中考数学复习指导：谈旋转变换在几何问题中的应用

谈旋转变换在几何问题中的应用静止是相对的，运动是绝对的．在数学解题中，有时用“动”的观点来处理“静”的问题，即“化静为动”，常常能收到出其不意的效果．引例如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE＝4，FC＝3，求EF的长．分析多数学生从问题人手，连结BD，通过证明全等或相似实现线段(AE＝BF，FC＝BF)的转化，从而求得EF的值．解法一利用全等，如图2．连结BD，证△EDB≌△FDC，得BE＝FC＝3，BF＝4；再应用勾股定理，得EF＝5．解法二利用相似，如图2．通过证△EDB～△FDC，由BE：FC＝BD：CD＝1，得到BE＝FC＝3．同理BF＝AE＝4，再由勾股定理得EF＝5．解法三常数做变数，化静为动，可以另辟蹊径．如图3，联想教材中两个正方形的旋转问题，将AE＝4，FC＝3看作是运动过程的瞬间，当正方形DHMN绕正方形ABCG的对角线AC的中点D，旋转到如图4所示的位置时，设ABCD的边长为A，易证△DPE≌△DQF，得PE＝QF．设PE＝QF＝x，则AP＝4－x，QC＝3＋x． 由AP＝QC＝a，求得x＝0.5，a＝7． ∴BE＝AB－AE＝3，BF＝BC－CF＝3， 再由勾股定理得EF＝5． 解法一、二紧扣条件，属于常规思路，关键是要想方法证明全等或相似，辅助线的添加有一定的难度．解法三是另辟蹊径，诠释条件时用运动的观点进行理解，运用了“化静为动”的数学思想，把当前问题变为熟知的问题．这种意识更能揭示问题的本质，有利于培养学生的思维能力．这里再举数例，说明如何运用化静为动的思想方法处理“静态”的问题．1．弱化条件，化静为动例1如图5，已知正方形ABCD中，DC＝12，E是CD上一点，DE＝5，AE的中垂线分别交AD.BC于点M、N，垂足为P，则_______．分析如图6，弱化中垂线条件，将P点视为AE的中点，MN是绕点P旋转的动线．通过旋转，当MN∥CD时，发现可转化为．由P为中点、PM'∥CD，可得PM'＝DE＝，则PN'＝12－＝．易证△PMM'～△PNN'，则＝．注通过旋转，让线段MN动起来，将不可比的两条线段放到可比的两个相似三角形中，巧妙地解决了问题．2．紧扣条件，化静为动例2如图7，矩形ABCD中，E.F分别在BC.AB上，且EF＝ED，EF⊥ED，求证：AE平分∠BAD．分析题中∠BAD＝90°，要证AE平分∠BAD，即证∠EAD＝45°．而由EF＝ED，EF⊥ED，可知EFD为等腰直角三角形，易知∠EFD＝∠EDF＝45°．故而将∠EAD与∠EFD和∠EDF进行转化．方法一∠EAD转化为∠EFD．如图8，将EF和ED视为互相垂直的直线构成的图形．绕点E逆时针旋转使得直线EF与直线EA重合，此时旋转后的ED交AD的延长线于点G．若能证得EA＝EG，那么问题迎刃而解．由图8，易证△EFA≌△EDG，得EA＝EG，∠EAD＝45°，所以AE平分∠BAD．方法二∠EAD转化为∠EDF．如图9，将EF和ED视为互相垂直的直线构成的图形，绕点E顺时针旋转使得直线EF与直线EB重合，易证△EBF≌△EGD．得EB＝EG，四边形EBAG为正方形，所以AE平分∠BAD．注以上通过化静为动的思想，让学生经历探索图形的变换过程，充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决．3．整合条件，化静为动例3如图10，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．分析由于条件分散，无从下手．如图10，将△CBP绕C点顺时针旋转90°到△CAP'，得CP'＝CP＝2，∠CP'A＝∠CPB，∠PCP'＝∠ACB＝90°．由条件，得．进一步得PP'2＋P'A2＝PA2，得到∠APP'＝90°．∴∠BPC＝∠AP'C＝∠AP'P＋∠CP'P＝90°＋45°＝135°．通过旋转，可把已知条件相对集中到新的直角三角形中，从而为应用勾股定理创造了条件．可见，正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率，不过在使用这一方法解题时，需注意图形旋转变换的基础，即存在相等