第十三章 轴对称 章节复习（导学案）-八年级数学上册同步备课系列（人教版）

PAGEPAGE4第十三章轴对称导学案一、学习目标：1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2.培养学生用轴对称的观点认识线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力.重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用.难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力.二、学习过程：知识梳理一、轴对称相关定义和性质如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够_________，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的________.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形_____,那么就说这两个图形_____________________，这条直线叫做________，折叠后重合的点是对应点，叫做_________.图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_____________.如下图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.二、垂直平分线的定义、性质、判定垂直平分线的定义经过线段________并且_________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.几何语言________________________，则_______________________.线段的垂直平分线的性质：___________________________________________________.几何符号语言：∵______________________∴______________________线段的垂直平分线的判定：___________________________________________________.几何符号语言：∵______________________∴______________________三、用坐标表示轴对称在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于y轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___)四、等腰三角形的性质及判定性质1:________________________________(简写成“________________”)性质2:_______________________________________________________(简写成“______________”)几何符号语言：几何符号语言：∵______________________∵______________________∴______________________∴______________________等腰三角形判定定理：_____________________________________________________________(简写成“_______________”).几何符号语言：∵______________________∴______________________五、等边三角形的性质及判定等边三角形的性质：1._____________________________________________________________.2._____________________________________________________________.3._____________________________________________________________.4._____________________________________________________________.等边三角形的判定方法：1._____________________________________________________________.2._____________________________________________________________.3._____________________________________________________________.六、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质：_____________________________________________________________.几何符号语言：∵______________________∴______________________七、最短路径问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.考点解析考点1：轴对称及轴对称图形例1.在下列各电视台的台标图案中(不考虑颜色)，是轴对称图形的是()例2.将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是()例3.如图，把一张长方形纸片ABCD（AD//BC）沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置上，ED'交BC于点G，若【迁移应用】【1-1】“羊”字象征着美好和吉祥，下图都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A.1B.2C.3D.4【1-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处,折痕为CD，则∠A'DB的度数为______.【1-3】将长方形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠CED'=72°，则A．36° B．54° C．62° D．72°考点2：关于坐标轴对称的点的坐标例4.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．例5.如图，在直角坐标系中，A(0，5)，B(-2,0)，C(-3，3).(1)在直角坐标系中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C',并相应写出△A'B'C'三个顶点的坐标;(2)将△A'B'C'沿x轴方向向右平移3个单位后得到△A"B"C",并相应写出△A"B"C"三个顶点的坐标.【迁移应用】【2-1】已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b)，则ab的值为_____.【2-2】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a,b)，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是__________.【2-3】平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.考点3：线段垂直平分线的性质和判定例6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.例7.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E(1)求证：AD为∠CAB(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明【迁移应用】【3-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（

）A．5 B．10 C．12 D．13【3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°【3-3】如图，∠BAC的角平分线AD与线段BC的垂直平分线DG交于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足交AB的延长线于点E，交AC于点F，若AE=10cm，BC=12cmA．32 B．34 C．22 D．16考点4：等腰三角形的性质和判定例8.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A的度数.例9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF=AB，连接EF；延长CA至G使AG=AC，连接例10.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.【迁移应用】【4-1】等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为()A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°【4-2】如图(4)，是一钢架，∠AOB=10°,为使钢架更加坚固，需在内部添加一些钢管EF、FM、MH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根.【4-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.【4-4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M(1)若∠FCM=18°，则∠BGC(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．考点5：等边三角形的性质和判定例11.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？例12.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．例13.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．【迁移应用】【5-1】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.【5-2】如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．【5-3】如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.考点6：含30°角的直角三角形的性质例14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF.例15.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF?例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．(1)求证：BE＝AD；(2)求∠BMN的度数；(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝cm．迁移应用】【6-1】如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.【6-2】将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.【6-3】如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．【6-4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.考点7：最短路径问题例17.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定例18