中考数学：一元二次方程根与系数的关系大题练习真题+模拟（解析版北京）

中考数学一元二次方程根与系数的关系大题专练

【方法归纳】

¥1考查年份考查频率

一元二次方程根与系数的关系2021、2019、2018、2017、2016、2014、十年7考

（大题）2013

一元二次方程根与系数的关系是北京中考的常考大题之一，主要涉及根的判别式和根与

系数的关系

根的判别式：

一般地，式子b2-4αc叫做方程ax'+bx+c=O（α≠0）

根的判别式

根的判别式，通常用希腊字母△表示，即A=^-4°c

方程ax2+bx+c=O(a^0)有两个不相等的实数根,即

Δ>O

-b+∙Jb2—Aac

X=---------------

根的情况2a

与判别式

方程α^+bx+c=0（αHO）有两个相等的实数根，即

的关系Δ=O

b

…=F________________________________________

Δ<0方程αx2+hx+c=O（α≠0）没有实数根

根与系数的关系：

1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果α√+bx+c=O（α≠O）的两个实数根是可，%,那么不+苍=-&,∖xt=-.

33

推论1:如果方程发+m+。=0的两个根是可,看,那么可+与=-P,x%=q.

推论2：以两个数芥,显为根的一元二;欠方程（二;欠项系数为1）是V-a+与）χ+襁=0.

2、的

运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、C

的值.

3、利用一元二次方程根与系数的关系求关于可、号的代数式的值时,关键是把所给的代数式经过恒等

变形,化为含4+题,可有的形式,然后把苏+刍,4褥的值整体代入，即可求出所求代数式的值.

【典例剖析】

【例1】（2021•北京•中考真题）已知关于X的一元二次方程--4mx+3πι2=o.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

【答案】（1）见详解；（2）m=1

【解析】

【分析】

1/27

(I)由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

(2)设关于％的一元二次方程/-4mx+362=O的两实数根为%i，%2，然后根据一元二次

方程根与系数的关系可得%ι+%2=4m,%ι∙%2=3τn2,进而可得(与一冷尸=4,最后利用

完全平方公式代入求解即可.

【详解】

(1)证明：由题意得：Q=Lb=—4m,c=3m?,

∙∙Δ=b2-4ac=16τn2—4×1×3m2=4m2,

Vm2≥O,

∙'∙Δ=4m2≥O,

・•・该方程总有两个实数根；

(2)解：设关于%的一元二次方程/-4mx+3r∏2=O的两实数根为则有：/+与=

2

4m,x1∙x2=3mf

丁氏-X2I=2,

2χχ222

-*-(x1—x2)=(ι+z)-4X1X2=16m—12m=4,

解得：m=±1,

Vm>0,

.,.m=1.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别

式及根与系数的关系是解题的关键.

【真题再现】

1.(2013•北京•中考真题)已知关于X的一元二次方程/+2x+2∕c-4=O有两个不相等的

实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求A的值.

【答案】⑴⅛<∣;(2)2

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于O列出关于k的不等式，

求出不等式的解集即可得到k的范围；

(2)找出大范围中的整数解确定出&的值，经检验即可得到满足题意&的值.

【详解】

解：(1)Y关于X的一元二次方程产+2%+2k-4=O有两个不相等的实数根，

2/27

ΛΔ=22-4（2k-4）=20-8/c>O.

解得：⅛<∣;

（2）:N为正整数，

Λ⅛=l或2.

当上1时，方程为/+2X-2=0,两根为X=二铲=一1±我，非整数，不合题意；

当上2时，方程为M+2κ=0,两根为x=0或X=-2,都是整数，符合题意.

的值为2.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与

根的关系是解答的关键.

2.（2014•北京・中考真题）已知关于X的方程∕nr2-（成+2）x+2=0（/"≠0）.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数，〃的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）正整数，〃的值为1或2

【解析】

【分析】

（1）先计算判别式的值得到A=（m+2）2-4m×2=（m-2）2.再根据非负数的值

得到A≥0,然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解方程得到x∕=l,X2=3,然后利用整数的整除性确定正整数W的值.

m

【详解】

（1）证明：•，%和，A=（Zn+2）-4m×2

=nι2-4∕π+4

=-2）2,

而（∕n-2）2>0,B∣J∆≥0,

・・・方程总有两个实数根；

（2）解：（X-I）（mx-2）=0,

X-1=0或nix-2=0,

・

..x∕=1l,X2=2-,

当，W为正整数1或2时，X2为整数，

即方程的两个实数根都是整数，

.∙.正整数m的值为1或2.

3.（2016•北京•中考真题）关于X的一元二次方程f+（2根+1）彳+m2-1=0有两个不相等的

实数根.

3/27

(ɪ)求加的取值范围；

(2)写出一个满足条件的机的值，并求此时方程的根.

【答案】(1)(2)X∕=O,X2=-3.

【解析】

【分析】

(I)由方程有两个不相等的实数根即可得出△>(),代入数据即可得出关于的一元一次

不等式，解不等式即可得出结论；

(2)结合(1)结论，令加=1,将，”=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论.

【详解】

(I)；关于X的一元二次方程/+(2m+∖)x+m2-1=0有两个不相等的实数根，

Λ∆=(2m+I)2-4×1×(m2—l)=4∕n+5>0>

解得：，〃>一3；

(2)W=I,此时原方程为/+3产0,

即X(X+3)=0,

解得：x1=0,X2=-3.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算.

4.(2018・北京•中考真题)关于X的一元二次方程加+bx+l=O.

(1)当3=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的4,6的值，并求此时方程的根.

【答案】(1)方程有两个不相等的实数根；(2)b=-2,a=∖时，x∕=x2=-I.

【解析】

【分析】

(1)求出根的判别式A=b2-4ac,判断其范围，即可判断方程根的情况.

(2)方程有两个相等的实数根，则A=b2-4αc=0,写出一组满足条件的α,b的值即可.

【详解】

(1)解：由题意：α片0.

*.,Δ=b2—4αc=(α+2)2-4α=α2+4>0.

/.原方程有两个不相等的实数根.

(2)答案不唯一，满足炉一4。7=0(ɑ≠0)即可，例如：

解：令a=l,b=—2,则原方程为/—2x+1=0,

解得：x1=X2=1.

【点睛】

考查一元二次方程a/+bx+c=0(a≠0)根的判别式A=b2-4ac,

4/27

当A=-4ac>O时，方程有两个不相等的实数根.

当A=/-4ac=O时，方程有两个相等的实数根.

当A=扭_4ac<0时，方程没有实数根.

5.(2019.北京•中考真题)关于X的方程/-2χ+2τn-1=0有实数根，且m为正整数,

求m的值及此时方程的根.

【答案】m=1,此时方程的根为/=x2=l

【解析】

【分析】

直接利用根的判别式ZK)得出m的取值范围进而解方程得出答案.

【详解】

解：Y关于X的方程x2-2x+2m-l=0有实数根，

.∙.b2-4ac=4-4(2m-l)>0,

解得：m<l,

：m为正整数，

m=I,

此时二次方程为：x2-2x+l=0,

则(x-l)2=0,

解得：X1=X2=1.

【点睛】

此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键.

6.(2017.北京.中考真题)已知关于X的方程/一(k+3)x+2/c+2=O

(1)求证：方程总有两个实数根

(2)若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围

【答案】(1)证明见解析；(2)-l<k<0

【解析】

【分析】

(1)证出根的判别式4=b2-4αc>。即可完成；

(2)将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.

【详解】

(I)证明：a=l,b=—(k+3),c=2k+2

∆=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2∕c+2)=J⅛2-2/c+1=(∕c-I)2>0

；•方程总有两个实数根

(2)X2—(⅛+3)x+2fc+2=0

._k+3±(k-l)

5/27

•∙=k+1,%2=2

∙.∙方程有一个小于1的正根

∙,.O</c+1<1

Λ-l<k<0

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关

键.

L模拟精练】

一、解答题

1.(2022∙北京四中模拟预测)已知关于X的一元二次方程mx2-(2m+l)x+m+2=O

(1)若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)当x1∙X2=O时，求方程的两个根

【答案】⑴，”的取值范围为且〃印0;

4

(2)x∕=O,X2=∣.

【解析】

【分析】

(1)利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，WO且A=(2,/7+1)2-4∕n(m+2)

>0,然后求出两不等式的公共部分即可：

(2)利用根与系数的关系解得〃?=-2,解方程即可求解.

(1)

解：根据题意得"#0且/=(2m+1)2-4ιn(m+2)>0,

解得且∕M≠0,

所以，〃的取值范围为∕n<⅛m≠0∙,

4

(2)

解：Vx1∙X2=0,

.m+2

..-----=On,

m

解得加入2,

原方程为m/—(2m+l)x÷m+2=0∏P-2x2+3.r=0,

解得：X∕=0,X2=∣.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若X∕,X2是一元

二次方程ɑʃ2+云+uθ(a≠0)的两根时，xι+x2=--x1x2=-∙

afQ

2.(2022.北京•二模)已知关于X的一元二次方程/+以一5=0.

6/27

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是1,求方程另一个根.

【答案】(1)见解析

⑵-5

【解析】

【分析】

(D只需证明根的判别式a>o即可.

(2)设另一个根为石，利用根与系数关系定理，XIXI=-5,计算即可.

(1)

∙.”2+以—5=0中，α=l,b-a,c=-5,

∙,.Δ=⅛2—4ac_a2+20>0,

.∙.方程总有两个不相等的实数根.

(2)

设另一个根为匕，

Vx2+ax—5=0,

••%】XI=-5,

解得XI=-5,

故方程另一个根为-5.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理,熟练掌握并灵活应用两个定理是

解题的关键.

3.(2022∙北京市H—学校模拟预测)已知关于X的一元二次方程m/+(2m+I)X+m+2=

0有两个不相等的实数根%,x2.

(1)求m的取值范围；

(2)若%•*2=0,求方程的两个根.

【答案】且m≠°

3

(2)Xι=0,X2=--

【解析】

【分析】

(1)根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,从

而到关于Tn的不等式，求出Zn的范围即可；

(2)利用根与系数的关系可得匕•血=管，根据Xi∙%2=0可得关于他的方程，整理后即

可解出m的值，最后求出方程的根.

(1)

7/27

解：•・•关于X的一元二次方程m/4-(2m÷l)%+m+2=O有两个不相等的实数根，

O且In≠0,

即(2τn+I)2—4×m×(m÷2)>0且m≠0,

解得：m<；且血≠0.

(2)

；关于刀的一元二次方程m/+(2m÷l)x+m+2=0有两个不相等的实数根X2»

・m+2

=-

.∙X1∙X2丁，

•ɪɪ"%2=0，

・m+2n

m

解得：m=-2,

经检验：m=-2是分式方程的解，

，当m=—2时，方程为：—2%2—3%=0,

解得：Xi=0,X2=

【点睛】

本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识.关键是掌握

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(】)△>00方程有两个不相等的实数根：⑵4=

0=方程有两个相等的实数根；闭4<0=方程没有实数根.以及根与系数的关系：Xi,血是

一元二次方程a/+∕jχ+c=θ(ɑ≠0)的两根时，Xi+x2=-ɔX1-X2=

4.(2022・北京大兴•一模)已知关于X的方程/-2mx+m?一9=0.

(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为%,x2,若匕+必=6,求，"的值.

【答案】(1)见解析

(2)3

【解析】

【分析】

(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出/>0,由此可证出此方程有两个不相等的

实数根；

(2)利用根与系数的关系可得巧+冷=2m即可找出关于，”的一元一次方程，解之即可得

出结论.

(1)

根据题意可知：A=(2m)2-4(m2-9)=36>0,

方程有两个不相等的实数根；

(2)

8/27

有题意得：x1+x2=2m

x1+x2=2m=6,解得nɪ=3

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系

的表达式，并会熟练计算.

5.(2022•北京朝阳•一模)已知关于X的一元二次方程--ax+a-1=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求“的值.

【答案】(1)见解析

(2)。的值为3

【解析】

【分析】

(1)根据一元二次方程ax?+bx+c=0(α≠0),根的判别式为△=△=b2-4ac,进行化

简即可证明；

(2)根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案.

(1)

证明：△=(—α)2—4(α—1)——CL^—4cι+4=(α—2)?,

∙.∙(α-2)2≥0,

该方程总有两个实数根.

(2)

解：设该方程的一个根为片,则另外一个根为2X/,

则想最嘲

由①得XI=

代入②可得：2α2-9α+9=0,

解之得%=3,a2-|,

又因为该方程的两个实数根都是整数，

所以a=3.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题

的关键.

6.(2022∙北京市三帆中学模拟预测)关于X的一元二次方程/+(k-2)χ+k-3=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根大于0,求k的取值范围.

9/27

【答案】(1)见解析

(2)⅛<3

【解析】

【分析】

(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得A=(fc-4)2≥0,由此可证出方程总有两个实

数根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出Xl=-1,x2=3-k,根据方程有一根大于

0,即可得出关于&的一元一次不等式，解之即可得出&的取值范围.

(1)

证明：：在方程χ2+(k-2)x+k-3=0中，

ΛΔ=(Ji-2)2-4(fc-3)=(k—4)2≥0,

•••方程总有两个实数根；

(2)

解:Vx2+(Λ-2)x+k-3=0,

•∙ɪɪ=-1,%2=3-Zc,

；方程有一根大于0，

：.3—k>0,

解得：k<3,

.∙.k的取值范围为k<3.

【点睛】

本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式,解题的关键是:(1)

牢记“当A20时，方程有两个实数根”；(2)利用公式法解一元二次方程结合方程一根大于

0,找出关于左的一元一次不等式.

7.(2021•北京•一模)已知，关于X的一元二次方程—+αx—α-1=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个根是负数，求ɑ的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)a>-l

【解析】

【分析】

(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△》()，根据判别式的意义即可证明；

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得出-a-140,解不等式求得a的取值范围即可.

【详解】

(1)证明：,••△=a2—4×(—a—1)=(a+2)2≥0,

无论a为何值，方程总有两个实数根；

10/27

(2)'."x2+ax-a—1=O,

∙".(x-l)(x+1+a)=0»

x1=1,x2=-a—1,

∙∙∙方程有一个根是负数，

-CL—1<0,

解得，α>—1.

α的取值范围为α>-L

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，熟记一元二次方程的求根公

式是解题的关键.

8.（2022北京顺义•一模）已知关于X的一元二次方程/+bx-3=0.

（I）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是1,求方程的另一个根.

【答案】（1）证明见解析；（2）该方程的另一个根式-3.

【解析】

【分析】

（1）判断4>0即可证明；

（2）根据韦达定理即可得出另一根.

【详解】

解：（I）A=〃-4-ac=b2—4×1×（—3）=4+12,

,."b2≥0,

：.A=h2+12≥12>0,

.∙.方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为X,则

1-X==-3,解得χ=-3,

故该方程的另一个根式-3.

【点睛】

本题考查根的判别式和根与系数关系.（1）中掌握4的正负与一元二次方程之间的关系是解

题关键；（2）熟记韦达定理是解题关键.

9.（2020.北京市三帆中学模拟预测）已知关于X的一元二次方程/+（α+l）x+α=0.

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的α的值，并求此时方程的根.

【答案】⑴证明见详解；（答案不唯一）.

（2）a=0,x∣=0,x2=-l

【解析】

11/27

【分析】

(1)根据判别式的值△=(&-1)2≥0,可判断方程总有两个的实数根；

(2)令α=O,方程化为/+χ=0,然后利用因式分解法解方程即可.

【详解】

(1)证明:'.^Δ=(α+I)2—4×l×a=(a-I)2≥0,

方程总有两个实数根：

(2)解：如果此方程有两个不相等的实数根时，

即：(a-1)2>0,

.".a≠1

.".当a=O时，方程化为/+%=0,

解得Xl=O,X2=-l.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的根与4=b2-4ac有如下关系:

当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=()时，方程有两个相等的两个实数根;

当△<()时，方程无实数根.

10.(2020•北京海淀•二模)已知关于X的一元二次方程/-2x+n=0.

(I)如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；

(2)如果此方程有一个实数根为0,求另外一个实数根.

【答案】(I)n=1.(2)2.

【解析】

【分析】

(1)根据根的判别式△=()列出关于n的方程，通过解方程即可求得n的值；

(2)设方程的另一个实数为X2,再根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.

【详解】

(1)：原方程有两个相等实数根，

.,.Δ=0.

即(—2)2—4n=0.

∙∙Tl=ɪ.

(2)∙.∙原方程有一个实数根为0,设方程的另一个实数为X2,

.,.0+X2=2.

∙∙.X2=2,即另一个根为2.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系.在利用根与系数的关系公式X∣X2=?X∣+X2=3时,

一定要弄清楚公式中a、b、C所表示的意义∙

12/27

11.(2022∙北京.模拟预测)已知关于X的一元二次方程%2—3%+(血+1)=0有两个不相等

的实数根.

(I)求相的取值范围；

(2)如果初是非负整数，且该方程的根是整数，求〃，的值.

【答案】(1)m<^(2)τn=1.

4

【解析】

【分析】

(I)根据题意求出△,根据方程两个不相等的实数根列出关于m的不等式，即不等式得到

答案；

(2)由题意根据非负整数的概念得到m=0或1,把m=0或I代入方程，解方程即可求出答

案.

【详解】

解：(1)由题意得4=(-3)2—4X1X(τn+1)=9—4m—4=5-4m>0,

解得m<ɪ.

4

(2)为非负整数，

∙"∙m=0sfcm=1.

：该方程的根是整数，

当m=O时，原方程化为χJ3x+l=0,该方程的根不是整数，故舍去，

m=1.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△>()时，方程有两

个不相等的两个实数根时，△>()是解题的关键.

12.(2021•北京四中模拟预测)如果关于％的一元二次方程α∕+b%+c=0有两个实数根,

且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一

般性结论：设其中一根为3则另一个根为23因此ɑ/+以+c=α(x-t)(x-2t)=αx2-

3atx+2t2a,所以有炉—∣αc=0；我们记“K=b2—；ac”即K=0时，方程ax?+bx+c=0

为倍根方程；

下面我们根据此结论来解决问题：

(1)方程①2/一3x+1=0；方程②/一2χ-8=0；方程③M+x=这几个方程中，

是倍根方程的是(填序号即可)；

(2)若(久一l)(mx-n)=0是倍根方程，则曰的值为；

【答案】(1)①、③；(2)2=4或名=1

mm

【解析】

13/27

【分析】

(1)根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论；

(2)将方程(X-I)(mx-n)=O整理成一般式，再根据“倍根方程’'的定义，当K=0,整理

后即可得出巴的值；

m

【详解】

解：⑴φV2x2-3x+l=0

：.K=b2-∣αc=(-3)2-∣×2×l=0

；•①是倍根方程；

②χ2-2x-8=0

：.K=∂2-∣αc=(-2)2-^×1X(-8)≠0

•••②不是倍根方程；

③/+x=_|,χ2+χ+∣=0

K=b2--ac=12--×1×2=0

：・229

・•・③是倍根方程：

故答案为：①、③；

(2)Y(%-l)(mx-九)=0是倍根方程，

Λmx2—(m+n)x^,n=O

：・K=ð2—Iac=(m+九)2.gmn=O

解得：

=4或2=1

mm

故答案为：-=4或空=1

mm

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义

是解题的关键.本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握“倍

根方程”的定义是解题的关键.

13.(2020•北京•北理工附中三模)已知关于X的方程/+2x+m-2=0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数Tn的取值范围：

(2)当该方程的一个根为-3时，求m的值及方程的另一根.

【答案】(1)m<3：(2)m的值是-1,该方程的另一根为1.

【解析】

【分析】

(I)根据4=炉一4ac>O计算即可得出答案；

14/27

(2)利用一元二次方程根与系数的关系可得/+次=-2,%&=巾-2,先根据一个根为

-3,求出另一个根，再根据两根之积即可求出m的值.

【详解】

解：(1)》2-4αc=22—4×1×(τn—2)=12—4τn>0,

解得：m<3.

(2)由一元二次方程根与系数的关系可得/+x2=-2,x1x2=m-2,

：该方程的一个根为-3,

，另一个根为-2-(―3)=1,

m—2=1×(—3),

解得=—1,

.∙∙τn的值是-1,该方程的另一根为1.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式

以及根与系数的关系是解题的关键.

14.(2022•北京十一学校一分校模拟预测)关于X的一元二次方程M—6n+3)χ+m+

2=0.

(1).求证：方程总有两个实数根；

(2).若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)-1.

【解析】

【分析】

(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；

(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得Xl=llx2=a+l,再根据题意两个根都是正

整数，从而可以确定”的取值范围，即可求出”的最小值.

【详解】

(1)证明：依题意得：

Δ=fe2-4αc=[—(a+2)]2—4(a+1)

=a2+4ct+4—4a—4

=a2,

∙.∙a2>0,

ΛΔ≥0.

.∙.方程总有两个实数根；

(2)由/一(a+2)x+a+1=0,

可化为:(x-l)[x-(a+1)]=0

15/27

得XI=l,x2=a+1,

V方程的两个实数根都是正整数，

：.a+1≥1.

.^.α≥O.

.∙∙”的最小值为0.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方

程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根

或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.

15.(2022•北京东城•二模)已知关于X的一元二次方程/一2依+1-1=0.

(1)不解方程，判断此方程根的情况；

(2)若X=2是该方程的一个根，求代数式一21+8k+5的值.

【答案】(1)有两个不相等的实数根

(2)11

【解析】

【分析】

(1)利用根的判别式A=⅛2-44c判断即可.

(2)将X=-I代入一元二次方程/-2fcr+R-1=0,整理得F-4⅛=-3,再将-2∕+8k+5变形为-2(k2-4k)

+5,代入求值即可.

(1)

解：∙.∙Δ=⅛2-4αc=(-2⅛)2-4(⅛2-l)=4⅛2-4⅛2+4=4>0,

.∙.此一元二次方程有两个不相等的实数根.

(2)

将x=2代入一元二次方程Λ2-2AΛ+⅛2-1=0,

得4-4%+⅛2-1=0,

整理得R-4Q3,

.∙.-2⅛2+8⅛+5

=-2(户4)+5

=-2×(-3)+5

=11.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当A=∕∙4αc>0时，一元二

次方程有两个不相等的实数根：当A=∕-4αc∙=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

A=ZA4αc<0时，一元二次方程无实数根.

16/27

16.(2022.北京密云•二模)已知关于X的一元二次方程/+(2k-l)χ+k2-k=o.

(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)如果方程有一个根为0,求欠的值.

【答案】(1)证明见解析

(2■的值为。或1

【解析】

【分析】

(1)求出A=b2-4αc的值，再与0作比较，由于A=I>0,从而证出方程有两个不相等

的实数根；

(2)将X=O代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出Zc的值.

(1)

证明：Vα=l,b=(24一1),c^k2-k,

∙'∙Δ=b2-4ac-(2k—I)2—4(∕c2—fc)=1>0.

方程有两个不相等的实数根.

(2)

解：将40代入原方程，得/-Zc=O,

解得kι=0,fcz=l.

二女的值为0或1.

【点睛】

本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(D求出A=b2-4ɑc的值；

(2)代入x=0得出关于々的一元二次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目

时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键.

17.(2022・北京门头沟•二模)已知关于X的二次方程山/一(2加一3次+(η-1)=0有两

个不相等的实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)如果m为正整数，求此方程的根.

Q

【答案】(l)m<9且mH0;

O

(2)x∕=0,X2--1

【解析】

【分析】

(I)由方程有两个不相等的实数根得到△>()，利用公式求出，〃的取值范围：

(2)由(1)及，”为正整数，可得m=l,利用因式分解法解方程即可.

(1)

解：∙.∙关于X的二次方程m/一(2m-3)x+(M-1)=0有两个不相等的实数根，

17/27

ΛΔ>O,

ʌ[—(2m-3)]2—4τn(m—1)>0,

解得zn<，；

O

Vm≠0,

∙'∙m<≠0；

8

(2)

∙.∙τn<⅛Uz≠O,，”为正整数，

O

.'.m=∖,

，该方程为/+X=0,

解得X∕=O,X2=-l.

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元二次方程，正确掌握一元二次

方程根的判别式与根的情况是解题的关键.

18.(2022•北京昌平•二模)己知关于工的一元二次方程/+4x+k=0有两个不相等的实数

根，写出一个满足条件k的值，并求此时方程的根.

【答案】当:0时，xl=0,X2=-4(答案不唯一)

【解析】

【分析】

先求出b2-4ac,再根据∕A4αc>0求出％的取值范围，然后写出一个，并求出方程的根即可.

【详解】

关于X的一元二次方程x2+4x+k=0有两个不相等的实数根，

.*.h2-4ac=42-4×k>0.

即k<4.

当k-0时，Λ2+4X=0,

解得x∕=0,X2=-4.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当〃-44c>0时，一元二次方程〃K+hx+r=0

有两个不相等的实数根.

2

19.(2022•北京海淀.二模)关于X的方程42一(2巾+I)X+m=0有两个不相等的实数根.

(1)求”的取值范围；

(2)当"2取最小的整数时，求此时的方程的根.

【答案】⑴m>-：

=

(2)方程的根为％=0,X21

18/27

【解析】

【分析】

(I)由题意得A=(2τn+l)2-4m2>0,解出，〃的范围即可；

(2)根据第(1)问m的范围求出m的最小整数值，然后将m的值代入方程，解方程即可.

(ɪ)

解：•••关于X的方程/—(2τn+l)χ+m2=O有两个不相等的实数根.

其根的判别式A=(2m+I)2-4m2=4m+1>O.

.、1

∙∙m>-√

(2)

解：∙.∙∕n>-;且〃，为最小的整数，

∙∙m=0.

此时方程为一一X=0.

，方程的根为Xl=0,X2=1-

【点睛】

本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：(I)牢记“一元二次方程，当根

的判别式△>()时，方程有两个不相等的实数根“；(2)代入〃?的值，利用因式分解法求出一

元二次方程的解.

20.(2022•北京东城♦一模)已知关于X的一元二次方程--2x+k-2=0有两个不相等的

实数根.

(1)求％的取值范围；

(2)若左为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根.

【答案】(I)A<3

(2)⅛=2,方程的两个根为XI=0,X2=2

【解析】

【分析】

(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到A=(-2)2-4(k-2)>0,解不等式即可求得;

(2)首先根据(I)可知，我的值只能是I或2,分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均

为整数，即可解答.

(1)

解：•••关于X的一元二次方程/一2x+k-2=0有两个不相等的实数根

.∙.Δ=(-2)2-4(⅛-2)>0

解得k<3

故女的取值范围为k<3

(2)

19/27

解：∙.∙k<3且&为正整数

M的值只能是1或2

当⅛=1时，方程为/—2x—1=O

解得X=2±"-2)j4x(T)=1±V2

•••方程的两个根均为整数

.M=I不合题意，舍去

当k=2时，方程为--2x=O

解得Xl=O,X2=2

方程的两个根均为整数，符合题意

故七2,方程的两个根为Xl=0,X2=2

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法,熟练掌握和运用一元二次方

程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键.

21.(2022•北京市十一学校二模)己知关于X的方程(1-2&2一2%+1=0有两个实数根.

(1)求/的取值范围；

(2)当后取最大整数时，求此时方程的根.

【答案】(∣)k≤3且k≠2

(2)x1=X2=I

【解析】

【分析】

(1)根据二次项系数非零及根的判别式A≥0,即可得出关于k的一元一次不等式组，解之

即可得出k的取值范围；

(2)由(1)中k的取值范围得出符合条件的4的最大整数值，代入原方程，利用因式分解

法即可求出X的值.

(1)

解：(1)关于无的方程(k-2)x2-2x+l=O有两个实数根，

(k-2≠0

λt(-2)2—4(k—2)X1≥O'

解得：k<3且/c≠2；

(2)

解：当Zc=3时，方程为：X2—2x+1=0,即(x—1)2=0,

解得：x1=X2=1-

【点睛】

本题考查了一元二次方程ɑ/+bx+c=0(α≠0)的根的判别式A=b2-4ac：当A>0,方

程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根，

20/27

掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键.

22.(2022•北京石景山•一•模)已知：关于X的一元二次方程产-2mx+τ∏2-1=0.

(1)求证：不论相取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解.

【答案】(1)证明过程见详解

(2)X]=1,%2=-L(答案不唯一)

【解析】

【分析】

(1)求出方程的判别式即可证明；

(2)的值越简单越好，令他=0,即可求解.

(1)

证明：

方程的判别式A=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0.

.∙.方程总有两个不相等的实数根；

(2)

令》1=0,则方程变为1=0,

解得Xl=1,%2=-1・(答案不唯一)

【点睛】

本题主要考查了利用方程的判别式证明方程恒有两个不相等的实数解,解题的关键是正确求

出方程的判别式为正数是解答本题的关键.

23.(2022•北京丰台•一模)已知关于X的一元二次方程/-(m+2)x+m+∖=O.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根互为相反数，求”的值.

【答案】⑴见解析

(2)m=-2

【解析】

【分析】

(I)先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断AK),然后根据根的判别式的意义

得到结论；

(2)根据根与系数的关系得到x,+X2=m+2,则由方程的两个实数根互为相反数得到m+2=

0,然后解得〃7的值即可.

(1)

证明：,；△=[-(ffl+2)]2-4(m+1)="P+4∕"+4-4，”一4

=wz2≥0,

21/27

.∙.无论/n取何值，此方程总有两个实数根；

(2)

解：根据题意得X∕+X2="7+2,

：方程的两个实数根互为相反数，

.'.m+2=0,

解得m=-2,

即m的值为-2.

【点睛】

此题考查了根与系数的关系及根的判别式，X/,X2是一元二次方程0r2+bx+c=O(α≠0)的两

根，则X∕+X2=-Sx∕X2=⅛,根据方程的两个实数根互为相反数列式是解题的关键.

αɑ

24.(2022∙北京市燕山教研中心一模)已知关于X的方程/+2x+k=0总有两个不相等的

实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)写出一个k的值，并求此时方程的根.

【答案】⑴k<1

(2)答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】

(1)根据根的判别式A>0,求出k的取值范围；

(2)根据(1)中的k的取值范围，代入符合要求的我值，进而求解.

(1)

解：；方程总有两个不相等的实数根，

ΛΔ=22-4×1×∕c

=4—4⅛>0,

：.k<1,

•••/的取值范围是k<1：

(2)

答案不唯一

例如：k=。时，方程可化为M+2x=0

x(x+2)=0

•∙X1=0,X2~-2

【点睛】

本题考查由根的判别式求参数的取值范围，涉及的知识点有一元一次不等式，解一元二次方

程，正确地计算是解题的关键.

22/27

25.(2022.北京.中国人民大学附属中学分校一模)关于X的一元二次方程χ2-2x+3m-

2=0有实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若方程有一根为4,求方程的另一根.

【答案】(l)mW1

⑵-2

【解析】

【分析】

(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于〃?的一元一次不等式，解之即可得出，”

的取值范围；

(2)将x=4代入原方程求出值，再将桁的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次

方程，即可得出方程的另一个根.

(1)

解：关于X的一元二次方程χ2-2%+3m-2=。有实数根，

，其根的判别式A≥0,即(一2)2-4(3Jn-2)≥0,

解得：m≤1.

(2)

解：将X=4代入——2x+3m-2=0,得：42-2×4+3m—2=0.

解得：m=-2,

该一元二次方程为/-2x-8=0.

即(X—4)(x+2)=0,

∙*∙x1=4,X2=-2,

方程的另一根为-2.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程.(1)掌握“当

一元二次方程有实数根时，根的判别式A=b2-4ac≥0”是关键；(2)理解一元二次方程

的解的定义和解一元二次方程的方法是关键.

26.(2022.北京顺义.•一模)已知关于X的一元二次方程TnX2—(2m—l)x+τn—2=0有两

个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根.

[^](l)m>-i⅛≠0

(2)另一个根为,

【解析】

23/27

【分析】

(1)由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可.

(2)将尸0代入原方程，求出如再解方程即可.

(1)

解：∙.∙∏ι%2_(2m-l)χ+m-2=O是一元二次方程，

ʌm≠O,

;一元二次方程m/一(2m-I)X÷m-2=O有两个不相等的实数，

.・・Δ=62-4αc>0,

即：[―(2m—