2022-2023学年天津市四校联考高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津市四校联考高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知直线经过点（1,0）,（4,√3）,该直线的倾斜角为（）

A.⅞B.-C-n—

O3j6la3

2.过直线％+y+1=0和％-2y+4=0的交点，且与直线％+2y-3=0垂直的直线方程

是（）

A.2x—y÷3=0B.2x-y+5=0C.x+2y—4=0D.2%—y-3=0

3.在四面体O-ZBC中,赤=2万,Q是BC的中点，且M为P,Q的中点,若苏=^OB=及

OC=c,则面=（）

11111

KTT→IT

+CQ+D+C

A.ɪ6-6-6--3-

44

C.4五+Jb+；］D.:五+Jb+J下

264344

4.圆工?+y2-4％一4y-IO=O上的点到直线汽+y—14=0的最大距离是.（）

A.36B.8√2C.18D,6√2

5.已知正项等比数列｛αn｝首项为1,且4g，Q3,24成等差数列，则｛αn｝前6项和为（）

A.31B.lɪC.§D.63

6.圆C//+V+2%+4y+1=0与圆C?:/+y?一4%-4y—1=0的位置关系为（）

A.外切B.相交C.相离D.内切

7.己知抛物线Q：产=2py（p>0）的焦点为F,双曲线C2：捻-A=I（α>0,b>0）的离心

率为√5,F到双曲线C2的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为（）

A.X2=4√3yB.X2=8√3yC.x2=4V6yD.x2=8√6y

8.已知空间内三点/（1,1,2）,8（-1,2,0）,C（0,3,1）,则点4到直线BC的距离是（）

A.√6B.1C.挚D.学

33

9.已知椭圆1+当=l（a>b>0）,4、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，

且PFIX轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM交y轴于“点，H点、

为OE线段上靠近。点的三等分点，则椭圆的离心率方（）

A.IB.ɪC.7D.ɪ

3342

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

10.已知向量益=(L-3,2),⅛=(1,1,0).则向量方+23=—.

11.过点4(1,a)作圆C：%2+y2=4的切线方程，则切线方程为.

12.当点P在圆/+V=1上运动时，连接点P与定点Q(4,0),则线段PQ的中点M的轨迹方

程为_.

13.已知M为抛物线y2=4χ上的动点，F为抛物线的焦点，点P(l,l),则IMPl+∣M用的最小

值为_.

14.己知圆。一2)2+旷2=/?2与双曲线会，=1(。>03>0)的渐近线相切，且圆心到双

曲线左顶点的距离为√5b,则该双曲线的离心率是—.

15.已知数列｛arj｝的前n项和为Sn,设αn≥0,a1=0,ɪ=&±1誓龙(n∈N*),则

Sn=-----

三、解答题(本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题14.0分)

己知圆C经过4(2,-2),B(-4,6)两点，且圆心C在直线y=-2x上.

(1)求圆C的方程；

⑵过点M(-5,0)的直线，与圆C相交于P、Q两点，若IPQl=6,求直线，的方程.

17.(本小题15.0分)

若等差数列｛%l｝的前n项和为品,数列｛bn｝是各项为正的等比数列，α1=3,b1=l,b3+S3=

19,CI4—2/?2=・

(1)求数列｛an｝和｛九｝的通项公式;

(2)求数列铲｝的前n项和加

υn

(3)若Cn=∑-^-(∏6N*)，求数列｛%｝的前律项和Mn∙

an'αn+l

18.(本小题15.0分)

在如图所示的几何体中，四边形4BCD是菱形，4。NM是矩形，NDLnABCD,∆DAB=j^,

AD=2,AM=1,E为AB的中点.

(1)求证：AN〃平面MEC；

(2)求平面EMC与平面BMe夹角的余弦值.

(3)在线段AM上是否存在点P,使直线PE与平面MBC所成的角为若存在，求出PE的长：

若不存在，请说明理由.

19.(本小题15.0分)

已知椭圆C：≡∣+^=l(α>h>0)的左焦点尸与抛物线y2=一4χ的焦点相同，且椭圆C的离

心率为g.

(1)求椭圆C方程；

(2)直线［与椭圆有唯一的公共点M(点M在第二象限，此直线［与y轴的正半轴交于点N,直线NF

与直线OM交于点P且SAOFP=SSAOFN，求直线，的斜率.

20.(本小题16.0分)

已知Sn为数列｛an｝的前n项和，且Sn=数列｛九｝前n项和为7；,且瓦=2,bn+1=Tn+2.

(1)求｛an｝和｛.｝的通项公式；

(2)设cn=(―1严吗，数列｛cn｝的前n项和为求P2n；

⑶证明：∑-(⅛h<∑∙

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：设直线的倾斜角为α,

则又

tcmα=k=F4—二1°=4ɔ,α∈[O,τr),

所以

α=%O,

故选：C.

求出直线的倾斜角，然后求出直线的斜率，根据角的范围即可求解.

本题考查了求解直线的倾斜角问题，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：联立｛rm。，解得鼠：丁,

所求直线与直线X+2y-3=0垂直，

则所求直线的斜率为4=2,

2

故所求直线方程为y—1=2(x+2),即2x—y+5=0.

故选：B.

根据已知条件，先求出直线x+y+l=0和x-2y+4=0的交点，再结合直线垂直的性质，即可

求解.

本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解:如图,

∙.∙OP=2PA^•••OP=∣θ7,

∙∙∙Q是BC的中点，且M为P,Q的中点,

111

而

≡Z而+

--L+-1-

234

故选：。.

根据条件得出而=W羽，OM=1(0P+OQ),然后代入的=X赤+3?),而=|列并进行向

量的数乘运算即可.

本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，考查了计算能

力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由圆/+丫2一4%-4丫-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3√Σ,

则圆上的点到直线X+y—14=O的最大距离为M+114∣+3√Σ=8√2.

故选:B.

求得圆心到直线的距离可求圆/+y2-4x-4y-10=0上的点到直线X+y-14=0的最大距

离.

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离问题，属基础题.

5.【答案】C

【解析】解：4c⅛,α3>2。4成等差数列，［2c⅛=4c⅛+2α4,

2

又正项等比数列｛α7l｝首项为1,二2q+q-l=0,解得q=；或勺=一1(舍去)，

.ς_αι(l-q6)_lx[l∙~⅛>6]_63

"6^]-q-ι-∣一32，

故选：C.

利用等差数列的性质及等比数列的前n项和公式即可求解.

本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式及前H项和，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：圆G：X2+y2+2x+4y+1=0,即(x+1)2+(y+2>=4的圆心(一1,—2),半径

为2；

圆C2:X2+y2-4x-4y-l=0,即(X—2,+(y—2>=9的圆心(2,2),半径为3；

圆心距为J(2+1)2+(2+2)2=5,

因为5=3+2,所以两个圆的位置关系是外切，

故选：A.

求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可.

本题考查圆的位置关系的判断，求解圆的圆心与半径，两个圆的圆心距与半径的关系是解题的关

键，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由抛物线方程可得F(O弓)，

又双曲线C2:/=l(α>0,匕>0)的离心率为V5,

则？=√3,

即孚=3,

al

即2=√2,

a

即双曲线C2的渐近线方程为y=±√2x,

又产到双曲线C2的渐近线的距离为2，

P

.∙.J2=2

Jl+(√2)2

p=4V3>

即抛物线C2的方程为χ2=8√3y,

故选：B.

由双曲线的性质，结合抛物线的性质及点到直线的距离公式求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质及点到直线的距离公式，属基础题.

8.【答案】A

【解析】解：空间内三点4(1,1,2),B(-l,2,0),C(0,3,1),∖AB∖=√(-2)2+I2+(-2)2=3.

因为前=(1,1,1),BΛ=(2,-1,2).

由cos"BC=薪甯=篇=M所以sin"BC=争

所以点4到直线BC的距离d=∖AB∖-sin∕.ABC=3×y=√6∙

故选:A.

借助于空间向量解决空间中距离问题.

本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系，属于中档题.

9.【答案】D

【解析】解：如图，由MF〃OE,黑=好迎=2,

∖OE∖aIMFla+c

所以=妥，得&=2c.

故选：D.

由已知可得黑=F，幽=旦，得到a，C的关系，代入即可.

10ElaIMFla+c

考查椭圆的几何性质，考查求椭圆的离心率，属基础题.

10.【答案】(3,-1,2)

【解析】解:向量益=(1,一3,2),/)=(1,1,0)，

贝阴+2b=(1,-3,2)+(2,2,0)=(3,-1,2).

故答案为：(3,—1,2).

根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解.

本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.

11.1答案】X+V3y—4=0

【解析】解：由题意，点4(1,g)在圆上，/+y2=4的圆心C(OQ)

•••的斜率为百，

・•・切线的斜率为-日，

・•・切线方程为y-陋=—ɪ(ɪ—1),

即X+√3y-4=0.

故答案为：X+√3y—4=0.

由题意，点4(1,75)在圆上，/+y2=4的圆心C(0,0),根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆

心和4的坐标求出CA确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1,求出切线的斜率,

根据4坐标和求出的斜率写出切线方程即可.

本题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关

系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，属于基础题.

1

-

12.【答案】(X-2)2+y24-

【解析】解：设线段PQ的中点May),又Q(4,0),

.∙.PaX-4,2y),又点P在圆久2+y2=1上，

.∙.(2x-4)2+(2y)2=1,

.∙.(x-2)2+y2=-,

••・线段PQ的中点M的轨迹方程为(X-2)2+y2=%

故答案为：(χ-2)2+y2=τ∙

设线段PQ的中点M(X,y),再根据“相关点“法，即可求解.

本题考查利用“相关点”法求曲线方程，属基础题.

13.【答案】2

【解析】解：•.♦抛物线y2=4x的准线方程为：x=-l,又P(l,l),

P到准线的距离d=1+1=2,

设M到准线的距离为τn,则IMFl=m,

.∙.IMPI+∖MF∖=∖MP∖+m≥d=2,

当且仅当直线MP垂直准线时，等号成立，

∙∙∙∣MP∣+∣MF∣的最小值为2,

故答案为：2.

根据抛物线的几何性质，化归转化思想，即可求解.

本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属基础题.

14.【答案】√3

【解析】解：已知双曲线方程为会∖=l(α>O,b>O),

则双曲线的渐近线方程为y=±^x,

22

22

又圆(X-2)+y=扭与双曲线a-^=l(α>0,h>0)的渐近线相切,

Zb

则而用

则Ka?+炉=2>①

又圆心到双曲线左顶点的距离为Bb，

则2+α=√3h,(2)

联立①②可得α=l,6=6，

则C=2,

即该双曲线的离心率是:=遍，

故答案为：√3∙

由点到直线的距离公式，结合双曲线离心率的求法求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.

15.【答案】『2彳+2_]

【解析】解：依题意，由Qrι+1为分母，可知当π≥2时，an>0,

则将0n+ι=Sn+ι-Sn代入题干表达式，

51+5n+2

可得一V="÷,

5n+l^~5∏n

即(Sn+1—SrI)(Sn+1÷Sn÷2)=n,

化简整理，可得(S∕+ι+2Sn+ι)—(S^+2Sn)=九，

令bn=S^+2Sn,则%+1-bn=n,

・・•瓦=s；+2S1=ɑɪ+2a1=0,

力2_瓦=1，办3—=2,…,bn—bnτ=九一1,

各项相加，可得勾=0+1+2+∙∙∙+(n-1)=巴展2，

即需+2Sn=笔2

两边同时加1,可得制+2Sn+l="F+1,

即(Sn+I)?=必尹，

VSn≥Of

F=后-L

故答案为：J艺:里_1.

先根据题意将将αn+ι=Sn+1-Sn代入题干表达式，化简整理，可得(S怎1+2Sn+1)-(S^+2Sn)=

n,再构造数列｛%｝,令%=S∕+2Sjl,通过数列｛匕｝的递推公式运用累加法推导出数列｛b｝的通

项公式，再代入垢=S^+2S”进行推导即可计算出Sn的表达式.

本题主要考查由数列递推公式推导出通项公式.考查了整体思想，方程思想，转化与化归思想，

累加法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

16.【答案】解：(1)48的中点M(-l,2),AB的斜率为七B=芈=一1，

-q-/

・•.MN的垂直平分线的方程为y-2=X+1,即％-y+3=0,

联立｛；=匕C。，解得｛；=2、r=d(T-2)2+(2+2)2=5,

・•・圆。的标准方程为：(x+l)2+(y-2)2=25;

(2)V∖PQ∖=6,.∙.圆心到直线1的距离d=Jr2-φ)2=J≡2-(∣×6)2=4.

当过点M(-5,0)的直线I的斜率不存在时，直线方程为X=-5,

圆心到直线距离为4,符合题意，

当过点M(-5,0)的直线，的斜率存在时，直线方程为y=∕c(x+5),

.i+2+5k∣_.

解得k=

•••直线，的方程为3x-4y+15=0,

综上所述：直线方程为3x—4y+15=O或X=—5.

【解析】(1)求得4B的垂直平分线方程，联立方程组可求圆心坐标，进而可求半径，即可求得圆C

的方程；

(2)先求得圆心到直线/的距离，分斜率是否存在求解可得直线方程.

本题考查求圆的方程与直线方程，考查直线与圆的位置关系，属中档题.

17.【答案】解：(1)设数列｛an｝的公差为d,数列｛bn｝的公比为q(q>O),

,

因为匕3+S3=19,a4—2b2=a2

所以瓦∙q2+(ɜɑɪ+—y-∙d)=19,ɑɪ+3d—2b1q=ɑɪ+d>

即q2+(3X3+签∙d)=19,3+3d-2q=3+d,

化简得q2+3d=10,d=q,

解得d=q=2或d=q=一5(舍),

n1n1n1

所以αn=α1+(n—l)d=3+(n-l)×2=2n+l,bn=b1q~=1∙2^=2~.

3572n-l2n+l

⑵Tn/+尹+/+…+产+广'

IT3.5.7,ɪ2n-lɪ2n+l

5〃=尹+/+/+…+尹+丁，

曲才知力£俎IT3l212l.22n+lɔ,C一广刁)2n+lL5÷2n

两式相减倚，-Tn=7+尹+/+…+护•一斤-=3+2X-式-----厂=5-尸-

252π

所以Tn=10-(÷∖

n

⑶C=anan+1=(2n+l)(2n+3)=2(2九+1^2九+3)，

所以Mn=;KAm+焉—焉)]=X9焉)=

【解析】(1)根据等差、等比数列的通项公式或前n项和公式，可得关于公差d和公比q(q＞O)的方

程组，解之，再由等差、等比数列的通项公式，即可得解；

(2)采用错位相减法，即可得解；

(3)采用裂项求和法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，错位相减法,

裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则力(百,一1,0),B(√3,l,0)-C(0,2,0),E(√3,0,0),M(√3,-l,l),N(0,0,1),

所以询=(一ʌ/ɪ,l,l),CE=(√3,-2,0).EM=(0,-1,1)>

设平面MEC的法向量为沅=(x,y,z),则'@=0，βp(λ^x^2y=°,

令y=a，则X=2,z=8，所以沆=(2,√5,遮)，

所以沅•丽=-26+√5+遮=0，即记1而Z，

乂ANU平面MEC,所以AN〃平面MEC.

(2)解：由(1)知，平面EMC的法向量为沅=(2,√5,√5),

同理可得，平面BMC的法向量五=(1,禽,2次)，

设平面EMC与平面BMC的夹角为。，则c°s9=[S＜访,元＞1=磊=剧=曙

故平面EMC与平面BMC夹角的余弦值为曾

40

(3)解：设存在点P满足9=A宿(Ae[0,1])符合题意，则P(√^,-l"),

所以而=(0,1,-A).

由(2)知，平面BMC的法向量元=(L√5,2√5),

因为直线PE与平面MBC所成的角为全

T、.∖PE∙n∖∣√3-2√3λ∣.π√3

所以ICOs<闻，n>∣=j^i===彳,解得;I=_20,1],

√l+λ×4

若不存在点P符合题意.

【解析】(1)以。为坐标原点建立空间直角坐标系，写出向量丽的坐标,求得平面MEC的法向量沆,

证明布•湎=0，即可；

(2)分别求得平面EMC与平面BMC的法向量沅，n,设平面EMC与平面BMC的夹角为仇由cos。=

∣cos<m,fι>∖,得解；

(3)设存在点P满足存=λAM{λ∈[0,1D符合题意，用含力的式子表示点P，由方程IeoS<PE,n>

I=SinE是否有解，即可得解.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量证明线面平行，求线面角、二面角的方法

是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为抛物线y2=一4x的焦点为(-1,0),

又因为椭圆C：盘+∖=l(α>b>0)的左焦点F与抛物线f=—4X的焦点相同，且椭圆C的离心

率为5

所以c=l,e=-a=ɔ2

所以a=2,

所以Z>2=α2—c2=3,

所以椭圆的标准方程为1+4=L

43

(2)根据题意可得直线I的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=∕c%+m,m≠0,

y=kx+m

联立/y2,得(3+4攵2)/+8∕cτnx+4根2—12=0,①

----1----—1

U3

Δ=64fc2m2-4(4fc2+3)(4m2-12)=0,则/=3+4k2,

222

-8km±J(8∕c7n)-4(3+4k)(4τn-12)4k

方程①的解=X2=

Xl2×(3+4∕C2)m

所以XM=_?

-4k2+m2_(3-m2)+m2_ɪ

y=kx+m=k-+m=

MMmmm

因为点M是第二象限点,

f--<0

所以《2巾，解得m>0且k>0,

P>0

Im

直线OM的方程为y=—得”，

因为直线I与y轴交于点N,

所以N(0,m),

又F(-1,O),

所以直线NF的方程为y=m(x+1),

y=m(x+1)4km3τn

联立∙TX解得X=-4km+3'丫4km+3'

4km3m

所以P(-

4km+3'4km+3

因为S2k0Fp=HSAOFN，

所以yp=∣yw>

所以=

4km+37

所以∕cτn=1,

将

入23+2

m=m4fc

所以(442-1)(/+1)=0,

解得忆2=ɪ,

4

因为Zc>0,

所以k=：.

【解析】(1)根据题意可得