2023-2024学年河北省石家庄市高二年级下册开学考试数学试题1（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄市高二下册开学考试数学试题

一、单选题

1.双曲线V=ι的焦点坐标是

A.(-√2,θ),(√2,θ)B.(-2,0),(2,0)

C.(θ,-√2),(θ,√2)D.(0,-2),(0,2)

【正确答案】B

【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据/=/+〃求焦点坐标.

【详解】因为双曲线方程为二-y2=1,所以焦点坐标可设为(±c,0),

3

因为/=/+/=3+l=4,c=2,所以焦点坐标为(？20),选B.

22

由双曲线方程?=1(。>0/>0)可得焦点坐标为(±c,0)(c=√α+⅛)，顶点坐标为(±〃，0),

b

渐近线方程为y=±-χ∙

a

22

2.如果方程上一+二=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数W的取值范围是

4-m〃z-3

777

A.3<m<4B.m>—C.3<m<-D.—<∕π<4

222

【正确答案】D

［分析】由椭圆的标准方程特征即可得到m-3>4-m>0,进而可求解.

7

【详解】由椭圆方程可知机-3>4-机>0,.∙.χ<∕n<4.

2

故选:D

3.己知正项等比数列｛4｝前〃项和为S“，且q+%=6,S4+¾=S3+3,则等比数列的公比

为()

A.ɪB.2C.-D.3

23

【正确答案】A

【分析】先根据”“与S”的关系得到S4-S,+g=α,+α2=3,设出公比，列出方程组，求出公

比.

【详解】因为邑+/=S5+3,

所以S4-S3+。2=+。2=3

设公比为油>0),可得：卜"+"不，

%+4闯=6

两式相除得：q=；

故选：A

4.己知抛物线C:V=2x的焦点为£4(%,%)是C上一点，∣AF∣=jx°,则XO=()

A.1B.2C.4D.8

【正确答案】B

【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出.

【详解】由抛物线Uy2=2χ可得0=1,勺3，

准线方程X=

2

A*。，九)是C上一点，AF=∣¾,⅞>0.

51

-+-

4-2

解得X。=2.

故选：B.

5.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，S13<0,S14>0,则当S”取得最小值时，〃的值为

()

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】C

【分析】由等差数列｛4｝的性质和前〃项和公式，求得%<0,¾>0,进而得到当

1≤"≤7∕∈N*时，«π<O,当"≥8,"∈N*时，〃”>。，即可求解.

(详解］由等差数列｛可｝的性质和前〃项和公式，

可得=所以为<0,

S=7(%+9)>0,所以%+%>0，

则等差数列｛%｝中满足％<0,⅞>0,可得d=4-%>0,

数列｛可｝为递增数列，且当l≤"≤7∕eN*时，a,l<Q,当“≥8,"eN,时，an>0,

所以当S,取得最小值时，〃的值为7.

故选：C.

本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前“项和公式公式的应用，其中解答中熟

练应用等差数列的性质和求和公式，得到数列的单调性是解答是解答的关键，着重考查推理

与运算能力.

6.如图，在直三棱柱ABC-A司G中，CAYCB,CA=CB=2,∕½=3,M为AB的中点.

则4到平面CBM的距离为()

A3√I3β3√10「3√∏n6√22

A.---------D.---------C.--------U.----------

45H11

【正确答案】D

【分析】分别以CA,CB,CG所在的直线为无，必z轴建立直角坐标系，用空间向量法求

点到平面的距离.

【详解】如图，分别以C4,CB,C。所在的直线为X,y,Z轴建立直角坐标系，则AQ,0,0),

B(0,2,0),4(2,0,3),8/(0,2,3),M(1,1,0).

则有Cg=(0,2,3),CM=(1,1,0),

设平面CBlM的法向量为"=(x,χz),

CBjn=O,2y+3z=0,

则即

CMH=O,x÷ʃ=0.

令z=2,得平面CqM的一个法向量为〃=(3,-3,2),又44二(一2,2,0),

6√22

所以A/到平面CBlM的距离d=12

1〃1√2211

故选：D.

7.己知耳、E是椭圆KF=1(">人>0)的左、右焦点，过尸2且垂直于X轴的直线与椭圆

交于A、8两点，若，ABK是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是

A.e>√2-lB.0<e<√2-l

C.√2-l<e<lD.√2-l<e∙<√2+l

【正确答案】C

【详解】试题分析：依题意可知，NA耳EV?,即

廿

tanZAF^=<∖,b2<2αc,α2-c2-2ac<0,两边除以/得1-2e<0,解得

2c

√2-l<e<l.

1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆离心率.

8.己知MN是正方体内切球的一条直径，点尸在正方体表面上运动，正方体的棱长是2,

则PM∙PN的取值范围为()

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.口,2]

【正确答案】B

【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得PM∙PN=PO?-1，根据正方体的特点确

定,。I最大值和最小值，即可求解

【详解】设正方体内切球的球心为。，则。M=QN=1,

PMPN=(PO+OM∖(PO+ON∖=PO+PO(OM+ON∖+OMON,

因为MN是正方体内切球的一条直径,

所以OM+ON=O,苏苏=-1,

所以PM∙PN=P。=1，

又点P在正方体表面上运动，

所以当P为正方体顶点时，归。|最大，且最大值为G；

当尸为内切球与正方体的切点时，卜。|最小，且最小为1；

所以O≤PC>2-1≤2,

所以PM∙PN的取值范围为[0,2],

故选：B

二、多选题

9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是()

A.若两条不重合的直线乙，/2的方向向量分别是。=(2,—2,—1),⅛=(-2,2,1),则"4

B.若直线/的方向向量是。=(1,1,2),平面α的法向量是〃=(5,-1,—2),贝iJ/_La

C.若直线/的方向向量是a=(0,2,0),平面α的法向量是"=(0,-3,0),则///α

D.若两个不同的平面ɑ,夕的法向量分别是帆=(3,-4,2),；?=(2,2,1),则

【正确答案】AD

【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.

【详解】对于A,因为8=γ,所以4%，故A正确；

对于B,因为。-〃=5—1一4=0,所以“∕α或∕uα,故B错误；

对于C,因为〃=、〃，所以/_La,故C错误；

对于D,因为∕π∙"=6-8+2=0,所以a_!_/?,故D正确.

故选：AD.

10.设6、鸟分别是双曲线C：/-21=1的左右焦点，过心作X轴的垂线与C交于A,B

b

两点，若,A86为正三角形，则下列结论正确的是()

A.b=2B.C的焦距是2逐

C.C的离心率为√5D.ABK的面积为46

【正确答案】ACD

【分析】设∣A^I=f,则IAKI=2f,阂5I=①，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得

离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.

【详解】设14gl=f,贝IJlAG=2r,忻闾=①，离心率e=百,选项C正确,

1IAKHA片I

一=6,b=2,选项A正确,

∖FlF2∖=2y∕∖+b-2∖fi,选项B错误，

设A（XA，yA）,将XA=6代入得（6,2）,

ΛBFl的面积为S=；•用用∙2y1=46，选项D正确，

故选:ACD.

11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三

角垛”.“三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上

到下各层球数构成一个数列{4},则（）

A.%=9B.an+l-an=n+∖

C.¾=210D.a^l=ana,,+2

【正确答案】BC

【分析】首项根据数列特征得到g=10,an^-a,,=n+i,判断出AB选项，

再根据数列的递推公式利用累加法求出为=吗』，从而求出％=210,得到C正确;

D选项可举出反例.

【详解】根据题意，可知%=1。，且%+「4=力+1,故A错误，B正确,

因为氏+∣-α,,="+1，所以a“=a,_|+〃=a“-2+(〃—l)+w=-=4+2++(n-l)+w

Λl(∕2+1)、

=1+2++〃=——(znN2),

所以为)=也等=210,C正确;

因为牝2#4。3，故D错误.

故选：BC

12.已知数列｛4｝的前八项和为S,,,且4=1,απ+∣+an=In则()

n,〃为奇数

A.5=18B.a

6ll为偶数

D.〃为奇数时，S=〃+也二)

C.数列也｝为等差数列

”2

【正确答案】ABD

【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.

【详解】对于A选项，S6=(4+%)+3+%)+3+4)=2X(1+3+5)=18,A对;

对于B选项，因为4+4=2,则4=2-4=1,

对任意的〃eN*,由4“+|+凡=2〃可得a,,+?+¾+∣=2(π+l),

上述两个等式作差可得-凡=2,

所以，数列｛q,｝中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列,

数列｛0,,｝中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列，

当“为奇数时，设"=2/-IkWN*),则a,,=02ι=O1+2(%—1)=2左一1=〃,

当”为偶数时，设"=2%HeN*),则4,=出+2(氏一1)=2左一1=〃一1,

综上所述，a,,=∖,B对：

为偶数

对于C选项，a3-a2=∖≠a2-ai,故数列｛可｝不是等差数列，C错;

对于D选项，当“为奇数时，设〃=2Z-IheN*),贝蛛=等，

则5〃=s2k~a2k=(4+%)+(G+4)++(¾-i+¾A)-¾

=2[l+3+÷(2⅛-l)]-(2⅛-l)=2^^1^-1^-(2⅛-l)=2⅛2-2⅛+l

CCΛ+1Y,n2I(rt-l)^Cg

=2×II-(Z〃+l)1X+l=5+5="+ʌ~^-ʌ-,D对.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知直线4：2x+ay+2=0与直线4：(a-l)x+3y+2=O平行，则α=.

【正确答案】-2

【分析】根据两直线平行可得出关于实数〃的等式与不等式，由此可解得实数”的值.

【详解】由于直线4：2x+"+2=O与直线∕21a-l)x+3y+2=0平行，

a(a-]=6

所以,⅛-∖l)≠4'解得〃=2

故答案为.-2

14.在数列｛an｝中，若也+I+,，〃=8，则数列｛即｝的通项公式为.

【正确答案】¾=2(w÷I)2##氏=2/+4π+2

【分析】得到数列｛m｝是以2&为首项，立为公差的等差数列，即可得出.

【详解】解：•；历=反+α,4=8,

.∙.数列｛反｝是以石=2√Σ为首项，应为公差的等差数列，

∙'∙=2-^2+(77—1)∙^2=V2(〃+1),

2

Λαn=2(n+1).

故4,=2(〃+if

15.设数列｛4｝的前〃项和为5“，已知4=2,4,,+2+(-1)"4=2,贝IJS60=.

【正确答案】960

【分析】根据递推式可以得出数列奇数项和偶数项的特征，分别求奇数项和偶数项的和即可

得结果∙

【详解】由4-2+(T严。”=2,

当"为奇数时，有“2+%=2；当〃为偶数时，an+2-al,=2,

•••数列｛%｝的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，

+a+a+a+α+++α

则S60=(α∣+%+%+/+5759)(2+¾6¾+¾6θ)

ɔnx79

=15×2÷30×2÷×2=960,

2

故960.

22卜

16.已知尸1，尸2为双曲线［r-今υ=13>0,0>0)的左、右焦点，过片作y=-软的垂线分别

a^ha

交双曲线的左、右两支于B,C两点(如图).若/CBF?=/CFzB,则双曲线的渐近线方程

【分析】根据双曲线的定义先计算出忸周=4"，忸耳|=勿，注意到GC∙L图中渐近线，于

是利用CoSNBF,用两种不同的表示法列方程求解.

【详解】ZCBF2=ZCF2B,则IeM=ICEI,由双曲线的定义及C在右支上，

ICKHC周=IeN+怛周Te闾=怛周=勿，又B在左支上，则忸闾T班∣=2α,则陶=44,

在aBEK中，由余弦定理，cosN%F,=Q4+(2c)2-(4α)2,而图中渐近线，于是

Sac

与C=：，得COSN84E=2,于是:=(2α)2+(2c)∙(4α)∖不妨令。句，化简得

bccSac

b2-2b-2=0,解得b=l+6,渐近线就为∙y=±(6+∣)χ

故答案为.y=±(G+ι)χ

四、解答题

17.已知圆C的圆心坐标为(2,1),且点3)在圆C上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线y="+m-2A与圆相交于A、B两点，当&变化时，线段A8的最小值为6,求机的

值.

【正确答案】(I)(X-2)O(y-1》=25

⑵，“=5或加=-3

【分析】(1)由两点间的距离公式求出圆的半径即可；

(2)根据线段AB的最小值为6,可知圆心到直线的距离为4,利用点到直线的距离公式求

解即可.

【详解】(1)由题意得r=∣CP∣=J(2+iy+(l+3)2=5

•••圆C的标准方程为(x-2)2+(y-l)2=25.

(2)若AB≥6,可知圆心到直线的距离为4,

而圆心到直线的距离d=将±,

√l+⅛2

当k=0时，线段AB的最小值为6,此时d=∣m-l∣=4,

/.勿2=5或〃7=-3.

18.已知公差不为0的等差数列｛q｝满足4=1,且4,外,％成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

17

⑵设"=2力+——，7；为也｝的前"项和，求证?

a

,Λ+l6

【正确答案】(1)““=2〃-1

(2)证明见解析

【分析】(1)设等差数列｛α,,｝的公差为"，根据等比中项的性质结合等差数列通项公式，可

得d=2α∣,根据4=1,即可求得d的值，代入公式，即可得答案.

(2)由(1)可得代入可得a=er+U--r-丁二］,利用分组和裂项相消

求和法，即可得1的表达式，即可得证.

【详解】(I)设等差数列｛q｝的公差为d,因为成等比数列，所以壮=卅5,则

2

(q+d)2="∣(q+4"),Bpaf+2ald+d=af+4r∕1t/,所以Zq"=/,又d≠Q,所以

"=2α∣=2,所以a“=q+("-1)"=2"-1,即"ll=2"-l

(2)由(1)可得%=2〃-1,所以

b=*+'一=2-2"+=∕r+U丁=-4)，所以数列出｝的前“项

na。+1(2〃T)J(2〃+1)2212〃-12n+l)

即得证.

19.如图，平面PACJ_平面ABC,ABlBC,AB=BC,D、。分别为E4、AC的中点,

AC=8,PA=PC=5.

(1)设平面PBCC平面BOD=/,判断直线/与PC的位置关系，并证明;

(2)求直线PB与平面80。所成角的正弦值.

【正确答案】(1)/〃PC,证明见解析；

【分析】(1)根据线面平行的判断定理和性质定理即可判断；

(2)以。为原点，OB、0C.OP分别为x、y、Z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标,

利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的余弦值和正弦值.

【详解】(1):D、0分别为24、AC的中点，；.在A4PC中，DO//PC,

「OOu平面B。。，PC(Z平面BO。，...PC〃平面3。。，

∙.∙PCU平面PBC,平面P8Cn平面80。=/,...根据线面平行的性质定理可知PC〃/;

(2)∖'AB=BC,。是AC中点，.∙.B0"LAC,

V5p∣gPACl5FEABC,平面PAC'平面A8C=AC,BoU平面A8C,

.•.BOL平面APC,同理∙.FP=PC,，P0_LAC,Po垂直平面ABC,

故OB、OC,OP三线两两垂直，故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

由题可知AC=8,AB=BC=4曰OA=OC=OB=4,0P=3,

则A(O,Y,0),8(4,0,0),P(0,0,3),O(O,-2,|}

则BP=(To,3),08=(4,0,0),O0=(θ,-2.∣),

设平面800的法向量为机=(χ,y,z),

m∙OB=4x=0

则3，取z=4,贝∣Jy=3,则机=(0,3,4),

m∙OD=-2y+-z=0

m∙BP1212

cos"?,BP=

HM5^525,

・・・直线M与平面BOD所成角的正弦值云.

20.在①a=%∙3∖②H=字］,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中,

anan^-∖

并解答问题.

已知正项数列｛4｝的前〃项和为s,,a,=2,a^+an=2Sn+2,数列也｝满

足■

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列圾｝的前"项和Z,.

【正确答案】(l)α,,="+l

(2)条件选择见解析，答案见解析

【分析】(1)令〃=1,可求得4的值，令“22,由0j+α,,=2S,,+2可得dτ+α,,τ=2S,ι+2,

两式作差可推导出数列｛4｝为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列｛%｝的通项

公式；

(2)选①，可得出d=5+l)∙3"∣,利用错位相减法可求得T.；

选②，求得勿=厂\一厂2下，利用裂项相消法可求得T.

(九+1)(n÷2)

［详解］(I)解：当“=］时，a；+α∣=2S］+2=2%+2,即a：—q—2=O,解得a∣=2或a∣=-1

(舍).

当〃≥2时，由。；+/=25“+2可得+=2S“T+2,

上述两个等式作差可得Y-<1+⅛-¾-1=2a,,,即(4+a,Gm-a,--I)=O,

aa

V/?∈N*>可>°,则n-n-∖=1,

所以，数列｛%｝为等差数列，且该数列的首项为2,公差为1,

因此，an=2+tι-∖=n+∖.

(2)解：若选①，则包=("+l)∙3"",则<=2∙32+3∙33+4∙34++(n+l)∙3,,+l,

所以，37；,=2-33+3-34+∙+"∙3向+5+l)∙3"+2,

上述两个等式作差可得-27；,=2.32+(33+34++3,,+l)-(π+l)∙3n+2

,+2

33(TT)..j,+29-(2H+1)∙3'

=18+---------^-(n+l)∙3"+2=—i--------------->

1-3v72

,,+2

M,,(2Π+1)-3-9

"4

,2a+12n+311

若选②，"=而「=/4\2/=>∖2=H7一/"中，

a

,Λ+ι(〃+1)("+2)(〃+1)(〃+2)

TllllI111

所以，+而广而广7E.

21.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=^,。为AC的中

点.

（1）证明：Po1平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，BM=ABC,且二面角Λ∕-∕¾-C为30。，求；I的值.

【正确答案】（1）证明过程见详解

⑵2=（

【分析】（1）由已知可得POLAC,求解三角形可得30,PO,再由直线与平面垂直的判

定可得Po人平面A8C.

（2）以点。为原点，分别以OB,OC,OP所在直线为％%z轴建立空间直角坐标系,由

BM=28C得至UBM的坐标，进而求出平面A4M的法向量，再由二面角M-PA-C为30咧式

求出，的值.

【详解】（1）证明：连接30B4=PC=AC=4,且。为AC的中点.∙.POLAC且尸。=26

又,AB=BC=2y∕2,AC=4..ABlBC：.BO=^AC=2h.BOJ.AC

：.PB2=BO2+PO1BO±PO

又30CAC=O..PO_L平面ABC

（2）如图，以点。为原点，分别以08,OC,OP所在直线为X,>,z轴建立空间直角坐标系.

Pl

AC^y

则8(2,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,26)，A(0,-2,0),

BC=(-2,2,θ),AP=(θ,2,2^,AB=(2,2,0)

8M=ΛβC,点”在棱BC上:.BM=ΛBC=(-2λ,2λ,0),2∈[θ,l]

:.AM=AB+BM=(2-2λ,2+2λ,G)

设平面的法向量机=（X,y,z）

m∙AP=2y+2>∕3z=Oy=一&

则BP-1+4

=(2-2Λ)x+(2+22)y=Ox=------y

2-1

令y=G("l),则%=(G(l+∕l),G(∕lT),i)

取平面PAC的法向量03=（2,0,0）

二面角M-幺-C为30°

.∙.cos(A/-PA-C)=卜。SMO8'==cos300=ɪ

解得或4=3（舍）

故：丸=；

22.椭圆：£：捺+/=15＞人＞0）的焦点到直线x-3y=0的距离为孚，离心率为平.

抛物线G：V=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为左的直线/过G的焦点与E交

于AB,与G交于CQ.

（1）求椭圆E及抛物线G的方程;

（2）是否存在常数X,使得』+盘为常数？若存在，求出2的值；若不存在，请说明

∖ab∖∖cυ∖

理由.

216

【正确答案】(1)椭圆E：工r+V=1,抛物线G：V=8χ;(2)存在，Λ=--.