2022-2023学年广东省肇庆鼎湖中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省肇庆鼎湖中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数y=2sin（2x-彳）的最小正周期、振幅分别是（）

A.2τι,-2B.Ji,-2C.2π,2D.Ti,2

2.已知向量方=（2,1）I=（L-1），则五+另=（）

A.(3,0)B.(3,1)C.(-1,2)D.(U)

3.Si几45°COSl50—cos450sml50=()

A.-ɪB.-WC.ɪD.W

2222

4.己知COSa+Ssina=0,则tαn2α=()

3333

BC-

-----

A.445D.8

5.已知|引=6,W=3,五∙b=12，向量为在匕方向上的投影是()

A.12B.4C.-8D.2

6.若4(-2,3),B(2,m),C(6,5)为平面直角坐标系的三点，凡4,B,C三点共线，则m=()

A.—4B.4C.—6D.6

7.在△力BC中，。为BC的中点，E为4C边上的点，且荏=3前，则而=()

A.-⅛+⅛B.⅛-⅛C.⅛-⅛D.-⅛+⅛

24232423

Q2∏.1a。C∙u。卜一2tanl3o∣I-COS50。而右,、

o.τχα=-cos60——τ-sm6o*—~~C=——-——，则有()

221+tanlɔY2

A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.（多选）为了得到函数y=cosQx+：）的图象，只要把函数y=CosX图象上所有的点

()

A.向左平移a个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍

B.向左平移泠单位长度,再将横坐标变为原来的;倍

C.横坐标变为原来的劣倍，再向左平移W个单位长度

Zo

D.横坐标变为原来的T倍，再向左平移/个单位长度

10.If易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、

社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)中的正八边形4BCDEFGH,其中。为

正八边形的中心，则下列说法正确的是()

C.OB+OD=∖Γ2OCD.而和CE能构成一组基底

11.已知函数/0)=5也(3%+6(0<3<10),且/©—©=—/。)，则()

A./偿)=0

B./(x)的图象关于直线X=翔称

,

C.若f(%ι)=∕(x2)=O(Xl≠%2)，则Xl-冷是:的整数倍

D./Q)在［0币上不单调

12.已知。是AABC的边BC上的一点(不包含顶点)，且而=X历+y近，则()

A.%+y=1B.%+2y=1

,

C.√-x+yf~y≥√^2D.log2x+l0g2J≤-2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知方=(3,—4),则IEI=.

14.设立与另是两个相等向量，则五一至=.

15.已知/?为锐角，角α的终边经过点(1,2),sin(α+/?)=?,则tαn∕?=.

16.已知3>0,函数/(%)=SMs在(一竽,今上单调递增，则3的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

sin2θ+lI,A「、

证明:.ɔnɪ~=ɔ(tanθ+1).

sm2e+cos20+l2''

18.(本小题12.0分)

已知菱形ABC。的边长为2.

(1)化简向量而+DC+CB-,

(2)求向量而+AD+前的模.

19.(本小题12.0分)

已知I苍|=1,∣κ∣=2,方与B的夹角为。.满足下列条件时，分别求五与B的数量积.

(1)方与E的夹角为30。时；

⑵方〃京

(3)αlK∙

20.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=Asin(ωx+S)Ql>0,ω>0,0<φ<］)的部分图象如图所示，其中/(x)的图

像与X轴的一个交点的横坐标-今

(1)求这个函数的解析式；

(2)求函数/(x)在区间［一方雷］上的最大值和最小值.

21.(本小题12。分)

已知向量日=(2sin(ωx+^),-√^3,),b=(sin(ωx+^),cos2ωx)(ω>0),函数/(χ)=a-b-

1,/(x)的最小正周期为7Γ∙

(1)求f(x)的解析式；

(2)方程f(x)-2τι+l=O在［0,瑞］上有且只有一个解，求实数n的取值范围.

22.(本小题12.0分)

某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米,

沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为7=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号

分别为1~12(可视为点)，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间

为t分钟.

(1)当t=6时，求1号座舱与地面的距离；

(2)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在0≤t≤t0这段时间内，H恰有三次取

得最大值，求%的取值范围.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：函数的周期T=:=兀，振幅a=2,

故选：D.

根据三角函数的周期公式和振幅的定义进行计算即可.

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据周期公式和振幅的定义进行计算是解决本题的关键,

是基础题.

2.【答案】4

【解析】解：∙.∙l=(2,1)I=(I,—1)，

.∙.α+b=(2+1,1-1)=(3,0).

故选：A.

根据向量加法的坐标运算法则求解.

本题主要考查了向量加法的坐标表示，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：sin45ocosl5o-cos45°s讥15°=sin(450—15o)=sin30°=ɪ,

故选：C.

由题意，利用两角差的正弦公式，计算求得结果.

本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，属于基础题.

由题意，先求得tana的值，再利用二倍角的正切公式求解即可.

【解答】

ɪ

解：：cosα+3sinα=O,ʌcosa=-3sina,BPtαnα=--

则tan2a—2，""；=—ɪ

1-tan，4

故选:B.

5.【答案】B

【解析】解：记向量五与石的夹角为。,

所以W在方方向上的投影为：IalCoS<a,b>=IaI∙=⅛=y=4.

故选：B.

根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.

本题考查了投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，若Z(-2,3),B(2,m),C(6,5)为平面直角坐标系的三点，

则须C=案=；'kAB=ʃ`

若三点共线，则有等=；,解可得jn=4.

44

故选:B.

根据题意，由直线的斜率公式可得心C=I^=；,kAB=ʃ,由此可得*=；,解可得m的值,

即可得答案.

本题考查三点共线问题，涉及直线的斜率问题，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解:如图,

•・・D为BC边的中点，CD=^CB=^AB-^ACf

：

.ED=EC+CD=^AC+1AB-IAC=IAB-^AC.

故选：C.

111

可画出图形，根据条件可得出比4-2-2-然后代入前=EC+而进行向量的

数乘运算即可.

本题考查了向量数乘、向量减法和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基

础题.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

由三角函数恒等变换化简可得α=S讥24。，b=S讥26。，C=Sin25。.根据角的范围和正弦函数的单

调性即可比较大小.

本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查.

【解答】

解：∙∙∙a=∣cos6°—ɪsinð0=sin300cos60—cos300sinβ0=sm24°»

2tanl3o

。000

l+tan213°=1：；%；=2sinl3cosl3=sin26,

Il-cos50°l-(l-2sin2250).

72q2

V0°<24°<25°<26°<90°

ʌsin26o>sin25o>Si几24°,

即有：a<c<bf

故选：D.

9.【答案】BC

【解析】

【分析】

由题意利用函数y=Acos(ωx+3)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查函数y=Acos{ωx+¢)的图象变换规律.

【解答】

解：把函数y=Cosx图象上所有的点向左平移压个单位长度，可得y=cos(x+》的图象；

再将横坐标变为原来的T倍，纵坐标不变，可得、=8$(2%+》的图象.

或把函数y=COSX图象上所有的点横坐标变为原来的;倍，纵坐标不变，得到y=cos2x的图象；

再向左平移?个单位长度，可得y=cos(2x+3)的图象.

oq

故选：BC.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于A选项，AT=-EΓ,4选项错误.

对于B选项，OA-ED=J∂-EDDO>B选项正确.

对于C选项，由于八边形4BCDEFGH为正八边形，故NnOB=*且|而I=I而

故9+说沆j,所以选项C正确.

对于。选项，由于而和方不共线，故用和方能构成一组基底，所以。正确.

故选：BCD.

根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判

断和选择.

本题考查平面向量的线性运算，属于中档题.

IL【答案】AD

【解析】解：函数/(x)=Sin(S:+9由于函数满足爬-X)=-/⑶，故函数/(x)关于点弓,0)

对称，

即吟,0)为函数/(x)的对称中心，

即∕G)=sin(∖3+[)=0,整理得13+(=km(k∈Z),故3=6=-1,

OOOOO、/

由于0<3V10,

所以当k=1时，3=5；

所以J(%)=sin(5x+莹)，

对于4和8：当X=泄，/¢)=SinTr=0,故A正确；8错误；

对于C：利用函数的关系式，T=K若/Qi)=/"(%2)=。(XLKX2)，则与—％2是5的整数倍，故

C错误；

对于D：由于xe[0,J故5x+旌有用，则函数在该区间上不单调，故。正确.

故选：AD.

首先利用函数/(x)关于点¢,0)对称求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断

力、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：D是△4BC的边BC上的一点(不包含顶点)，则有丽=4而(0<4<1),

得而一松=2(前一荏)，即而=4近+(1-2)检，

又而=X而+y而，。为BC边上的一点，

可得x+y=l,0<X<1,0<y<1,2yjxy≤x+y=1,xy<ɪ,

所以A正确，B错误；

-2

(√x+y∕~y^)=%+y+2jXy≤x+y+x+y=2,当且仅当X=y=；时等号成立，所以√^X+

y∕~^y≤√-2.C错误；

log2x+log2y=log2(xy)<Iog2ɪ=-2,D正确•

故选：AD.

利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题.

13.【答案】5

【解析】解：∙∙∙N=(3,-4),

ʌIαI=√9+16=5.

故答案为：5.

根据向量苍的坐标即可求出I回的值.

本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】O

【解析】解：,；五=a

.∙.a-b=O∙

故答案为：O.

根据向量减法的三角形法则即可得出1-b=∂.

本题考查了向量减法的三角形法则，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题.

15.【答案】3

【解析】解：已知0为锐角，角α的终边经过点(1,2),

所以：sina=COSa=

由于Sina>cosα,所以.<α<];

且sin(α+0)=?,故α+,为钝角，

cos(ct+β)=~^^γ^,

-

.C.「/I介、I∙Z.n∖,n∖■√2∖Γ~5V-22λ∕^^53√10

sιn∕?=sιn[(α+p)-α]=sιn(α+β)cosa-cos(zα+β)sιna=—X———z(———x)X—z—=，

Xrɔ乙ɔɪU

同理CoSs=喘，

故ta∏β=瑞=3.

故答案为：3.

直接利用三角函数的定义和角的恒等变换以及同角三角函数的关系式的变换求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的角的恒等变换，主要考查学生的理解能力和

计算能力，属于基础题和易错题.

16.【答案】(0,6

【解析】解：∙∙∙3>0，函数/(%)=S讥3X在上单调递增,

:∙ω•(―¾≥—ɔ且3,?≤求得O<ω≤ɔ

故答案为：(0,乱

由题意利用正弦函数的增区间，求得3的取值范围.

本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题.

17.【答案】证明：由二倍角公式sin26=2sinθcosθ,cos2θ=cos2θ—sin2θW2⅛sin2θ+cos2θ=1

可得sbι26+l_2si，ecose+sin2e+cos2g_(SiTI8+COS6)2_si兀6+cos∙_1(Sinecosθ._

'sizι2J+cos26+l2sinθcosθ+2cos2θ2cosθ{sinθ+cosθ')2cosθ21CoSeCOSe)

-1

-(tanθ+1),得证.

【解析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明.

本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系，属于基础题.

18.【答案】解：(I)AD+DC+CB=AC+CB=AB：

(2)由向量的平行四边形法则与三角形法则，

[AB+AD+CD∖=[AC+CDI=∣ADI=2.

【解析】(1)根据平面向量的线性运算求解即可；

(2)根据平面向量的平行四边形法则与三角形法则化简求解即可.

本题主要考查向量的线性运算，属于基础题.

19.【答案】解:(1)若建与胃的夹角为30。时,n-b=∖a∖∖b∖cos300=y∏^

(2)若方〃方时，若两向量同向，则其夹角为0。，此时，a-b=∣α∣∙∣h∣∙cos0o=2;

若两向量反向，则其夹角为180。，此时N∙B=I矶∙∣B∣∙cosl8(Γ=-2∙

(3)若五IE时，则其夹角为90。时，α∙h=∣α∣∙∣K∣∙cos90o=0∙

【解析】(1)(2)(3)均利用数量积公式计算即可∙

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

20.【答案】解：⑴由图知4=2,合(一m=R%

.∙.T=π,.∙.ω=γ=2,∕φ=2sin(2∙∣+φ)=2,则SinG+¢)=1,

又0<3<],.∙.W=今

■■/(x)=2sin(2x+^)；

-

(2)x∈“2x+O∈[-ɪO,?O],/(x)=[-2,√3].

∙∙∙/(x)在区间[-9刍上的最大值是，？，最小值是-2.

【解析】(1)根据函数图象可得4及周期，即可求出3,再利用待定系数法求出9即可;

(2)根据正弦函数的性质由整体代换法求解.

本题考查由y=Asin(^ωx+租)的部分图象确定其解析式，属于中档题.

21.【答案】解：(l)∕(x)=a-b-l=2sin∖ωx+J)-√3cos2ωx-1

=sin2ωx—y∕-3cos2ωx=2sin(2ωx—号),

∙∙∙∕(x)的最小正周期为τr,

.∙∙2ω=­π=2>

ʌω=1,

・•・f(x)=2sin(2x一.

(2)•；方程/(x)-2n+1=0与y=In-1在[0,段]上有且仅有1个解，

；・函数y=f(x)与y=2n-1在[0,居]的图象只有1个交点，

∙∙∙χ∈[o,g].

.πo5π

^^~3≤2vx~3≤τ^

当X∈[0,驾]时,F(X)单调递增;当Xe楞,5时，/(X)单调递减，

∙.∙∕(0)=-√3,/(§)=2,/借)=1，

若要使y=/(%)与y=2n-1只有1个交点，

则一/3≤2n—1<1或2n—1=2,

解得S≤Tl<1或n=*

【解析】(1)利用向量的数量积运算得到f(%)=2sin(23X-》再根据周期求出3即可；

(2)将问题转化为函数y=