2022-2023学年辽宁省沈阳市某中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市某中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

2.如图所示，两个三角形全等，则的度数为（）

D.77°

3.下列计算正确的是()

A.a2-a4a=a7B.(—2a2b尸=—8a6b3

C.(a—I)2=a2—1D.(a+b)(b—a)=a2—b2

4.如图，△ABC的边AC上的高是（）

A.线段4E

B.线段BA

C.线段BO

D.线段BC

5.若a=—2?,£>=(7r-3)°,c=(g)-2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

6.如图，直线点4在直线"上，以点4为圆心，适当

长度为半径画弧，分别交直线4、%于B、C两点，连结AC、BC.

若乙4BC=70。，则41的大小为（）

A.20°

B.35°

C.40°

D.70°

7.若（尤2+mx+n）与（x-2）的乘积中，不含x的一次项和二次项，则（二产的值为（）

AOB1C4

4-

8.如图，测量河两岸相对的两点A,B的距离时，先在4B的垂线BF上取两点C,D,使CO=BC,

再过点。画出8F的垂线DE,当点力，C,E在同一直线上时，可证明△EDC三A4BC,从而得

到ED=AB,则测得E0的长就是两点4,B的距离.判定AEDC三△4BC的依据是（）

A.“边边边”B.“角边角”

C.“全等三角形定义”D.“边角边”

9.设a,b是任意有理数，定义一种新运算：a*b=（a-6）2.下面有四个推断:

®a*b=b*a；

②a*b=a2-Z?2；

(3)(—a)*b=a*(—b);

④a*(b+c)=a*b+a*c.

其中正确的序号是（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.①③

10.剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再

沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如图，直线a,b相交，则41=42,其中的依据是

2

b

12.一张44纸的厚度大约是0.000104m,将数据“0.000104”用科学记数法表示为

13.如图，一副三角板如图放在直线？n,ri之间，且m〃n,则a=

14.已知m—n=-2,mn-7,则(5+7n)(5-九)的值为

15.如图，4。是△ABC的角平分线，M148于点尸，4AED

和UGD互补，若Su.=40,SAAED=22,则△EOF的面积

为.

16.如图，在A/IBC中，ZC=90°,AC=BC=4,射线BC上有一点P,

M,N分别为点P关于直线AB,4c的对称点，连接BM,若BM=3BN,则

BP的长为.

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：•（―8a2bc）—（-3a2b2c产-e-|ac.

18.（本小题8.0分）

先化简，再求值：（x+3y）（3x-2y）-（2万-y）2+（牝产+2y）+2y,其中x=l,y=

19.（本小题8.0分）

在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形.如

图AABC是格点三角形.

（1）在图1中画出与^ABC关于直线［对称的格点三角形△4当6；

（2）在图2中画出一个与△力BC全等且有一条公共边BC的格点三角形△4282c2（即4&BC）；

（3）在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形A&B3c3（即△AB3c3）-

图3

20.（本小题8.0分）

如图，CG//AF,点B在CG上，CD_L4B于点E,交4尸于点。.若4A+NFBG=90°,求证：Z_C=ZF.

21.（本小题8.0分）

某公交车每月支出为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入一支出）y（元）的变

化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）.

W人）50010001500200025003000

y（元）-3000-2000-1000010002000

（1）在这个变化过程中，自变量是,因变量是；

（2）观察表中数据可知，每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损；

（3）每位乘客的公交票价是元；

（4）预测当每月乘车人数为5000人时，每月利润为元.

22.（本小题10.0分）

如图，在△ABC中，AB>AC>BC,P为BC上一点（不与B,C重合）.在AB上找一点M,在4c上

找一点、N,使得AAMN与4PMN全等,以下是甲，乙两位同学的作法.

甲：连接4P,作线段4P的垂直平分线，分别交AB,4c于M,N两点，则M,N两点即为所求；

乙：过点P作PM〃4C,交4B于点M,过点P作PN〃/1B,交AC于点N,则M,N两点即为所求.

（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是；

A.两人都正确

氏甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确

(2)选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明.

23.(本小题10.0分)

在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题，借助直观、

形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系.如图1,现有

边长分别为a,b的正方形I号和D号，以及长为a,宽为b的长方形HI号卡片足够多，我们可

以选取适量的卡片拼接成几何图形(卡片间不重叠、无缝隙).解答下列问题：

(1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个儿何图形表示的等式是；

(2)若想用几何图形表示等式(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2,图3给出了所拼接的几何图

形的一部分，请你补全图形；

(3)若用图1中的卡片拼得一个面积为(3a+4b)(5a+7b)的长方形，求共用了多少张卡片？

(4)设a=3,b=l,I号、II号和ID号每种卡片各有9张，从其中取若干张卡片(每种卡片至

少取1张)，若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出

所用卡片的最少数量.

图1图2图3

24.(本小题12.0分)

在一条笔直的公路上有力，B,C三地，C地位于4,B两地之间，甲，乙两车分别从4,B两地

出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自

与C地的距离与甲车行驶时间t(h)之间的关系如图所示.解答下列问题：

(1)出发前，甲车距离C地km,乙车距离C地km；

(2)甲车的速度是km/h,乙车的速度是km/h；

(3)图象上M点的实际意义是；

(4)当甲车出发多久时，两车相距3240n；

(5)当甲车出发%时，两车与C地的距离差为40km.

25.(本小题12.0分)

已知，射线。于点4,CA=BA,等腰直角AOEF的顶点。，E分别在射线C4和B4上,

Z.FDE=90°,FD=ED,过点。作DGJ.FC于点G,延长GD交射线B4于点4.

(1)如图，点D,E在线段CZ,BAE.

①若NDEA=30°,乙DHE=110°,求NGFD的度数；

②证明：CD=HE；

(2)若CA=3CC=6,AH=1,请直接写出线段BE的长.

C

AB

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

完全重合.

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4、不是轴对称图形，故本选项不符合题意：

8、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.【答案】C

【解析】解：••・两个三角形全等，

zl=62°,

故选：C.

根据全等三角形的性质解答即可.

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：4、原式=。5,故本选项计算错误，不符合题意；

B、原式=-8a6b3,故本选项计算正确，符合题意；

C、原式=a2-2a+l,故本选项计算错误，不符合题意；

。、原式=〃一。2,故本选项计算错误，不符合题意；

故选:B.

根据同底数基的乘除法法则判断小根据积的乘方法则判断8；根据完全平方公式判断C；根据平

方差公式判断D.

本题考查了整式的混合运算，掌握幕的运算法则以及乘法公式是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•：BDJL4C于点D,

4BC的边4c上的高是线段BD,

故选：C.

根据三角形高的定义即可得到答案.

本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：a=—2?=—4,b=(n—3)°—1,c=(1)-2=9,

v-4<1<9,

a<b<c.

故选：A.

先根据有理数的乘方，零指数累和负整数指数累求出a、氏c的值，再根据求出的结果比较大小

即可.

本题考查了有理数的乘方，负整数指数哥，零指数哥和有理数的大小比较等知识点，能求出a、b、

c的值是解此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：•••点4为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线〃、12于B、C,

•••AC=AB,

•••Z.CBA=乙BCA=70°,

AZ.CBA+Z.BCA+41=180°,

Z.1=180°-70°-70°=40°,

故选：C.

根据平行线的性质解答即可.

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

7.【答案】B

【解析】解：(必+mx+n)(x-2)

=x3+mx2+nx-2x2-2mx—2n

=x34-(m—2)x24-(n—2m)x—2n,

•・・(M+加工+切与。一2)的乘积中，不含工的一次项和二次项，

m—2=0,n—2m=0，

TH=2,=4,

故选:B.

先求出多项式乘以多项式的积，再根据已知条件，列出关于n的方程，求出m,n,再代入求

值即可.

本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是理解多项式不含哪一项，哪一项的系数为0.

8.【答案】B

【解析】解：/-ACB=Z.DCE,CD=BC,乙ABC=AEDC,

•••△EDC三△4BC(AS4),

故选：B.

由“4S4”可证AEDC三△4BC.

本题考查了全等三角形的应用，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：a*b-(a-b)2,

■■b*a=(b-a)2=(a—b)2,

•••a*b=b*a,故①正确，符合题意；

a*b=(a-b)2=a2-2ab+b2,故②错误，不符合题意；

v(—a)*b=(—a—b)2=(a+b)z,a*(—b)=[a—(—b)]2=(a+b)2,

(-a)*b=a*(-b),故③正确，符合题意；

va*(h+c)=(a—6—c)2,a*b+a*c=(a—b)2+(a—c)2,

a*(b+c)a*b+a*c,故④错误，不符合题意；

故选：D.

根据题目中的新定义，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题.

本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答.

10.【答案】A

【解析】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶

点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形

的中心剪去一个正方形，可得：

今

故选：A.

对于此类问题，只要依据翻折变换，将图(4)中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案.

本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴.-

般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案.

11.【答案】对顶角相等

【解析】解：••・41与42是对顶角，

•••Z1=42,

其依据是对顶角相等，

故答案为：对顶角相等.

根据对顶角性质即可得出答案.

本题考查对顶角的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

12.【答案】1.04x10-4

【解析】解:0.000104=1.04x10-4.

故答案为：1.04x10-4.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax10-%与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-%其中i4|a|<10,n为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

13.【答案】15。

【解析】解:如图,过点A作4M〃血,

vm//n,

:.AM",

・•・Z.MAD=Z.ADB=45°,

・・・Z,CAM=60°-Z.MAD=15°,

vAM//m,

・•・Zcr=4CAM=15°,

故答案为：15°.

由平行线的性质得到/AMO=Z.ADB=45°,从而求出4cAM=60°-^MAD=15°,最后根据平

行线的性质即可得解.

此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键.

14.【答案】8

【解析】解：m—n=-2,mn=7,

:.(5+m)(5—ri)

=25—5n+5m—mn

=25+5(m—7i)—mn

=25+5x(—2)—7

=8.

故答案为：8.

原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值.

此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键.

15.【答案】9

【解析】解：过点。作。H14C于点”，如图所示:

•・・4D是△ABC的角平分线，DF1AB,

:・DF=DH,

在Rt△ADF^lRt△4QH中，

(AD=AD

IDF=DH"

・•・Rt△ADF^Rt△ADH(HL),

•••^AADF=^AADH，

•・・乙4E0和乙4Go互补，

・・・44ED+44GD=180。，

•・・/,AED+乙FED=180°,

:.Z.AGD=乙FED,

vDFLAB,DHLAC,

:.Z.EFD=乙GHD,

在&△DFE^Rt△DUG中，

Z-FED=Z.AGD

乙EFD=Z.GHD

DF=DH

・・・Rt△DFE三Rt△DHG^AAS^

9

•*,S〉DEF=S〉DHG

・•,SMDG=40,S^AED=22,

•••2S>EDF—S〉ADG—^AAED=18,

S^EDF=9.

故答案为：9.

过点D作DH1AC于点H,根据角平分线的性质可得DF=DH,再证明Rt△ADF=Rt△ADH(HL),

Rt△DFE三Rt△DHG(AAS),根据全等三角形的性质进一步即可求出△DEF的面积.

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

16.【答案】6或12

【解析】解：如图1中,当点N在线段上时.

M

vM,N分别为点P关于直线48,4C的对称点，

・•,BM=BP,CN=CP,

•・・BM=3BN,

:.PB=3BN,

・・・BN=CN=PC=2,

・・・PB=6.

如图2中，当点N在CB的延长线上时，同法可得PB=3BN,

・,・4+%=3(%-4),

・•・x=8,

.・.P8=4+8=12.

故答案为:6或12.

分两种情形：如图1中，当点N在线段BC上时，如图2中，当点N在CB的延长线上时，分别求解可

得结论.

本题考查轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

17.【答案】解：gab，•(―8。2力。)—(―3Q2b2c)2+/a。

=^cib3•(—8a26c)-9a4b4c21ac

=-4a3b4c_45a3b4c

=-49a364c.

【解析】先算乘方，再算乘除法，最后合并同类项即可.

本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

18.【答案】解：(x+3y)(3》-2y)-(2x-y)2+(4xy2+2y)+2y

=3x2—2xy+9xy—6y2—(4%2—4xy+y2)+2xy+1

=3x2—2xy+9xy-6y2—4%2+4xy-y2+2xy+1

=—x2+13xy—7y2+1,

当x=Ly=g时，原式=-I?+13xixg-7x《)2+i

131

=-l+y-7x1+l

137

=-l+y--+l

_32

=T'

【解析】利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后

把X,y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.

本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图1所示，三角形△4/1的即为所求；

(2)如图2所示，△&BC即为所求，(画出一个即可)；

(3)如图3所示，△AB3c3即为所求.

C

r^

I

L

图2

［解析】(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；

(2)根据全等三角形的性质结合网格即可求解；

(3)根据全等三角形的性质结合网格即可求解.

本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键.

20.【答案】证明：・••CDLAB,

Z.AED=90°,

•­■乙4+Z.EDA=90°,

•••4+乙FBG=90°,

乙EDA—乙FBG,

•••CG//AF,

Z.C=Z.EDA,Z.F=Z.FBG,

•••/.EDA=乙FBG,

:.ZC=Z.F.

【解析】根据垂直的定义得出N4ED=90。，进而利用平行线的判定和性质解答即可.

此题考查平行线的性质，关键是利用平行线的判定和性质解答.

21.【答案】每月的乘车人数每月利润200026000

【解析】解：(1)由题意得，自变量是每月的乘车人数，因变量是每月利润，

故答案为：每月的乘车人数，每月利润；

(2)由题意得，每月乘客量至少达到2000人时，该公交车才不会亏损；

故答案为：2000；

(3)由题意得，每位乘客的公交票价是:

(-2000)-(-3000)_(彳、

1000-500-4兀卜

故答案为:2；

(4)由题意得，y与X间的函数解析式为：

y=2(x-500)-3000,

整理得，y=2x-4000,

.♦.当％=5000时，

y=2x5000-4000

=10000-4000

=6000,

故答案为：6000.

(1)根据函数的定义和该问题中的变化过程求解此题：

(2)由表中数据，x22000时每月利润是非负数可得每月乘客量至少达到2000人时，该公交车才

不会亏损；

(3)由题意得，每月乘车人数每增加500人每月利润增加1000元进行求解；

(4)先求得每月利润y(元)与每月乘车人数x间的函数关系式，再代入进行求解.

此题考查了函数的概念与表示方法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求

解.

22.【答案】解:(1)4

(2)甲:如图1中,

图1

•••MN垂直平分线段P4

MA=MP,NA=NP,

在A4MN和APM/V中，

MA=MP

NA=NP,

JVM=NM

.MAMN"PMN(SSS).

乙：如图2中，

vPM//AC,PN//AB,

，乙PMN=£ANM,乙PNM=LAMN,

在△AMN和APM/V中，

ZANM=乙PMN

MN=NM,

.^AMN=乙PNM

••・△AMN三△PNMQ4S/).

【解析】解：(1)两人都正确，

故选：A.

(2)见答案.

(1)两人都是正确的.

(2)根据全等三角形的判定分别证明即可.

本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定以及线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

23.【答案】(a+36)(a+b)=M+4ab+3b2

【解析】解：(1)图2是长为a+3b,宽为a+b的长方形,因此面积为(a+3b)(a+b)=M+4ab+

3b2,

故答案为：(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2；

(2)用几何图形表示等式(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2,即需要卡片I2张，卡片Hl张，卡片

HI3张，

所以所拼成的图形如下：(不唯一)

mmn

Iim

图3

(3)(3a+46)(5a+7b)=15a2+41ab+28b2,

所以I号卡片用了15张，II号卡片用了28张，皿号卡片用了41张，共用了84张卡片；

(4)根据题意可得，所拼成的正方形边长最大，即卡片I用的要尽可能的多，每条边上最多是3个，

又由于三种卡片均要使用，因此正方形的边上还应有卡片D,所以边长可以为3a+b,3a+2b,

3a+3b,但边长为3a+2b,3a+3b时，卡片的数量不足，因此最大边长为3a+b,

所以所拼成的最大正方形的面积为(3a+b)2=9a2+6ab+b2,

即I号卡片用9张，II号卡片用6张，HI号卡片用1张，共用16张卡片，

答：把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最

少数量是16张.

(1)得出图2中长方形的长为a+3b,宽为a+b,由面积公式可得答案；

(2)根据等式(a+b)(2a+b)=2。2+3ab+乂，所拼成的长方形的长为2a+b,宽为a+b,需要

I卡片2张，II卡片1张，DI卡片3张，在所给定的图3中补全即可；

(3)计算出(3a+4b)(5a+7b)=15a2+41ab+28b2,再根据I卡片,II卡片,DI卡片的面积可

得数量；

(4)根据所拼成的是边长最大的正方形，再结合三种卡片的数量，可得最大正方形的边长为3a+b,

计算出(3a+b)2=9a2+6ab+b2,即可得出需要卡片的张数.

本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全

平方公式的结果特征是正确解答的前提.

24.【答案】2402704890甲车出发1小时后，乙车仍在距离C地270/an的原地，即将出发三或

【解析】解：(1)由图象可得：出发前，甲车距离C地240km,乙车距离C地270km,

故答案为：240,270；

(2)v240+5=48(/cm//i),270+(4-1)=90(km/h),

甲车的速度是48/cm//i,乙车的速度是90km"；

故答案为：48,90；

(3)M点的实际意义是甲车出发1小时后，乙车仍在距离C地270k/n的原地，即将出发；

故答案为：甲车出发1小时后，乙车仍在距离C地270km的原地，即将出发；

(4)设甲车出发工小时后，两车相距324km,

根据题意得：48x+90(x—1)+324=240+270,

解得：x=2,

•・•当甲车出发2小时后，两车相距324/on；

(5)①•••甲车距离C地240km,乙车距离C地270k?n,

.•・当甲行驶10km,即甲车距离C地230km,乙车距离C地270km时，两车与C地的距离差为40km,

此时x=仁=枭

4824

②当乙出发后，乙离C地距离比甲离C地距离多40km时，

270-90(x-1)-40=240-48x,

解得x=齐

③当乙出发后，甲离C地距离比乙离C地距离多40/nn时，

240-48x-40=270-90(x-1),

解得工=畀

④乙到达C地，甲距C地4O0n时，

240-48%=40,

解得％=各

O

综上所述，当甲车出发金八或，九或管九或