2023届高考数学二轮复习 8 统计与概率选择填空压轴小题训练 作业

专题8统计与概率选择填空压轴小题专项训练

一、单选题

1.在矩形ABC。中，AB>BC,在CO边上随机取一点尸，若AB是"BP最大边的概率为

ɪ,则等（）

4AB

A.ɪB.正C∙姮D.叵

3288

2.甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个

骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5,则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和

不是5,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第〃次由甲掷的概率为匕，则%的值为

（）

'1024-2,1024'512

3.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A、人、A是道路

网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网加、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，

他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.

则下列说法正确的是（）

A.甲从“到达N处的方法有120种

B.甲从Λ/必须经过为到达N处的方法有64种

O1

C.甲、乙两人在A处相遇的概率为K

2400

D.甲、乙两人相遇的概率为g

4.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰

壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球

比赛项目做志愿者的概率为（）

A.-B.IC.ɪD.ɪ

4362

5.众所周知的"太极图"，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图

如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形X?+y2=4.其中黑色阴影区

域在），轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是3；

②当α=-∣时，直线y=奴+2。与白色部分有公共点；

③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x,y）,则χ+y的最大值为夜+I；

④若点P（0,l）,MN为圆f+V=4过点尸的直径，线段AB是圆Y+y2=4所有过点P的

弦中最短的弦，则（AM-BN）∙A8的值为12.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①③B.③④C.①③④D,①②④

6.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为"前3

个数字保持递减，后3个数字保持递增"(如五位数"43125",前3个数字"431”保持递减，

后3个数字"125”保持递增)的概率是()

Illl

A.—B.—C.—D.-

2012106

7.设函数f(x)=0r+-∖(x>l),若。是从01,2三个数中任取一个，匕是从1,2,3,4,5五个

x-∖

数中任取一个，那么/(x)>。恒成立的概率是()

37-21

A.-B.—C.-D.-

51552

8.已知随机变量X的分布服从XB(4p),记IP)=P(X=〃-1)+P(X=〃)，记/(〃,P)

在PwO』上的最大值为*"),若正整数a，b满足”>b>2019,则外。)和/S)的大小

关系是()

A.尸(4)>F(b)B.尸(a)=F(A)

C.F(a)<F(∕>)D.无法确定

'x+y-2≥0,

9.在不等式组卜-y-2≤o,所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个

.y≤2,

顶点的距离均大于1的概率是()

71TT、冗.乃

A.-B.4λ-----C.1-----D.1-----

8284

10.一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行

1个单位，设爬行，次后小虫所在位置对应的数为随机变量S,则下列说法错误的是()

A.E©)=。B.。©)=〃

C.P(⅞≡=0)<P(&20=2)D.尸(品。=。)<尸(基8=0)

11.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局(必须

分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是。，随机变量X表示最终的比赛局数，若

则()

A.E(X)=∣B.E(X)>yC.O(X)>；D.D(X)<∣γ

12.箱中有标号为1,2,3,4,5,6,7,8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球,

记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2

人获奖的概率是（)

8181C918

A.-----B.C.—D.—

7843924949

13.随机变量4的分布列如下:

4ab

Pab

其中“力,c是互不相等的正数，则心的取值范围A.

二、填空题

14.假设抛掷质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲、乙各抛掷若干枚硬

币，甲抛掷的硬币总数恰好比乙少一枚，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是

15.从1到10中随机选取6个数字排成一圈（可重复），则没有两个偶数相邻的概率为

16.如图，在3x3的点阵中，依次随机地选出A,8,C三个点，则选出的三点满足AB∙AC≥0

的概率是.

17.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以4表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四

个结论：

①6=（；②舄=2；③当〃≥2时，Pl,+t<Pni④匕一2+（匕一3（"≥4）∙

816248

其中，所有正确结论的序号是.

18.某人投篮命中的概率为0.3,投篮15次，最有可能命中次.

19.如图，在3x3的点阵中，依次随机地选出A、8、C三个点，则选出的三点满足ABAC<0

的概率是.

20.下列说法正确的是：

①在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差；

②回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

③在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.1

个单位

④若sin(α+力)=：,sin(a-∕7)=∣,则=

Z3IdnP

⑤已知正方体ABC力-A瓦GO,P为底面A8C。内一动点，P到平面A4,。。的距离与到直

线CG的距离相等，则尸点的轨迹是抛物线的一部分.

正确的序号是：.

21.数列｛α,,｝是公差不为零的等差数列,其前〃项和为S”,若记数据4g,%,⅛m的方差为

乙数据甲，早年，黑的方差为4,则?=.

22.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立

夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十

四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公

平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率

为.

答案：

1.D

【解析】

【分析】

在矩形ABa）中，取边Co的中点为G,则在边C。上存在关于点G对称的两点E,F,使

BE=AF=AB.设AB=α,根据概率求出£尸=:，得出边长关系即可得解.

4

【详解】

如图，取边CD的中点为G,则在边CD上存在关于点G对称的两点E,尸，使BE=AF=AB.

设AB=”,因为48是“82最大边的概率为；所以EP==.过点E作E”_LAB,则

DE=乜,EC=2,则EH?=4-生”2=旦2,所以AD=EH=叵a,故处.=叵.

8864648AB8

故选：D

2.A

【解析】

【分析】

抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为L,第〃次由甲掷有两种情况:

4

一是第”-1次由甲掷，第〃次由甲掷，概率为:匕一；二是第〃-1次由乙掷，第〃次由甲掷，

概率为［（Iri）,由已知得B=WeT+1，可得到数列［匕-4］是以J为首项，-4为公

比的等比数列，由此可得解.

【详解】

抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为

4

16^4,

第〃次由甲掷有两种情况：

一是第〃-1次由甲掷，第〃次由甲掷，概率为:Ei；

3

二是第次由乙掷，第〃次由甲掷，概率为j(l-2τ)∙

1313

这两种情况是互斥的，所以5=WET+[(ι-2j,即5=-QEI+“

所以(匕T-；)'即数列IE-；｝是以6-g=g为首项，-g为公比的等比数列，

所以与=g+g(_£l,所以4=g+g(_£l=渴.

故选：A

【点睛】

方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列｛凡｝中，

an=kan^+b(k、人均为常数，且k=l,⅛≠0),可以利用构造法求数列的通项公式：设

%+w=Mα,ι+m),得到匕=(A:-1加，加='丁可得出数列卜“+Fj是以上的等比数

列，可求出对；

3.C

【解析】

【分析】

A.考虑从M到N向上走的步数和向下走的步数，利用组合数求解出结果；

B.先利用组合数分析从M到4的方法数，然后再利用组合数分析从4到N的方法数，根

据分步乘法计数原理可求解出结果；

c.先确定出甲经过&的方法数，再确定出乙经过&的方法数，由此确定出甲、乙两人在4

处相遇的方法数，结合A选项的结果求解出对应概率；

D.先确定出甲、乙只能在A、4、A3、4处相遇，然后根据C选项的计算方法分别计算

出对应方法数，结合A选项的结果求解出对应概率

【详解】

A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达

N处的方法有煤=20种，A选项错误；

B选项，甲经过为到达N处，可分为两步:

第一步，甲从M经过&需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C；种；

第二步，甲从4到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为C；种.

二甲经过&到达N的方法数为C；C=9种，B选项错误；

C选项，甲经过&的方法数为C；.C；=9种，乙经过&的方法数也为C；・C；=9种，

.・・甲、乙两人在4处相遇的方法数为C；-C；C；=81种，

8181

甲、乙两人在4处相遇的概率为氏T=旃，C选项正确：

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A、4、&、4处相遇，

若甲、乙两人在A处相遇，甲经过A处，则甲的前三步必须向上走，乙经过A处，则乙的前

三步必须向左走，两人在A处相遇的走法种数为1种；

若甲、乙两人在4处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；

若甲、乙两人在4处相遇，甲到A处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到

A处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，

所以，两人在4处相遇的走法种数为C；C；C；C；=81种；

若甲、乙两人在4处相遇，甲经过4处，则甲的前三步必须向右走，乙经过4处，则乙的

前三步必须向下走，两人在A处相遇的走法种数为I种；

故甲、乙两人相遇的概率上嘿匕ɪ=M,D选项错误.

400100

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从M到N的路线转

变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从

六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数.

4.B

【解析】

【分析】

根据古典概型计算公式，结合排列和组合的定义进行求解即可.

【详解】

所有的安排方法C海+C爷4F0X6+5X3X6/。,

若只有F人去冰球项目做志愿者，有C：C：+爷6=4×(4+3)×2=56;

若恰有2人去冰球项目做志愿者，有=6x3x2=36；

若有3人去冰球项目做志愿者，有Cjg=4x2=8,

所以共有56+36+8=100种安排法，

所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为慌=|.

故选：B

【点睛】

关键点睛：运用排列和组合的知识求出所有的安排方法数是解题的关键.

5.C

【解析】

【分析】

利用几何概型的概率公式可判断①的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断

②的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断③的正误；求出点A、B、M、

N的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断④的正误.

【详解】

对于①，设黑色部分区域的面积为S,整个圆的面积为，由对称性可知，S,=∣S,

所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为P=率,故①正确；

对于②，当〃=时，直线的方程为y=-]x-3,即3x+2y+6=0,

圆心（0,0）到直线3x+2y+6=0的距离为/'=<2,

√32+2213

下方白色小圆的方程为f+(y+l)2=l,圆心为(0,-1),半径为,

44,_

圆心(OI)到直线3x+2y+6=0的距离为1=后姿不^>1,如下图所示:

a

由图可知，直线y=-1χ-3与与白色部分无公共点，故②错误；

对于③，黑色阴影部分小圆的方程为χ2+(y-ι)2=ι,设z=χ+y,如下图所示:

当直线z=x+y与圆/+(y-l)2=l相切时，取得最大值,

且圆/+(y-l);l的圆心坐标为(0,1),半径为，可得二4=1,解得z=l±√5,

v2

由图可知，z>O,故ZmaX=拒+1,故③正确;

对于④，由于MN是圆W+V=4中过点P(0,1)的直径，则M、N为圆/+丁=4与y轴

的两个交点，可设“(0,2)、N(0,-2),

当AB_Ly轴时，|明取最小值，则直线AB的方程为y=l,可设点A卜百』)、川"1),

所以,AM=(√3,1),B∕V=(-√3,-3),AB=(2√3,θ),ΛM-β∕√=(2√3,4),

所以，(A例-8N)∙AB=12,故④正确.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：

(I)代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元(X或y),得到关于另外一个元

的一元二次方程.

①若△>(),则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；

②若A=O,则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；

③若/<0,则直线与圆没有交点，直线与圆相离；

(2)几何法：计算圆心到直线的距离d,并比较"与圆的半径的大小关系.

①若d<r,则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；

②若4=r,则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；

③若d>r,则直线与圆没有交点，直线与圆相离.

6.A

【解析】

【分析】

首先根据已知条件“定位"中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末

位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】

由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共A；=120个，前3个数字保持递减，后3

个数字保持递增，说明中间数字为L

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末

两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.C；?6=

因此"前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有C：=6个,

所以所求的概率P=需=

故选：A.

7.A

【解析】

【分析】

先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典

概型，试验发生包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案.

【详解】

、［/ʌ.r/∖XX—1+11

当“/0时π∙，f(x)=ax-∖----=ax-∖--------=ax+------Fl1

x-\x-l%—1

=Cl(X-l)d-----ɪ+1+αN+1+α=(y/ci+1

当且仅当X=f-+l>lB⅛,取〃=”,

a

于是/（X）＞＞恒成立就转化为（6+＞〃成立;

当α=0时，f[x）=∖+—＞∖,

设事件A："”制＞匕恒成立",

则基本事件总数为15个，即

(0,1),(0,2)(0,3),(0,4),(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)；

事件A包含事件：(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5)共9个

QQ

所以P(A)=A=(

故选：A.

8.B

【解析】

计算"%P)=(Ii)P"+"pi,设g(p)=(l-〃)p'+「"I求导得到函数单调性，计算

/(〃)=1,得到答案.

【详解】

P(X=Z)=C(I-P)T//,

/(〃,P)=P(X=〃一1)+P(X=〃)=C：'(I-P)pn~'+C"(l-p^pn^(l-n)p"+npn^',

设g(2)=。一+力τ，pw[0,l],g<p)="(i)p"2(p-i),

当"=1时，g(p)=l,故IF(I)=1,

当wN2时，n(l-n)<0,p,-2≥O,p-l<l,故g'(p)≥O,

所以g(p)在(。，1)上递增，所以F(")=g(l)=l-〃+〃=L

故尸(")=1,所以F(a)=Rb)=l,

故选：B.

【点睛】

本题考查了二项分布，根据导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9.C

【解析】

【分析】

画出可行域，如图所示，阴影部分即为所求，利用儿何概型公式计算得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域，阴影部分即为所求区域.

4Æ

ɪS反-2-Æ

P-

-s-S-48-

故选：C.

【点睛】

本题考查了线性规划中的可行域，几何概型，意在考查学生的综合应用能力.

10.C

【解析】

【分析】

利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量£,且向前或向后爬行1个单位

的概率均为结合二项分布公式求概率，根据E©)=2w、。值)=E(雅)-E(f,)2即

可判断各选项的正误；

【详解】

由题意知：设爬行“次后小虫所在位置对应的数为随机变量,©[-"，〃],且小虫向前或向后

爬行1个单位的概率均为

••・爬行”次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行w-r次，有f“=r+[-(〃-r)]=2r-〃；故

rn

P{ξ,=2r-n]=Cn(^),则：

1、E©)=f，(L=0,g)=E阂)-E依F=E(g；)=£禺(2；-方=〃,故A、B

r=02r=02

正确；

2、p(金。=O)=G昵严。，p-=2)=G*严，即管:券黑>1，有

P(⅛O2°=0)>P(⅛020=2),故C错误；

3、%刈8=0)=以/严，即能：二：卜鬻<1，有P‰)=o)<P‰=o),故。

i

正确；

故选：C

【点睛】

本题考查了利用二项分布公式求概率，及求随机变量的期望、方差，进而判断选项正误；

11.D

【解析】

【分析】

结合二项分布可计算随机变量X的分布列，再利用公式可求E(X)、D(X),最后利用二次

函数的性质可求其范围.

【详解】

随机变量X可能的取值为2,3.

p(χ=2)=Cθp2+C≡(l-p)2=2p2-2p+l.

P(X=3)=CMI-P)0+Gp(l-p)(l-p)=2p-2/?,

故X的分布列为：

X23

P2p2-2p+l2p-2p2

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p_2p2)=—2p2+2p+2=-2(p_£1+∣

因为O<p<g,故2<E(X)<年，≡y<∣,y<y,故A、B错误.

而O(X)=4xQp~_2p+l)+9x(2〃-2p~)_(-2p~+2p+2)~,

令f=2〃_2p2=_2(p-g)+g,因为O<P<g<g,

½0<∕<^,此时O(X)=4x(1-，)+%一(，+2)2=-/+[£((),当],

9koi√

D(X)<；必成立，故C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列

时可借助常见的分布列(如二项分布等)来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高

次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.

12.A

【解析】

【分析】

首先求出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列

举出符合条件的结果数，得到概率，2个人摸奖.相当于发生2次重复试验，根据每一次发

生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果.

【详解】

解：由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，

从8个球中摸出3个，共有C：=56种结果，

3个球号码之积能被10整除，则其中一个必有5,

另外两个号码从1，2,3,4,6,7,8中抽取，且2个号码的乘积必须为偶数，

即：抽取的另外两个号码为：一个奇数和一个偶数或者两个都为偶数，

则C；C：+C：=18,即共有18种结果，使得3个球号码之积能被10整除，

・••摸一次中奖的概率是

ɔozð

Q

2个人摸奖，相当于发生2次试验，且每一次发生的概率是2，

2o

•••有2人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是C；x(与X偿丫=M.

ZoIZo)Zo4

故选：A.

【点睛】

本题考查等可能事件的概率以及独立重复试验的应用，还涉及组合数的公式运算.

13.D

【解析】

根据题意“+b+c=l且a*,c>0,利用柯西不等式得到EJ>g,再计算房<1,得到答案.

【详解】

根据题意：α+6+c=l且α,b,c>O,

2222222

2,,(a+⅛+c)(l+l+l)(a+h+c]昉1

Eξ=a1+b1+c1=ʌ------------------------------,≥ʌ~，^LEξ≥-,

当〃=Z?=c=!时等号成立，故外

33

1122

Eξ-a+b-∖-c≤a+b+c-∖,当/=〃，b=bi时等号成立，

凡公。是互不相等，故EJ<1.

综上所述：鹰噌/)

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用柯西不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.y##0.5

【解析】

【分析】

假设甲抛掷的硬币总数为"("cN*)枚，则乙抛掷的硬币总数为〃+1枚，设甲得到的正面数为

k,则0≤kWzrElZeN,利用独立重复试验的概率公式结合二项式定理可求得结果.

【详解】

假设甲抛掷的硬币总数为小eN)枚，则乙抛掷的硬币总数为〃+1枚，

设甲得到的正面数为％,则0≤k≤〃且&eN,

此时，甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率为

RJC+C+c；++c∕)c3K

因此，所求概率为P=H{Jgc+a+c：++a)。：；，

因为2fc+α+d++C：)C,；：：

I=O

〃—I__

=∑[C+α+c;+.+O(C>+G+c;++C,7T)C詈]

⅛=0

+©:;+CM)C+c+d++q)

//-I__

=∑[6+α+c:++C)cM+(Cr+c产+£产++c)M[

A=O

+(%+C外(d+c+d++c:)

=EC+α+d+

+C)C鬻+(cθ+l+c：：；)(c：+c：+d++c：：)

ft=O

∕z+l

=2"Ed(CmM3++C÷')=2n∙2n+l=22n+',

t=O

故t(C>+G+c:++cH,

k=0

因此，所求概率为P=6J∙(fEc+cl,+c;+,+d)B=蔡小

故答案为：ɪ.

【点睛】

关键点点睛：本题考查独立重复试验概率的求解，在正面求解较为复杂时，本题充分利用对

二项式系数的对称性，结合二项式定理进行求解.

13

15.—

64

【解析】

【分析】

求出全部的基本事件数目以及没有两个偶数相邻的基本事件数目，由古典概型的公式计算即

可

【详解】

根据题意，6个位置随机从LlO取数，可重复，则每个位置有10种情况，所以共有IO,，个

基本事件，若没有偶数相邻，分4种情况讨论

①取出的6个数都是奇数，因为共有5个奇数，所以每个位置有5种情况，共有5'个基本

事件

②取出的6个数有一个偶数，则挑选一个偶数有5种情况，剩余的5个位置都是奇数，所

以每个位置有5种情况，共5x5'=5'＞个基本事件

③取出的6个数有两个偶数，偶数相邻，有.6种位置，偶数任意，有C；=15种位置，所以

偶数不相邻有15-6=9种位置，所以共有9x56个基本事件

④取出的6个数有三个偶数，则有三个奇数，必须间隔排列，奇数偶数都有5种情况，从

头开始可以先奇数，也可以先偶数，所以共有2x53χ53=2x5li种情况

当偶数个数超过3个时，偶数一定回相邻，所以不符合要求

综上，符合要求的基本事件共有(1+1+9+2)*56=13*56个

所以概率P=12孚=13x[=1

IO62664

13

故答案为：~

【解析】

【分析】

从反面ARAC<0的角度做，讨论的是A为主元，故对∙A分三种情况讨论，如图：第一类A

为5号点；第二类A为1,3,7,9号点；第三类A为2,4,6,8号点；分别求得B,C的

所有情况，计算即可得解.

【详解】

由题意可知A,B,C三个点是有序的，从反面4B∙AC<0的角度做，讨论的是A为主元,

故对A分三种情况讨论，如图：第一类A为5号点；第二类A为1,3,7,9号点；

第三类A为2,4,6,8号点；

（1）当A为5号点时，则

（/）ZBAC=180%三点共线有四条直线，故4A；=8,

（//）NSAC=135。，贝∣J,如B在1号位，（1,5,6）和（1,5,8）,即确定第二个点的位置有四种方

法，第三个点的位置有两种方法，然后民C排列，即方法数为：4×2×2=16,

共有8+16=24种.

（2）当A为第二类点不存在这样的点；

（3）当A为第三类点，以2号点为例，有三种如图所示:

故有(1+2+2)X4X2=40,综上A8∙AC<O共有64中，故尸=I-乎=∣∣.

故答案为：金.

63

【点睛】

关键点睛：可将问题ABAC≥O转化为AB∙AC<O即加C为钝角或平角，以顶点A为出发

点进行分类讨论时解答本题的关键.

17.①③④

【解析】

【分析】

由月的对立事件概率可得A和鸟，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前的

正反及前止2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由K=491+:匕一2+,匕一3(〃24)

及%="+"τ+!%,可得'LC=-2％3<0,("≥4),从而可判断③.

24oIo

【详解】

17

3

当"=3时，P3=l-(-)=-,①正确；

2o

当”=4时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，

所以4=1-3X-，②错误;

16

要求2,即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，

分类进行讨论，

若第n次反面向上，前"-1次未出现连续3此正面即可；

若第n次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表:

第n次n-1次n-2次概率

反面^^pn-∖

正面反面圭__

正面正面反面"-3

O

所以E,=<4l+J么2+<么3（〃N4）,④正确；

Z4o

由上式可得BL"+"一+；*

Z4o

2+1-；匕=（；£,+；ET+"匕-2）-BWET+；匕-2+（与-3）=g5-ap∙'-i,

所以QL匕=-1EN<0,5≥4）,

16

71Q

又I=E=I,B=^,E=τf,满足当“≥2时，p,ltl<Pn,③正确.

oIo

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第巾1和第”2次的关系，通过分类讨论及列

表格的形式得到kgCi+：仄2+ɪ匕3（〃*4）,属于难题.

24o

18.4

【解析】

【分析】

P(X=%)2P(X=MI-I)

易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中，"次，于是

P(X=W)≥P(X=%+1)'

解出不等式即可得到答案.

【详解】

l5

投篮命中次数X~8（15,0.3）,P(X=⅛)=Cf5-0.3*∙0.7^*

设最有可能命中机次，则

P(X=M≥P(X=m-l)_C"∙0.3m∙0.7'5^m≥C；7'0.3ra^l∙0.7l6^m

P(X=m)≥P(X="+1厂Cr-03"∙0.7'5^M>C；7'∙0.3m+l∙0.7'4^m

=>3.8≤∕n≤4.8,m∈Z,∙,.∕n=4

最有可能命中4次.

故答案为：4.

19.ɪ

63

【解析】

【分析】

先将个点标号，对点A的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】

由题意可知A、B、C三个点是有序的，讨论点A为主元，

对点A分三种情况讨论，如下图所示：

（1）第一类A为号点.

①若NBAC=I80,三点共线有4条直线，此时有4用=8种；

②若NBAC=I35,如点B在号位，则点C在号位或号位，即确定第二号点有4种方法，确

定第三号点有2种方法，此时有4x26=16种；

（2）第二类A为、、、号点，此时，不存在这样的点；

（3）第三类A为2、4、、号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示:

故有（l+2+2）x4月=40利L

综上所述，满足A8∙AC<0共有8+16+40=64种.

c648

因此，所求概率为P=/=右.

Ag63

Q

故答案为：—.

OJ

【点睛】

方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

(1)列举法；

(2)列表法；

(3)数状图法；

(4)排列组合数的应用.

20.②③④⑤

【解析】

【分析】

根据回归分析概念及回归系数的含义，可判定①不正确；②是正确的；③是正确的；由三

角恒等变换的公式，可判定④是正确的；根据正方体结构特征和抛物线的定义以⑤是正确

的.

【详解】

对于①中，在做回归分析时，由残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果

越好，所以①不正确；

对于②中，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好是正确的，所以

②是正确的；

对于③中，在回归直线方程y=0.1χ+10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量y平

均增加0.1个单位，所以③是正确的.

对于④中，若sin(α+6)=;,sin(α-∕7)=g,

可得sinacosβ+coscrsiny?=ɪ,Sinacosβ-cosαsin∕?=g,

解得SinaCoS尸=[,cosasin夕=」，所以