广东省东莞市市常平中学高二数学理测试题含解析

广东省东莞市市常平中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则下列三个数（

）A．都大于6

B．至少有一个不大于6

C．都小于6

D．至少有一个不小于6参考答案：D假设3个数，，都小于6，则利用基本不等式可得，，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数，，至少有一个不小于6，故选D.

2.如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是(

)A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C． D．a2＞b2参考答案：D【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴a2＞b2．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．3.如图程序输出的结果是（）A．3，4 B．4，4 C．3，3 D．4，3参考答案：B【考点】伪代码．【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a和b就是所求．得到结果．【解答】解：从所给的赋值语句中可以看出：a=3，b=4，a是b赋给的值，a=4而b又是a赋给的值，b=4∴输出的a，b的值分别是4，4．故选B．4.已知条件，条件，则是的A.充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．6.若关于的不等式有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的的最大值为、最小值为，则－等于

（

）

A．1

B．24

C．25

D．26参考答案：D提示

由得

解得∴；故选D7.已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9.若，则sin（π+2α）=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知等式，得：（cosα﹣sinα）=，两边平方后，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵，可得：（cosα﹣sinα）=，∴两边平方可得：1﹣2sinαcosα=，解得：sin2α=，∴sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣．故选：A．10.若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选B．【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足，则的最大值是________________。参考答案：略12.设椭圆的右焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为_____________．参考答案：13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块参考答案：4n+2【考点】F1：归纳推理．【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{an}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．14.在单调递增，则a的范围是__________．参考答案：【分析】由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.

15.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分.学生甲选对任一题的概率为0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________.

参考答案：

120

16.已知函数若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是

参考答案：(0,]略 17.A．

B．

C．

D．1参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(Ⅰ)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(Ⅱ)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．参考答案：略19.已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(1)解法一：任取，则恒成立，即恒成立.∴恒成立，两边平方得：∴

…………4分(1)解法二：因为函数为偶函数，所以，得，得：经检验，当时函数为偶函数，∴

…………4分(2)若，则.由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及

…………8分(如果写成,得7分)(3)不等式化为，即：

(*)对任意的恒成立.因为.所以分如下情况讨论：①时，不等式(*)化为，即对任意的恒成立，因为函数在区间上单调递增，则只需即可，得，又∴②时，不等式(*)化为，即对任意的恒成立，由①，，知：函数在区间上单调递减，则只需即可，即，得或.因为所以，由①得.③时，不等式(*)化为，即对任意的恒成立，因为函数在区间上单调递增，则只需即可，即，得或，由②得.综上所述，的取值范围是.

…………15分

略20.在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．参考答案：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5列关于首项和公差的方程组，求得a1和d，代入等差数列的通项公式求解；（2）求出，可得，利用裂项相消法求和后即可证明Tn＜．【解答】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5，得，解得，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；（2）证明：，∴，则==．21.（12分）已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,

且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：(1)设，则，由得，即所以轨迹方程为（2）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①（Ⅰ）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（Ⅱ）当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点ks5u所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.22.(本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽出100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第1组[160,165)50.050第2组[165,170)a0.350第3组[170,175)30b第4组[175,180)c0.200第5组[180,185)100.100合计1001.00（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样法抽取6名学生进入第2轮面试，试确定a、b、c的值并求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第4组中至少有一名学生被A考官面试的概率.参考答案：解：（1）有频率分布表知

--------------3分

因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组人，第4组人，第5组人，所以