岩土工程设计计算理论(1~3章)

第1章绪论岩土工程是各类土木工程如房屋建筑、桥梁、地下结构、路基、水坝、机场跑道中不行或缺的重要部分。由于岩土结构往往不是人们干脆运用的对象，如地基之于上部的房屋建筑及桥梁结构，而使岩土工程的兴起和发展滞后于结构工程的发展，而随着建筑规模的增大和困难程度（难度的提高），岩土工程的重要性越来越得到凸显，在理论及应用方面（技术、工程实践等方面）都得到了很大的发展和提高。同其他工程一样，岩土工程的计算设计理论也经验了一个从阅历到理论、从定性到定量的发展过程。在土的方面，我们熟知的法国科学家Coulomb于1773年向法兰西科学院提交的论文“最大最小原理在某些与建筑有关的静力学问题中的应用”中对土的强度及土压力问题进行了探讨，这也是岩土工程领域中最早的理论探讨工作及工程应用。之后，经过漫长的发展和积累，到1923年，以Terzaghi的专著《土力学》的出版为标记，土力学成为一门独立的学科，并形成了自己较为完整和稳定的结构体系。而对岩石的力学问题的探讨可追溯到19世纪的下半叶岩块物理力学性质的试验、对地下洞室受自然水平应力作用的探讨。1957年，法国的J.塔洛布尔《岩石力学》较全面系统地介绍了岩体力学的理论和试验探讨方法及在水电工程上的应用，标记着岩体力学形成了一门独立的学科。近几十年来，随着数学、力学理论及试验、计算等技术的进步及岩土工程实践的发展，对岩、土物理及力学特性的相识及相应的计算理论已有了极大的提高和发展。土力学和岩体力学因解决土木工程中与土、岩相关的力学问题的须要而诞生，并服务于工程。从工程的角度看，岩土工程包括地基与基础、地基处理、基坑工程、边坡工程、地下工程等类型。与上部结构的计算相比，岩土工程计算的特点是，既要考虑结构自身，还要考虑与之相联系的岩土体。从几何方面看，地层是具有无限边界的三维体，其计算较柱、梁、板的困难得多；从材料特性上看，土及岩石为种类繁多、物理及力学性质困难的自然材料。因此，要想既精确又较简便地确定岩土体及岩土结构的力学行为并不简洁。目前，在对岩、土材料物理、力学特性的探讨方面已有丰富的成果，有限元等数值计算方法强大的分析计算实力使我们可以求解各类困难的岩土工程问题。但对一般工程的设计计算来说，运用这样的计算方法并不便利，而且就岩、土性质的困难性及我们目前对它的相识水平而言，也难保证可得到很满足的计算结果，故设计者更情愿采纳一些较为简便的方法进行计算分析。岩土工程的类型很多，目前的课程和教材多按其工程类型进行划分，如基础工程、地基处理、基坑工程、边坡工程、地下工程等，这样的划分方法针对性较强，有助于学生较系统地了解和驾驭某一类工程相关的计算设计理论及施工技术等，这样的处理方法适合于本科阶段的学习。但事实上，各种类型的岩土工程虽具体形式不同，但所涉及到的岩土工程的核心问题是共性的。首先，既要保证工程自身的平安，也要保证施工不会对四周环境产生不良影响。对应于相应的计算设计，则要求满足：（1）岩土结构自身强度和变形的要求；（2）地层在承载力、变形、稳定性等方面的要求。为确定结构及地层的受力及变形态况，并推断其是否满足强度、变形、稳定性等方面的要求，需通过计算得到：（1）地层的受力变形态况，涉及到岩土体的强度、变形、渗透等问题；（2）岩土结构的受力及变形态况；（3）岩土体与结构之间的相互作用状况，——这是确定结构及地层受力及变形的前提。因此，我们可换一个角度，从地层的强度、变形、渗透、结构与岩土体之间的相互作用方面，统一地探讨分析岩土工程的计算理论及方法，起到融会贯穿的效果，有助于学生对计算理论及方法更深一步的了解，这更适用于探讨生阶段的学习。依据上述思路，本课程及讲义的主要内容如下：第1章绪论简要介绍岩土工程设计计算的特点及本讲义的主要内容。第2章岩土工程的类型及计算特点简要介绍主要的岩土工程类型如基础工程、地基处理、基坑工程、边坡工程、地下工程的基本形式及设计计算特点。第3章岩土工程中的强度问题介绍岩土工程结构设计计算时所涉及到的与强度有关问题的计算方法，内容包括：（1）土及岩的强度特性；（2）浅基础及桩基础的承载力；（3）挡土结构上的土压力；（4）边坡及滑坡的稳定性分析；（5）地下结构的稳定性分析。第4章岩土工程中的变形问题介绍岩土工程结构设计计算时所涉及的各类变形问题的计算方法，内容包括：（1）土（岩）的变形特性；（2）浅基础的沉降计算；（3）基坑开挖引起的变形计算；（4）地下结构开挖引起的沉降计算。第5章岩土工程中的渗流及渗透固结问题介绍岩土工程结构设计计算时所涉及的各类渗透问题的计算方法，内容包括：（1）土（岩）的渗透特性；（2）基坑及地下结构的降水计算；（3）地基渗透固结问题及计算；（4）排水固结法的计算理论；（5）渗流作用下的边坡计算。第6章岩土体与结构的相互作用计算方法及应用介绍岩土体-结构相互作用的特点及各类岩土结构内力及变形的计算方法，内容包括：（1）岩土体-结构相互作用计算的特点；（2）岩土体开挖及开挖荷载的计算；（3）岩土体-结构相互作用计算模型；（4）土体的简化及计算模型；（5）条形基础及筏形基础的受力计算；（6）桩-土复合地基的计算模型及计算方法；（7）岩土体-结构界面特性及桩的竖向荷载传递；（8）桩基础及复合地基的沉降计算；（9）横向荷载作用下桩基础的内力及变形计算；（10）排桩及地下连续墙的内力及变形计算；（11）抗滑桩的内力及变形计算；（12）土钉、锚杆（索）与土（岩）体的作用及计算方法。可以看出，上述内容并未涉及到相应工程具体的设计、施工方法，——它们应是相应的本科课程的内容。本讲义将以岩土体的强度、变形、渗透问题及岩土结构-岩土体之间的相互作用为主要线索，介绍相关的设计计算理论，——这实际也基本覆盖了岩土工程设计时所需的主要计算理论及方法。

第2章岩土工程的类型及计算特点岩土工程类型的类型很多。我们假设学生在学习本课程时，已通过相关课程的学习，对岩土工程已有基本的了解和驾驭，因此不再具体介绍相关内容。但为了便于对后面内容的了解，本章将对诸如基础工程、地基处理、基坑工程、边坡工程、地下工程这些主要的岩土工程的基本形式及设计计算特点作简要的介绍和总结。2.1基础工程基础是各类建（构）筑物的重要组成部分，基础工程是最早受到关注、应用最为广泛的岩土工程问题。基础的类型可分为浅埋基础和深埋基础，其中，浅埋基础包括：独立基础、墙下条形基础、柱下条形基础、十字交叉基础、筏形基础、箱形基础、壳形基础等；深埋基础包括：桩基础、沉井基础、地下连续墙基础等。上部结构将荷载传给基础，使基础产生变形和内力，同时，通过基础将荷载传给地基，在地基中产生应力，并使地基产生沉降变形。当荷载过大时，还会导致地基的破坏。因此，基础的设计应从两方面考虑：一是要满足地基在承载力、沉降变形、稳定性方面的要求；二是要保证基础结构自身的强度及刚度。可以看出，为满足上述条件，须要进行的计算工作包括：（1）确定地基的承载力。（2）确定基础-地基之间的作用力。（3）对地基来说，（2）中确定的作用力就是作用在地基上的荷载，由此可验算地基承载力，并可由此计算地基的沉降变形。（4）通过对基础-地基之间的相互作用进行计算分析，还可得到基础的内力及变形。上述计算中：（1）地基承载力的确定对应于土（岩）的强度问题，对浅埋基础来说，相对比较简洁，而对桩基础来说，则比较困难。（2）地基的沉降变形属土（岩）的变形问题。先计算荷载地基中产生应力，然后再计算由此引起的土的变形，最终得到地基的沉降。整体上看，其计算较承载力的确定困难。（3）进行承载力验算和地基沉降计算时，在肯定的条件下，可将基础-地基之间的相互作用力化简为较为简洁的形式。如图2-1所示的浅埋基础，进行承载力验算及沉降变形计算时，可将基底压力简化为线性分布形式；图2-2所示的桩，在进行承载力验算时，可将桩侧摩阻力及桩端阻力简化为匀称分布的形式。图2-1浅埋基础基底压力简化计算模型图2-2桩侧摩阻力及端阻计算模型（极限状态时）（4）上述（3）中简化方法实际是预先假定了基础-地基之间的相互作用力的分布形式。事实上，不难想到，基础-地基之间的相互作用力会受到基础、地基的相对刚度、土（岩）的强度、基础-地基界面特性、基础所受荷载大小及分布形式等诸多因素的影响。更进一步看，其分布在实际工作状态中，上部结构、基础、地基之间相互作用，共同受力和变形，形成一个统一的体系。也就是说，要确定其中一个的受力变形态况，就需计入其他2个的影响，或者说，将这3部分作为一个整体共同考虑，因此是一个很困难的问题。将上部结构、基础、地基共同考虑来确定基础、地基的受力及变形明显是很困难的。在设计计算时，可采纳一些简化手段，例如，最常用的方法是将上部结构对基础的作用简化为荷载，同时，对地基也进行相应的简化。例如，图2-3所示为柱下条形基础的计算模型，其地基采纳Winkler地基模型模拟，2-4所示的桩基础，其地基采纳弹性半无限体模拟。通过这样的简化，可显著地降低计算的困难程度。图2-3柱下条形基础图2-4柱下桩基础在后面的章节中，将主要介绍浅埋基础、桩基础承载力的确定方法、浅埋基础及桩基沉降的计算方法、柱下条基、筏基、桩基的内力计算方法等内容。2.2地基处理通过人工手段改良地基土层的特性可以追溯到很早的时候，但真正成为一门技术还是始于上世纪50年头。目前，它已在建筑、铁路、马路、水电、港口、机场工程等几乎土木工程的各领域都有广泛的应用。改良地基的主要手段可分为两大类：第一类是通过各类技术手段改进当前地基土（岩）的物理力学特性，常用的技术手段包括碾压、挤密、夯实、排水固结、灌浆等方法、深层拌合等方法。其次类是通过在地基中设置各种类型的桩如碎石桩、CFG桩、素混凝土桩等形成复合地基，共同担当上部荷载。上述方法中，CFG桩、素混凝土桩是目前应用特别广泛的技术，也有大量的探讨成果，其设计计算所涉及到的主要问题包括复合地基承载力、沉降的计算及桩、土的受力计算等，这将在后面的章节中具体介绍。此外，排水固结法是软土地基处理的一个重要的计算手段，其相关计算涉及到岩土工程中的强度、渗透固结等问题，其计算方法也将在后面的章节中赐予介绍。2.3基坑工程深基坑开挖几乎是高层建筑修建时必定遇到的施工，城市地铁或城际铁路的修建中通常也常常遇到深基坑开挖。基坑的施工过程中，既要保障基坑自身的平安，还要避开因降水、开挖等缘由造成的地层变形对四周的建（构）筑物、道路、各类地下管线等产生不良影响。为保证基坑的稳定性或限制其发生过大的变形，需设置相应的支护结构。常用的支护形式有土钉、水泥土墙、排桩、地下连续墙等。当基坑较深、土层较差时，排桩、地下连续墙还可通过设置钢筋混凝土内撑、钢支撑或预应力锚索来提高支撑实力。可以说，深基坑工程与强度、变形、渗透这3个岩土工程中的主要问题都是亲密相关的。其中，基坑的稳定性及支护结构土压力的计算与强度相关，地层的变形与土的压缩、渗透特性相关，而施工降水问题即属于土的渗透问题。此外，基坑的设计计算中的一个重要内容是确定支护结构的变形和内力，其本质实际就是桩、地下连续墙等支护结构与地层之间相互作用的问题。与前述桩基的计算相像，此时须要对地层进行化简，例如，将坑底以上的土层与桩的相互作用简化为主动土压力，以下的土层以弹簧代替，如图2-5所示。图2-5排桩计算模型在后面的章节中，将介绍基坑稳定性、基坑外土层沉降的计算方法，并重点分析介绍支护结构内力及变形的计算方法。2.4滑坡与边坡工程滑坡是最常见的山区地质灾难之一，它的发生往往造成人类生命及财产损失。边坡工程则常见于山区铁路、马路及水电工程。对滑坡及边坡稳定性进行评价是滑坡及边坡工程计算分析工作的重要内容。推断其稳定性最常用的方法是条分法，依据其假设及简化方式不同可分为瑞典圆弧法、Terzaghi法、Bishop法、Janbu法、Sarma法、Morgenstern-Price法、Spence法、传递系数法等。为保证滑坡及边坡的稳定性，工程中采纳各种支挡结构如抗滑挡墙、预应力锚杆和锚索、抗滑桩等对边坡进行支挡，因此抗滑支挡结构的设计也是滑坡及边坡工程计算设计中的重要内容。其关键问题是确定支挡结构的内力。如图2-6所示，当结构物如隧道、桥梁基础、房屋建筑位于滑体中或滑体表面时，还需计算滑体的位移变形，以保证结构物的平安。图2-6滑体表面及滑体中的结构物明显，滑坡及边坡稳定性的分析属强度问题，坡体位移变形计算涉及土体的压缩性，而抗滑结构的受力计算本质上讲属于结构-岩土体相互作用问题。2.5地下工程为不同目的修建于地层之中的具有肯定空间的结构统称为地下工程，如铁路及马路隧道、地铁及城际铁路的地下区间及车站、水工隧道、矿山坑道、地下停车场及地下商场等，范围特别广泛。与其他类型的岩土工程相比，地下工程具有以下特点：（1）通常是我们活动或干脆运用的永久性的工程，而不是基础之类的“协助性”的结构，甚至基坑之类的临时性工程。（2）所处的地层可能是埋深数m的土层，也可能是数千m的岩层，因此其涉及到的岩、土的改变范围、初始地应力场的特性等的改变很大。地下工程施工及运用期间，要保证开挖边界四周的岩、土体处于稳定状态；对修建于城市的浅埋地下工程，对地表沉降等地层变形进行限制，防止其对既有建筑、道路、各类管线等产生不良影响，也是施工限制的一项重要内容。为实现上述目的，依据地下结构的断面尺寸、埋深、岩土特性、四周环境及要求，产生了多种开挖及支护方式。以城市地铁的地下工程为例，其施工方法可分为明挖法及暗挖法，前者对应于前述的基坑工程，而暗挖法则又可分为矿山法、盾构法等，其中暗挖法中又有各类不同的开挖及支护方式，此处不再一一介绍。不难看出，地下工程同样与强度、变形、渗透这些岩土工程中的主要问题亲密相关的，而支护结构的内力及变形计算则属于岩土体-结构相互作用问题，在后面的章节中，将以浅埋暗挖隧道为例，对它的计算原理和方法进行介绍和分析。2.6本章小结以上各节对几种主要类型的岩土工程的基本形式及设计计算特点进行了简要的介绍和分析。可以看出，虽然岩土结构的形式不同，但其设计计算的主要内容一是岩土体稳定性、沉降变形方面的计算，涉及其强度、变形、渗流等问题；二是岩土结构的内力及变形计算。而他们特殊是后一个问题的解决大多又与岩土结构-岩土体之间的相互作用亲密相关。表2-1所列为各类型的岩土结构及与其相关的设计计算问题的汇总表。表2-1不同类型的岩土结构及其相关设计计算问题汇总表强度变形渗流结构-岩土体相互作用基础工程1.浅埋基础承载力；2.桩基承载力。1.浅埋基础沉降；2.桩基础沉降。渗透固结1.条形基础内力；2.筏形基础内力；3.竖向荷载作用下桩的竖向力传递；4.桩基础的变形及内力。地基处理桩-土复合地基的承载力桩-土复合地基的沉降。排水固结法桩-土复合地基中桩的轴力桩间土的压力。基坑工程基坑稳定性基坑外土层沉降变形降水计算1.土钉的受力；2.排桩及地下连续墙内力及变形。边坡工程边坡、滑坡稳定性边坡变形渗流对稳定性影响1.滑坡推力；2.抗滑桩、预应力锚索受力计算路基支挡稳定性1.土压力；2.支挡结构内力。地下工程荷载计算浅埋隧道沉降衬砌结构内力计算在后面的章节中，将按强度问题、变形问题、渗流问题及结构-岩土体之间的相互作用问题进行分类，介绍他们在不同类型的岩土结构计算分析时的应用，这与通常以不同结构形式进行分类介绍的做法是不同的。

第3章岩土工程中的强度问题强度是岩、土材料最重要的力学特性之一，地基承载力、边坡稳定性、挡土结构的土压力等问题都与之亲密相关。土、岩的力学特性已有大量的探讨成果。由于土、岩的种类繁多，性质困难，若要对其较为精确的描述，往往须要建立不同的、且较为困难的模型，例如，目前土的本构模型就有上百种之多。而作为工程设计计算，明显，其力学模型及相应的计算方法不能（甚至也不必要）过于困难，——能够反映土、岩的主要力学特性，相应计算比较简便的模型更适于在工程中应用。因此，在本章及其后各章中，只对土的强度、变形、渗透等基本特性进行介绍，以满足相应工程问题的计算原理及方法的介绍及分析。3.1土及岩石的强度3.1.1土的强度及破坏强度是指材料反抗破坏的实力。土是松散颗粒积累形成的三相体，其强度特性有别于金属等材料。对绝大多数工程问题来说，土体的破坏表现为剪切破坏，因此，其抗剪强度是探讨的重点。不同的土在发生剪切破坏有不同的表现：一类会形成明显的剪切破坏面，如密实砂土和干硬黏土等；另一类则不出现明显的破坏面，但在受力不增大的状况下，变形却始终增大，无法稳定。通过简洁受力状态下土样的变形与应力之间的关系可以清晰地看出土的破坏过程。图3-1所示为不同土在不同的试验条件下的应力-应变关系曲线，其中：（a）应变硬化（b）应变软化（c）裂开图3-1土的应力应变关系曲线图3-1（a）表现出的是应力随应变增加的状况，即应变硬化现象，其中的曲线①是松砂或正常固结黏土在固结排水条件下的试验结果，②是饱和密砂和中密砂在不排水条件下的试验结果。在这种状况下，当应变达到肯定限度（通常为15%）时即认为土已发生破坏。图3-1（b）表现出的是应力随应变增加到峰值后又起先减小到某一个值的状况，即应变软化的现象，其中的曲线①是密砂或超固结黏土在固结排水条件下的试验结果，②则是松砂在固结不排水条件下的试验结果。在这种状况下，峰值过后，即起先进入破坏状态。图3-1（c）表现出的是应力或应变增加到一个较小的应变值时，土样突然发生裂开的状况，坚硬黏土在无侧限压缩试验时常发生这种破坏状况。可以看出，土的强度与破坏与土的类型、物理状态等自身的特性及所处的应力（应变）状态亲密相关，或者说，土的破坏条件实际就是两者之间的关系：（1）从材料自身来看，土的类型、所处的物理状态（如密实、软硬程度等）等其他相关因素，确定了（干脆影响）土反抗破坏的实力即强度的大小。（2）外部因素如外荷载在土体内产生的应力（应变）既是导致土发生破坏的缘由，同时也影响土的强度的发挥。（3）通过建立相应的应力-应变关系即本构模型，可反映土受力变形乃至破坏的过程。简洁加载（如常规三轴试验）下的破坏较易视察和描述，困难状态下的破坏则须要用困难的形式来描述。例如，若将土视为弹塑性材料，按经典的塑性理论，其破坏条件可表示为(3-1)式中ij（i=1,2,3;j=1,2,3）为应力重量，k为强度参数，与塑性应变pi（i=1,2,3;j=1,2,3）有关。可以想到，由于土的种类繁多、性质困难，要想建立一个既精确、又统一的土的强度破坏模型是特别困难的。事实上，目前上百种土的本构模型的存在就是这一困难的生动说明。对于实际工程问题的计算分析，可采纳较为简洁的模型反映土的强度破坏理论。首先是对土的自身抗剪强度特性的简化。整体上看，土的抗剪强度主要来源于土颗粒之间的黏聚力及摩擦力，也就是说，从土材料自身的特性来看，抗剪强度与颗粒之间的黏聚特性及摩擦特性有关，这就是反映土的抗剪强度特性的两个重要指标——黏聚力c和内摩擦角。这样，反映各种土自身抗剪强度的特性就被统一为两个简洁的抗剪强度指标，它们通常由试验确定。例如，对图3-1所示的硬化、软化、裂开3种破坏形式，可分别依据应变达到15%、进入残余阶段、裂开时的应力确定相应的强度指标。其次是对破坏条件的化简。所谓破坏条件，实际就是土样发生破坏时应力、应变、强度指标之间的关系，如目前工程中应用最广的Coulomb定律(3-2)和Mohr-Coulomb强度准则(3-3)这两个公式实际是对同一个强度模型的不同的表述方式，其相应的图形如图3-2、图3-3所示。图3-2Coulomb定律图3-3Mohr-Coulomb强度准则可以看出，与式（3-1）中的k相比，式（3-2）及（3-3）中的黏聚力c和内摩擦角已变为常数而与塑性应变无关，事实上是忽视了土样塑性变形过程中c、的改变，所反映的实际是变形过程的最终阶段，但可使相应的计算得到很大的简化，尤其便于在工程设计计算中的应用。3.1.2岩石的强度及破坏岩石是土之外的另一类岩土材料。经受了各种地质作用后，原本完整的岩石中会产生不整合、褶皱、断层、节理等不连续面，变得不再完整甚至裂开，并对其整体力学特性产生重要影响。为此，将这种块体与不连续面的组合称为岩体，而相对较为完整的块体称为岩石，以示区分。当然，通常也将岩土中“岩类”统称为岩石，而无论其是否完整，如本小节标题中的“岩石”。同其他材料一样，试验是探讨岩石（岩体）强度特性的基本手段。实际工程中真正“完整”的岩石几乎没有，但仅有微小裂隙时可作为岩石处理。图3-4所示为单轴压缩试验得到的岩石的典型的应力-应变曲线，可分为4段：OA段曲线稍向上弯，属压密阶段，即岩石中初始的微裂隙受压闭合；AB段接近直线，岩石处于弹性阶段；BC段起先弯曲，为非弹性阶段，岩石中平行于荷载方向起先生成新的微裂隙并扩张，C点即岩石的单轴抗压强度；CD段曲线起先下降，为破坏阶段。图3-4岩石的典型的应力-应变曲线对岩体来说，岩块之间的结构面往往是影响其力学特性的重要因素。结构面可分为无充填及有充填两类：（1）当结构面处于闭合状态时，岩块之间的接合较为紧密，可认为是刚性接触（即结构面不存在法向方向的压缩变形），此时结构面沿切向的反抗强度取决于两侧岩石的特性、接触面的粗糙度等因素。（2）非闭合状态的结构面通常有其他填充物质：为硅质、铁质、钙质等充填胶结的结构面，其强度常常不低于岩体，不属于懦弱面；为其他物质如黏土填充时，则沿结构面切向的抗剪实力常会很低，而大大降低岩体的整体强度，并显著影响其变形特性。图3-5所示为结构面的剪切变形曲线，其中，（a）对应于非填充粗糙结构面，（b）对应于平坦（或有填充物）的结构面。（a）法向（b）切向图3-5结构面的剪应力-剪应变曲线通常，以前述式（3-2）作为结构面的剪切破坏准则。为反映出结构面的影响，岩体的强度特性通常通过现场试验获得。图3-6所示为现场原位剪切试验得到的剪切变形曲线，其中（a）对应于沿懦弱结构面剪切，（b）对应于沿粗糙结构面、懦弱岩体、强风化岩体的剪切，（c）为剪断坚硬岩体。图中p及r分别为峰值强度和残余强度。（c）剪断坚硬岩体（b）沿粗糙结构面、懦弱岩体、强风化岩体的剪切（a）（c）剪断坚硬岩体（b）沿粗糙结构面、懦弱岩体、强风化岩体的剪切图3-6岩体的剪切变形曲线由上述单轴压力试验、剪切试验得到的岩石或岩体的单轴抗压强度值、抗剪强度值只能干脆用于简洁受力状态时的岩石（体）破坏的推断，实际工程问题中，岩体处于困难的受力状态下，因此需建立相应的破坏准则。事实上，前述的Coulomb定律及Mohr-Coulomb强度准则除用于土外，同样也广泛地用作岩石及岩体的破坏准则。除此之外，还用两个应用广泛的破坏准则。（1）Griffith强度准则Griffith认为，含有大量方向杂乱的微小裂隙的岩石在受力后，裂隙尖端处的拉应力集中导致裂纹发生受拉破坏，进一步扩展后形成宏观裂纹，并导致岩石破坏。基于弹性理论计算应力，最终推得其强度准则为(3-4)式中Rt为岩石的抗拉强度，为裂隙与竖向的夹角。其相应的图形如图3-6所示。图3-6Griffith强度准则（2）Hoek-Brown强度准则Hoek和Brown通过探讨建立岩体的强度准则(3-5)式中Rc为完整岩块的抗压强度，参数s反映岩体的完整程度，取值介于0~1之间，完整时取s=1，特别裂开时s=0；参数m则与岩石的类型及完整程度有关，如完整的粗粒多矿物岩浆岩及变质岩，其值为25，较差的岩体则取值接近于0。与Griffith强度准则及Hoek-Brown强度准则相比，前述的Mohr-Coulomb强度准则意义更为明确，形式更为简洁，因此在一般工程设计计算方法中的应用更为广泛。如前所述，浅基础及深基础的承载力、边坡及滑坡的稳定性、挡土结构上的极限土压力等问题都与土、岩的强度亲密相关，以下分别对这些问题进行介绍。3.2浅埋基础的地基极限承载力地基承载力的计算可采纳理论方法和阅历方法。对浅埋基础来说，其理论计算公式与阅历公式（如规范中采纳的公式）的具体形式虽然有肯定的差别，但基本原理相同，形式也有较大的相像性。但对桩基础来说，实际设计时采纳的计算公式（规范）与理论计算方法则有较大的差别，由桩-土形成的复合地基虽然用于浅埋基础，但其承载力的计算与桩基础更为相像。故以下主要以自然浅埋基础为例，介绍浅埋基础承载力的理论计算方法。3.2.1浅埋基础的破坏形式及承载力计算如图3-8所示，对建于土层的地基，浅埋基础的破坏形式可分为3种：（1）整体剪切破坏：随着荷载的增大，基底以下的土层渐渐进入破坏状态，并形成延长至地表的滑移面，破坏时地表有明显的隆起。一般发生于基础埋深较浅而地基土层为密实的砂土或硬黏土时。（2）局部剪切破坏：与整体剪切破坏相像，在基底以下土层肯定范围内形成破坏区域，但破坏面未延长至地表，破坏是地表只有微量隆起。（3）冲切破坏：对于松砂或其他松散结构土层时，荷载增大时，松散土层逐步被压密，且压密区向深层发展，基础下切。图3-8浅埋基础的破坏形式以上3种破坏形式中，明显，对前两种破坏的探讨更具有工程好用价值，其中整体剪切破坏的计算模式更为简洁，探讨成果较多，实际工程中浅埋基础地基极限承载力的计算多采纳此种计算模型。理论法主要结合土（岩）的强度理论建立极限承载力的计算公式，其中较为闻名的有Prantle-Vesic公式、Terzaghi公式、Meyerhof公式等。下面以Prandtl-Vesic公式为例说明其计算原理及强度理论在其中的应用。3.2.2Prandtl-Reissner公式Prantle-Vesic公式先后由Prandtl、Reissner、Vesic等发展。其中，Prandtl（1920）解决了不考虑地基土自重、基础置于地表（无两侧过载）时的承载力计算问题，在此基础上，Reissner（1924）进一步考虑了两边过载的影响，得到的计算公式称为Prandtl-Reissner公式，进入上世纪70年头，Vesic建立了地基自重对承载力贡献的计算公式，最终得到了完整的地基承载力的理论计算公式。图3-9所示为Prandtl-Reissner公式的计算模型，其中：（1）假设基础为条形基础，即按平面应变问题进行计算。（2）地基的自重为0。（3）基底以上的土层作为荷载施加在基础两侧，即忽视土层供应的反抗力，这样的处理方法明显是偏于平安或保守的。（4）（3）计算时，将破坏区域分为3个部分：基础下的aba1区为I区，在竖向荷载的作用下向下沉降，并将力传向两侧土体，称为主动区。对应于极限承载力，该区域处于剪切破坏状态。为便于计算，假设基础底面为光滑的，即与底面基础的地基土层面上的剪应力为0，该面为主应力作用面。这个简化会给计算公式的建立带来很大的便利。与此不同的是Terzaghi的计算模型，它认为：由于基础底面是粗糙的，故其对这部分土有较强的约束作用，使其无法产生明显的剪切变形，即不发生剪切破坏，称为“刚性核”。虽然这与实际状况更为相符，但依此计算模型建立其相应承载力计算公式的过程更为困难。II区为过渡区，亦处于剪切破坏状态。为计算便利，通常将其滑面bc1假设为对数螺旋线形态。III区为被动区，该区域的土同样处于剪切破坏状态。滑面c1d假设为直线。图中还给出了各区域的剪切滑移线。图3-9Prantle-Reissner公式计算模型以下分析各区的受力状况：（1）I区1）整个处于匀称受力状态，即区内各点的应力状态相同。2）由于假设基础底面肯定光滑，故基底压力p'k为主应力，而且由于该区域是向下压缩变形的，故可认p'k为大主应力。明显，I区与II区的交界面是剪切滑移面，假设作用在其上的法向、切线应力分别为a及a，如图3-10所示。处于极限状态时，应力应满足式（3-3）给出的Mohr-Coulomb强度准则，即图3-11中，应力圆应与强度线相切。不难推出，法向应力a与p'k的关系为(3-6)图3-10I区单元受力图图3-11极限状态时的Mohr圆（2）III区1）与I区相像，该区处于匀称受力状态，即区内各点的应力状态相同。2）由于破坏时基础两侧的地面是向上隆起的，故可认为两侧过载q0是小主应力。图3-12所示为其中单元的受力图。同样，III区与II区的交界面是剪切滑移面，假设作用在其上的法向、切线应力分别为p及p，由图3-11易推得(3-7)（3）II区II区的受力状况如图3-13所示，为得到p'k的计算公式，建立对O点的力矩平衡方程。作用在两侧的a与a、p及p沿II区的边界是匀称分布的，其中，只有法向应力对O点的力矩有贡献。a产生的力矩为(3-8)p产生的力矩为(3-9)式中r1=r0exp(/2tanj)。而底面的法向及切向应力分别为n与s，且有(3-10)由于底部的滑移曲线假设为对数螺旋线r=r0exp(qtanj)，其上随意一点处的法线方向与射线的夹角为，因此，n与s中ntan的合力作用方向通过O点，即滑移曲线上对O点的力矩有贡献的应力为c，沿切线方向作用，故其对力矩的贡献为(3-11)图3-12III区单元受力图图3-13II区受力图将式（3-8）、（3-9）、（3-11）代入力矩平衡方程，并将其中的a与p的表达式（3-6）、（3-7）代入，整理后得到极限承载力的计算公式为(3-12)式中的系数Nq及Nc分别为(3-13)(3-14)式（3-14）即为Prandtl-Reissner公式。3.2.3Prandtl-Vesic公式在式（3-12）的推导过程中，没有考虑地基自重的影响，由此可能会给承载力的计算带来较大的误差。例如，对置于砂土表面的基础（c=0，=0），由该式得到的地基承载力为0，——这明显是不合理的。针对这种状况，Vesic通过探讨，给出了地基自重对承载力贡献的计算公式，即(3-15)式中1为地基土的重度，系数N的计算公式为(3-16)综合式（3-12）和（3-15），得到地基承载力的计算公式为(3-17)除上述方法外，浅埋基础的承载力还有其他的理论计算方法。如前面所提的考虑基底摩擦力的Terzaghi的计算模型；Meyerhof则探讨了考虑基底以上土层的抗剪强度时承载力的计算方法，以及在斜坡、成层土地基的承载力计算公式；Hansen则探讨了地基受倾斜荷载时承载力的计算方法；Vesic则探讨了地基土压缩性的影响，将上述整体剪切破坏条件下的承载力计算公式推广用于局部剪切破坏及冲切破坏时承载力的计算。可以看出，理论计算是以志向化的土为对象的，并为简化计算，往往需引进较多的假设。在实际工程中，应用更多的是阅历公式。例如，《铁路桥涵地基基础设计规范（TB10002.5—2005）》中，地基容许承载力的计算公式为(3-18)式中0——地基的基本承载力(kPa)；b——基础的宽度（m），对矩形基础，取其短边。且小于2m时取为2m，大于10m时取为10m；k1、k2——分别为基础宽度和深度的地基承载力修正系数，由持力层土查表确定；1——基础底面以下土的重度(kN/m3)；如持力层在水面以下且为透水层时，应取浮重度；2——基础底面以上土的加权平均重度(kN/m3)；如持力层在水面以下且为透水层时，水中部分取浮重度；持力层不透水时，水下土层取饱和重度。《建筑地基基础设计规范（GB50007-2011）》中，地基承载力的计算公式为(3-19)式中fa——修正后的地基承载力特征值(kPa)；fak——地基承载力特征值(kPa)，可通过现场试验等方法确定；b、d——分别为基础宽度和深度的地基承载力修正系数，由持力层土查表确定；b——基础的宽度（m），对矩形基础，取其短边。且小于3m时取为3m，大于6m时取为6m；d——基础埋置深度（m），一般自室外地面标高算起。在填方整平地区，可自填土地面标高算起，但填土在上部结构施工后完成时，应从自然地面标高算起。对于地下室，当采纳独立基础或条形基础时，基础埋深应从室内地面标高算起。而采纳筏基或箱基时，埋深自室外地面标高算起；——基础底面以下土的重度(kN/m3)，地下水位以下取浮重度；m——基础底面以上土的加权平均重度(kN/m3)，地下水位以下取浮重度。可以看出，规范公式与理论计算公式的形式并不相同。理论方法依据较为严格的理论推导而得，但针对的是志向化的土，在肯定程度上，不能完全反映实际土的困难特性，以及实际工程中各类因素的影响；相比之下，规范中给出的阅历公式来自于现场大量的实测数据，因此对实际土的特性、施工因素的影响有较好的反映，但其理论体系不太严密。从另一方面看，两类方法在质上还是具有较大的相像性的，例如：它们都考虑了土的物理、力学特性及基础的尺寸、埋深等因素对承载力的影响，其中，在理论计算时，力学特性的影响主要是通过c、等强度指标干脆反映出来，而在规范公式中，地基土层强度特性的影响则隐含于0（fak）、b、d（k1、k2）等指标中。此外，在确定承载力时，理论方法计算所需的指标、c、等指标可通过试验确定出来，其中有些通过室内试验即可确定；而采纳规范公式时，0（fak）需通过现场试验确定，而规范中供应的b、d（k1、k2）等指标实际是阅历值。总之，两类方法各有千秋。在应用时，应依据问题的特点和自己的计算目的选择合理的计算方法。3.3桩基础及复合地基的承载力计算桩基础属深基础。事实上，将浅埋基础承载力的理论计算方法进一步发展，即可得到深基础承载力的计算方法，如图3-14所示的Terzaghi的深基础的计算模型及3-15所示的Meyerhof的深基础的计算模型。与浅埋基础不同，计算深埋基础地基承载力时，基底以上土层的抗剪强度对承载力的贡献不能再被忽视，此外，还需考虑基础侧面与四周土层之间摩擦阻力（侧摩阻力）对承载力的影响。以Terzaghi模型为例，承载力的计算公式可写为(3-20)式中Nq、Nc、N由内摩擦角确定，此处略去其具体表达式；1为基底以上土的等效容重，即需扣除基础侧面与土之间的摩擦力fs及环形土体与土层间的竖向剪应力，其计算公式为(3-21)式中0为土的容重。R为原型基础的半径，nR为环形土体的外半径。图3-14Terzaghi的深基础计算模型图3-15Meyerhof的深基础计算模型理论上讲，上述公式也可用于单桩极限承载力的计算。但实际工程计算时，很少采纳这类公式进行计算。对单桩，其承载力由两部分组成：桩侧摩阻力和桩端摩阻力，例如，《建筑桩基技术规范（JGJ94-2008）》中，单桩（d≤800mm）的极限承载力计算公式为(3-22)式中Qsk及Qpk分别对应于极限侧阻力及极限端阻力。U、Ap分别为桩的周长及底面积，li为桩穿过土层的厚度，qski及qpk则分别为单位面积的侧摩阻力及端阻力。可以看出，与浅基础相比，桩基础承载力的理论计算方法与规范方法之间的差别更大。虽然两类方法中都考虑了影响桩的承载力主要因素，例如，在理论公式中，有反映地基土层强度的指标c、及基础-土层界面摩擦力的指标fs；在规范公式中，桩-土层之间的摩擦特性通过侧摩阻力qski反映，而桩底以下土层的承载特性则由端阻力qpk反映，它实际体现了土层的强度指标c、及其他因素的综合影响。侧摩阻力qski及端阻力qpk可通过现场试验确定，且对不同的土（岩）、不同的施工方法等都有大量的数据积累，因此，对桩基础来说，式（3-22）之类的阅历公式较(3-20)之类的理论公式有更多的应用。对群桩基础，或计入承台对基础承载力的影响（如前述“建筑桩基规范”中），或将整个桩基础作为一个埋深较大的浅埋基础进行计算（如前述“铁路桥涵基础规范”中）。对CFG桩、素混凝土桩之类的复合地基来说，复合地基的承载力由桩及桩间土组成。在《建筑地基处理技术规范（JGJ79-2012）》中，复合地基承载力的计算公式为(3-23)式中:fspk——复合地基承载力特征值(kPa)；m——面积置换率；Ap——桩的截面积(m2)；——桩间土承载力发挥系数，按当地阅历取值，无阅历时可取0.9~1.00；fsk——处理后桩间土承载力特征值(kPa)，应按静载荷试验确定；无试验资料时可取自然地基承载力特征值。Ra——单桩承载力特征值(kN)，应通过现场载荷试验确定。初步设计时，Ra可按下式估算(3-24)其形式与式（3-22）完全相像。式中：Up——桩的周长(m)；n——桩长范围内所划分的土层数；qsi——桩周第i层土的侧阻力特征值，应按地区阅历确定；li——桩长范围内第i层土的厚度(m)；qp——桩端土端阻力特征值(kPa)。3.4边坡及基坑的稳定性分析边坡工程及基坑工程中，对其中的土（岩）体的稳定性进行计算分析，均是其重要的计算内容。对岩质边坡来说，其中的结构面对边坡的稳定性往往有着确定性的影响，其规模、性质及组合形式确定了边坡失稳破坏的形式。通常，岩坡的破坏形式可分为倒塌和滑坡两大类。由于岩质边坡往往会沿其中的结构面发生滑坡，故在计算分析时，岩坡滑坡发生失稳破坏时可能滑动面往往较为明确。与岩质边坡相比，土质边坡的滑动面往往须要大量的试算才能确定，计算更为困难。下面以土质边坡和基坑为例，介绍土质边坡的稳定性分析方法。在大多数状况下，边坡的失稳破坏的计算分析属三维问题，但实际计算时，多将其简化为二维问题，虽然会带来肯定的误差，但所得到的结果通常是偏于平安的。土坡稳定的计算分析主要有3类：基于塑性理论的极限分析法、条分法、数值计算方法。其中极限分析法基于严格的塑性理论，理论比较严密，但计算较为困难，且只能用于较为简洁的问题，在实际工程计算中应用较少；数值计算方法可较好地计算分析各类困难问题，已有越来越广泛的应用，但总的来说，其计算过程还是比较困难，不便用于一般工程；目前，在实际工程中应用最为广泛的是条分法。条分法的基本概念稳定分析时主要涉及到土体的受力及土的强度，而不大关注土体的变形，为简化计算，可将土体视为刚体。同时，为更好地反映滑体的受力状况，将滑动的土体分为多个条块，即条分法。如图3-16中所示的滑坡体，假设其滑面为圆弧形。计算时，将滑体分为n块，图中给出了其中第i个条块的受力状况。（a）条块划分（b）条块受力图3-16条块的划分及条块上的作用力作用在i条块上的力有：自重Wi、滑面上的切向力Ti和法向力Ni、与左（右）相邻块之间的水平作用力Pi（Pi+1）及竖向作用力Hi（Hi+1），作用点距滑面的铅垂距离为hi（hi+1），这样，若共有n个条块，则待求量的个数为：（1）从第1到第n-1，共n-1个作用面，每个面上3个待求量（Pi、Hi、hi），共3（n-1）个未知量。（2）n段滑面，每个面上2个待求量（Ni、Ti）及其作用点的位置。若假设合力作用点的位置处在该段滑面的中点，则共用2n个未知量。（3）稳定性系数Fs。故未知量的总数为5n-2。而求解时可列出的方程数为：（1）n个条块，每个条块可列3个平衡方程，共3n个方程。（2）n段滑面，失稳时滑面上的切向力处于极限状态，每段可列1个极限方程，故共可列n个方程。（3）对条块1，其左边界上的水平力等于0，即P0=0；对条块n，其右边界上的水平力等于0，即Pn=0；故可补充2个方程。这样，方程的总数目为4n+2个。由此可知，未知量的总数比方程数多出n-4个。通常，采纳条分法计算时，条块的数量远大于4，因此无法解出相应的未知量。为解决这一冲突，从理论上讲，应补充建立条块之间的变形协调方程，但这将使计算变得特别困难。而在实际应用时，则是通过引入一些假设来削减未知量的数目，进行简化计算。按其简化方法的不同，求解方法可分为瑞典圆弧滑动法（Fellenius法）、Bishop法、普遍条分法（Janbu法）、Spencer法、Morgenstern-Price法、Sarma法等。下面分别以其中较为简洁的瑞典条分法及较为困难的Morgenstern-Price法为例，对条分法的计算原理进行介绍。3.4.2瑞典条分法这是条分法中最古老和最简洁的一种。计算时，假设滑动面为圆弧面，如图3-16（a）所示。为解决未知量多于方程数的冲突，假设条块两侧的作用力大小相等，方向相反，并且作用在同一水平位置，从而在计算时相互抵消，因此，对块体的平衡不产生影响。图3-17瑞典条分法条块受力图第i块的受力简图示于图3-17。由此，很简洁得出法向力（3-25）处于极限状态时，滑面上的切向力为（3-26）式中粘聚力和内摩擦角加下标表示为ci、i，是因为滑面可能穿过不同土层。由于滑动面为圆弧形，故Ni对圆弧中心不产生力矩，而条块自重Wi产生下滑力矩（3-27）滑面上的切向力Ti能供应的最大反抗力矩为（3-28）故坡体的抗滑平安系数（3-29）式（3-29）中将坡体的抗滑平安系数定义为最大反抗力矩与下滑力矩的比，这对圆弧形滑面来说比较合理，但无法用于非圆弧形滑面。为此，Bishop等将抗滑平安系数定义为（3-30）即滑面上一点的抗剪强度与实际剪应力之比，从而可用于非圆弧滑面的稳定性分析。对条分法，式（3-30）可表示为（3-31）以下按此定义确定坡体的平安系数。依据式（3-30）的定义，第i条块滑面上的剪力为（3-32）且有所产生的反抗力矩为（3-33）由力矩平衡方程并将式（3-33）及式（3-27）代入式（3-34），最终得到与式（3-29）的结果完全相同。当考虑孔隙水压力对抗剪强度的影响时，滑面上的方向应力中应减去相应的孔隙水压力u，而相应的强度指标应采纳对应于有效应力的强度指标，其计算公式变为（3-34）留意到，按式（3-32）所确定的Ti一般并不等于使i条块处于平衡状态的值Tisini，即条块的平衡方程实际并未得到满足，说明对瑞典条分法来说，待求量的个数小于应满足的条件，这与前面所介绍的“条分法中未知量的数量大于应满足的受力条件”的状况刚好相反，其缘由就是因为瑞典条分法中，对条块的受力作了过度的简化（例如，忽视了条块之间的作用力），大大削减了未知量的数目，造成未知量的个数远小于应满足条件（求解方程）数量的状况。虽然如此，但该法计算简便，在长期的应用过程中积累了丰富的阅历，且得到的平安系数一般较低而偏于平安，故该法目前仍是工程上常用的方法之一。由式（3-29）得到的是沿某个可能滑面滑动时的平安系数，为了确定最危急滑面，还需针对不同的可能滑面进行试算，其中抗滑平安系数的最小值即为边坡的平安系数，所对应的滑面即为最危急滑面。3.4.3Morgenstern-Price法该法适用于随意形态剪切滑动面的边坡的稳定性。如图3-18所示，为建立其求解方程，在坡体上取宽度为dx的微条块进行分析，其受力状况为：（1）作用于两侧的法向合力：法向有效应力E’（E’+dE’）、孔隙水压力U（U+dU），所对应的合力作用点的竖向坐标函数分别为y1=y1(x)、yu=yu(x)；（2）作用于两侧的剪应力的合力：X（X+dX）；（3）作用于滑面上的合力：法向有效应力dN’、孔隙水压力dUs、切向力dN；假设滑面的竖向坐标函数为y=y(x)；（4）条块自重dW；图3-18Morgenstern-Price法明显，作用在微条块的力应满足水平、竖向、力矩这3个平衡方程，以下简要给出其推导过程。（1）对滑面中心点的弯矩平衡方程稍加分析即不难看到，由于滑面的宽度为dx，与高度相比属高阶微量，因此，若对该微段滑面中心点处取矩，则与其他作用力相比，dN’、dUs、dT、dW等产生的力矩为高阶微量，可忽视不计。故微土条左侧截面的总弯矩为右侧截面的总弯矩为令左、右截面的弯矩相等，并略去高阶微量，整理后可得（3-35）（2）滑面法向方向的力的平衡方程（3-36）（3）滑面法向方向的力的平衡方程（3-37）（4）滑面上的极限条件依据平安系数的定义及Coulomb定律，有（3-38）Bishop将孔隙水压力u与该点的自重应力之比定义为孔隙应力比，即（3-39）式中和h分别为土的重度和至地表的铅垂距离。由此可将dUs表示为（3-40）式（3-36）、（3-37）、（3-38）、（3-40）中共有dN’、dUs、dH、dP’、dU、dT等6个变量，将此4式联立并消去dN’、dUs、dT后，可得到（3-40）土条侧面的法向总应力可分为有效应力及孔隙水压力，故总的法向力为P可写为（3-41）其作用点的位置为（3-42）进一步，将H与P之间的关系表示为（3-43）式中为待定参数，f(x)为待定函数。为进一步简化计算，对每一土条引进下列近似的线性关系（3-44）（3-45）（3-46）式中A、B、p、q、k、m均为待定参数。经过上述处理后，方程（3-35）可表示为（3-47）（3-48）式中（3-49）（3-50）（3-51）（3-52）假设条分法计算时，第i条块两侧的受力为（时）（时）对式（3-48）从xi到xi+1=xi+xi进行积分，得到（3-53）由上式从P0=0起先逐步递推，可求得各截面的方向作用力。当然，最终一个截面的法向力应为0，即（3-54）截面的弯矩为由式（3-47），上式可表达为（3-55）同样，还应满足（3-56）的边界条件。在实际计算时，先假定一个Fs及，通过求解后确定出Pn和Mn，假如不为0，则需对其值进行修正，反复试算，直至边界条件式（3-54）及（3-56）得到满足。在前文中，为建立H与P之间的关系，式（3-43）中引入了函数f(x)，其具体形式可利用弹性理论确定，也可依据阅历选择。当假设f(x)为常数时，计算结果与Spencer法相同；当f(x)=0时，则相当于简化的Bishop法。据Morgenstern的探讨，对于接近圆弧的滑动面，f(x)对平安系数的影响不大。Morgenstern-Price法是土坡稳定极限平衡分析计算中最一般的方法，在计算模型中，没有忽视条块所受的各类作用力，因此，如前所述，仅靠个条块的平衡方程及两端条块的边界条件是无法建立求解全部待求量所需的方程的，因此，在计算过程中，仍需引进一些假设来补充求解方程或削减未知量。3.4.4基坑工程中土体整体滑动稳定性的验算方法基坑工程中，坑外土体的稳定性问题与边坡稳定性的问题本质上完全相同。基坑工程中，常采纳较简洁的瑞典条分法进行稳定性验算。以《建筑基坑支护技术规程（JGJ120-2012）》为例，其中，对重力式水泥土墙、土钉墙、支挡式结构等均需按瑞典条分法进行整体滑动稳定性验算。图3-19所示为重力式水泥土墙的计算模式。明显，最危急滑面应从墙的底部穿过，对其中可能的第i条滑面，有（3-57）与式（3-34）略有不同的