全等三角形章节复习（教学设计）-2022-2023学年八年级数学上册同步备课系列（人教版）

PAGEPAGE5第十二章全等三角形章节复习教学设计一、教学目标：1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、教学重点、难点重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构.难点：运用全等三角形的知识解诀问题.三、教学过程：知识网络知识梳理一、全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.二、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.几何符号语言：∵△ABC≌△A1B1C1∴AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1三、三角形全等的判定方法基本事实“边边边”判定方法三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)几何符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).基本事实“边角边”判定方法两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).几何符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).基本事实“角边角”判定方法两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).几何符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).“角角边”判定方法:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).定理应用格式：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).直角三角形“HL”判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.书写格式为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).四、角平分线的性质与判定1.角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE2.角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)考点解析考点一：全等三角形的性质例1.如图△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．解:∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，∠B=25°，∴∠D=∠B=25°， ∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)=12∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB＋∠B=10°+55°＋25°=90°，∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°，∴∠DFB=90°,∠DGB=65°.例2．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（）A．105° B．110° C．100° D．120°【分析】解：如图延长C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE＝∠AB′E，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′＝∠AB′E，∴∠ABE＝∠AHC′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′＝∠ACD，∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，∴∠C′AH＝120°，∴∠C′＋∠AHC′＝60°，∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，故选：C．例3．已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标：___________．【详解】设点P的坐标为，，，由题意，分以下两种情况：（1）如图1，当时，，轴，，又，，解得或，则此时点P的坐标为或；（2）如图2，当时，，点P在x轴上，且，则此时点P的坐标为；综上，符合条件的点P的坐标为或或，故答案为：或或．【迁移应用】【1-1】如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．(1)若∠B=30°，∠F=45°，求∠A的度数；(2)若BF=10，EC=4，求平移的距离．解：（1）由平移可知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠F=45°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.(2)由平移可知△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，∴BE=CF=12(BF-EC)=3∴平移的距离BE为3．【1-2】如图，已知ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当BPD与CQP全等时，则点Q运动速度可能为_____厘米/秒．故答案为：1或．【1-3】如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（

）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．3答案：B考点二：全等三角形的判定例4.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BDB．AC=ADC．∠ACB=∠ADB D．∠CAB=∠DAB【详解】解：A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意；B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误，符合题意；C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意；D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意．故选B．例5.如图，，．求证：（1）；（2）．证明：（1）∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，在和中，，∴，∴．例6.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE．（1）请你找出图中其他的全等三角形；（2）试证明CF＝EF．解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，∵AC＝AE，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，∴∠DCF＝∠BEF，在△DCF和△BEF中，∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，∴△CDF≌△EBF（AAS）．（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．即∠CAD＝∠EAB．∴△CAD≌△EAB（SAS），∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，∴∠DCF＝∠BEF，在△DCF和△BEF中，∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，∴△CDF≌△EBF（AAS），∴CF＝EF．【迁移应用】【2-1】如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；（1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________；（3）若以“AAS”为依据，还缺条件________________________________.答案：（1）BC=EC；（2）∠A=∠EDC（3）∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE)【2-2】如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点0，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对.答案：4【2-3】如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)答案：①②④─③证明:∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC=∠DEF，①③④─②证明:∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC=DF.考点三：全等三角形的性质与判定的综合应用例7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.证明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.在△AGE和△AGC中，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.【点睛】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.例8.如图，在中，是高，点E是上一点，，，M，N分别是，上的点，且；(1)试说明：；(2)探索和的位置关系和数量关系，并说明理由．（1）证明：∵是的高，∴．在和中，，，，∴．（2）且．理由如下：∵，∴．在和中，，，，∴．∴，．∴，即．例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【迁移应用】【3-1】如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连结、．(1)求证：；(2)试判：与的关系？并说明理由．(1)证明：∵、分别是、两边上的高，∴，∴，∴；(2)解：，理由如下：由（1）可知：，∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，即，∴．【3-2】如图1，，于点，点是线段上的一点，若，．(1)判断与的关系是____________．(2)如图2，若点在线段的延长线上，过点在的另一侧作，并保持，，连接，，，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．（1）解：垂直且相等，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠D=90°，在△EDC与△BAE中，，∴△EDC≅△BAE，∴BE=CE，∠DCE=∠AEB∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，∴CE与BE的关系为：垂直且相等，故答案为：垂直且相等；（2）结论成立，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠D=90°，在△EDC与△BAE中，，∴△EDC≅△BAE，∴BE=CE，∠DCE=∠AEB∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，∴CE与BE的关系为：垂直且相等．【3-3】如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，(1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；(2)如图，若，，且，求证：平分．(1)解：如图作，∵，∴，∴，∵，∴，∴，点在同一直线上，(2)延长到，使得，连接，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，即平分.考点四：利用全等三角形解决实际问题例10．如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量自己家对面办公楼的高，小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的仰角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的仰角．已知C，M，D三点共线，且．试求办公楼的高度．解：过点A作AE⊥OM，过点B作BF⊥OM，如图所示，∵OA⊥OB，AE⊥OM，BF⊥OM，∴∠AOB=∠AEO=∠BFO=90°，∴∠BOF+∠2=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠2=∠AOE，在∆AOE与∆BOF中，，∴∆AOE≅∆BOF∴OE=BF，AE=OF，设OM=x，则OE=OM-EM=OM-AC=x-10，∴BF=OE=x-10，∵OF=OM-FM=OM-BD=x-3，∴AE=CM=CD-MD=CD-BF=17-(x-10)，17-（x-10）=x-3，解得：x=15，即OM=15m．【迁移应用】【4-1】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.【4-2】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴DE=BA．答：测出DE的长就是A、B之间的距离．【4-3】如图是小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千的示意图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，小明两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且．（1）与全等吗？请说明理由．（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？（1）根据题意，得，∴，∵∴∴∴∴；（2）结合（1）的结论，得∴，∴∵妈妈在距地面高的处接住他∴爸爸接住小明的地方，距离地面高度为：．考点五：角平分线的性质与判定例11.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.证明:(1)作MN⊥AD于N.∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，∴CM=MN，∵M是BC的中点，∴CM=MB，∴MN=MB，∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，∴AM平分∠DAB.(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，在Rt△MCD和Rt△MND中，∴Rt△MCD≌Rt△MND(HL)，∴CD=ND，同理可得AB=AN，∵AD=AN+ND，∴AD=AB+CD.例12.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON于点E，AE＝4，D为OM上一点，BC∥OM交DA的延长线于点C，则CD的最小值为______.解析：∵BC∥OM，∴∠B＝∠DOA．∵A为OB的中点，∴AB＝AO.∵∠BAC＝∠DAO，∴△ABC≌△AOD(ASA)．∴AC＝AD．∴CD＝2AD．∴当AD有最小值时，CD有最小值．∴当AD⊥OM时，AD有最小值．∵OB平分∠MON，AE⊥ON，AD⊥OM，∴AD＝AE＝4.∴CD的最小值为8.例13.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+∠BAP=180°,求证:PA=PC.证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.