS证明三角形全等】例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O是线段AB的中点，∴，∵，∴，在△AOD与△OBC中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：，，在和中，≌（SAS），．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．【考点七用ASA证明三角形全等】例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．(1)证明：在△ABO与△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；(2)证明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．由两直线平行得(1)证明：，，在和中，，．(2)解：，，，，，，．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．【考点八用AAS证明三角形全等】例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．【详解】解：△BDO与△CEO全等；∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，又∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，∵在△BDO与△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB=CD．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个正方形是全等图形C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形D．两个全等图形的面积一定相等【答案】D【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等图形的概念分析即可．【详解】解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．3．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考阶段练习）在和中，，，若补充条件后一定能保证，则补充的条件不能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法，逐个验证即可．【详解】解：A、两边及其夹角相等，可以证明全等，故A不合题意；B、两角夹一边，可以证明全等，故B不合题意；C、不是两条边的夹角，不能证明全等，故C符合题意；D、两角相等，其中一个角的对边也相等，可以证明全等，故D不合题意；故选：C．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：．4．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案．【详解】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；B．带第（3）和（4）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．5．（2023春·八年级单元测试）如图，，则对于结论，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵，∴，故①③正确；∵，∴，∴，∴，故④正确；不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．二、填空题6．（2023春·七年级课时练习）已知，，，则_______．【答案】##度【分析】根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．7．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在和中，已知，，请添加一个条件______，使得．【答案】或或．【分析】根据全等三角形的判定，即可求解．【详解】解：添加的条件是或或，理由是：在和中，添加：，，．添加：，，，，添加：，，，．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，，相交于点F，则的度数是_____．【答案】##20度【分析】根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形内角和定理可求得到答案．【详解】解：∵，∴，，∴，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．9．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．【答案】【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接、，，，，由图可知，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．10．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，、是的高线，与相交于点F．若．且的面积为6，则的长度为______．【答案】1【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．【详解】解：，是的高线，，，，在和中，，，，的面积为6，，，，，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【分析】由可得，则由可证明，问题则解决．【详解】证明：∵，∴，即，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，由线段的和差关系得到、熟悉全等三角形的判定方法是解题的关键．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．【详解】（1）证明：∵△ABC△DAE，∴AE=BC，AC=DE，又∵AE=AC+CE，∴BC=DE+CE；（2）解：∵BCDE，∴∠BCE=∠E，又∵△ABC△DAE，∴∠ACB=∠E，∴∠ACB=∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠ACB=90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE．【点睛】本题考查了全等三角形