2021年山东省高考数学二模试卷(三) (解析版)

2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）

一、单项选择题（每小题5分）.

1.设/(z)=z,q=3+4i,z2=-2-z,则/(qp)等于()

A.1-3iB.-2+llzC.-2+7D.5+5i

2x-llogt(1-X))

2.集合4=集合8』办二—f,则集合HUB等于（）

2

A.[0,--]B.(-1,+8)c.(-1,1)D.[-1,+8)

3.已知函数f（x）的定义域是（0,+8）,满足/（2）=1且对于定义域内任意心）都有

fCxy)=f(x)+f(y)成立，那么/(2)+f(4)的值为)

A.1B.2C.3D.4

4.一个等比数列前〃项的和为48,前2〃项的和为60,则前3〃项的和为（）

A.83B.108C.75D.63

兀

5.若向量a，b满足lal=2,IW=l，且＜a，b＞=T，则＜a,-b，b＞=（）

A如7T兀兀

6B-~C-~3D-T

6.已知直线/：ax+y-2=0与G）C：(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点,则△ABC

为钝角三角形的充要条件是（)

A.ae(1,3)B.ae(2-V3,2+V3)

C.aE(2-x/3，1)U(1,2+V3)D.在(-8,2-Vs)U(24-73.Q)

7.已知函数f(x)=Acos<o)x+(p)(A>0,a）＞0,0＜（p＜iT）的部分图象如图所示，则

「7T

B.f(x)=V3cos(x+~^~)

D.f(x)=A/3COS

20

8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断,

这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为

了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉

祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至

少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为()

B.10C.12D.14

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知/(x),g(x)都是定义在R上的函数，且/(x)为奇函数，g(x)的图象关于直

线x=l对称，则下列说法中正确的有()

A.y=g(/(%)+1)为偶函数

B.y=g(/(x))为奇函数

C.尸八g(x))的图象关于直线x=l对称

D.y=/(g(x+1))为偶函数

10.如图，在正方体中，点P在线段4c上运动，则()

0__________£1

A.直线80_L平面

B.二面角4-CO-B的大小为今-

C.三棱锥P-的体积为定值

7T冗

D.异面直线AP与4。所成角的取值范围是[一“，—]

11.已知实数a,6满足a2-ab+b=0(a>l),下列结论中正确的是()

A.b24B.2«+b28C.->1D.ab,

12.在平面直角坐标系xO)，中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，准线为/,过点尸且斜

率大于0的直线交抛物线C于4,8两点(其中4在8的上方)，过线段4B的中点M

且与x轴平行的直线依次交直线CM,OB,/于点尸，Q,N.则()

A.\PM\^\NQ\

B.若P,Q是线段例N的三等分点，则直线AB的斜率为2两

C.若P,。不是线段MN的三等分点，则一定有IPQAIOQI

D.若P,0不是线段的三等分点，则一定有WQI>IOQ

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知二项式(34-工)”的展开式中，所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数

X

项是.

14.如图，某湖有一半径为100机的半圆形岸边，现决定在圆心。处设立一个水文监测中心

(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数

据更加准确，在半圆弧上的点8以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足

AB=AC,ZBAC=90°.定义：四边形QAC8及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；

15.已知直线丁=履是曲线、=外的切线，也是曲线y=/〃x+机的切线，则实数4=,

实数团=.

16.已知函数f(x)=log：G1'*x)T—+2,xeR,若三8E[0,使关于e的不

2+12

等式/(2sin。cos0)+f-2sin0-2cos0-m)V2成立，则实数机的范围为.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

*

17.已知数列｛4｝的前”项和为Sn(nEN).

(1)若｛。〃｝为等差数列，S]]=165,%+。8=28,求｛〃〃｝的通项公式；

(2)若数歹!!｛S“｝满足/S[*$2+…,Sn=3n+5,求s”.

18.在平面四边形ABC。中，Afi=4,AO=2&,对角线AC与BQ交于点E,E是8。的

中点，且正=2丽.

TT

(1)^ZABD=—,求8c的长；

(2)若AC=3,求cos/BAD

19.近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商

品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对

Q7

商品的好评率为含，对服务的好评率为心■,其中对商品和服务均为好评的有80次.

(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好

评的次数为随机变量X,求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.

参考公式：独立性检验统计量K2=?—:内卑,02―其中〃=°+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：

P(心》即)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.如图，在四棱锥S-ABC。中，四边形ABC。是边长为2的菱形，ZABC=60°,NASD

=90°,且SC=2.

(1)证明：平面SA。，平面ABC。；

(2)当四棱锥S-ABC。的体积最大时，求二面角8-SC-Q的余弦值.

21.己知椭圆C：号+人＞0)的一个焦点为(-塞,Q),且过点(1,坐')•

(1)求椭圆c的方程：

(2)设4(-a,0),A2(a,0),B(0,%),点M是椭圆C上一点，且不与顶点重

合，若直线A声与直线A2M交于点P,直线4眼与直线交于点。，求证：曲PQ为

等腰三角形.

22.已知函数/(x)=ex-ax-1,g(x)=kxi.

(1)当。＞0时，求/(x)的值域;

(2)令a=l,当x€(0,+8）时，f（Y）-K恒成立,求女的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设/(z)=z,4=3+4。z2=-2-z,则/(4-Z2)等于()

A.1-3iB.-2+llzC.-2+iD.5+5z

解：Zj=3+4z,z2=-2-i,

则Z]-q=5+5i,

■:f(z)=z,

则/(Zj--)=q-z2=5+5i.

故选：D.

2.集合A={x竺[WO},集合8={力=\|1°%_(1->)},则集合AUB等于()

X+1V2

A.[0,&B.(-1,+8)C.(-1,1)D.[-1,+8)

解：...A={x|T<x4-^},B={x|logjJl-x)>0)={加<1_xWl}={xlO«l},

2

：.AUB=(-1,1).

故选：c.

3.已知函数f(x)的定义域是(0,+8),满足/(2)=1且对于定义域内任意x,y都有

f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么/(2)+f(4)的值为()

A.1B.2C.3D.4

解：V/(4)=/(2X2)(2)+f(2)=2/(2),

：.f(4)=2.

：.f(2)+f(4)=1+2=3,

故选：C.

4.一个等比数列前"项的和为48,前2〃项的和为60,则前3"项的和为()

A.83B.108C.75D.63

解：等比数列的第一个〃项的和为：48,第二个"项的和为60-48=12

...第三个〃项的和为：12X：『=3

48

...前3〃项的和为60+3=63

故选：D.

_______—兀,

5.若向量a，b满足以=2，I»=1，且<a，b>=_7T>则<a-b，b>=()

5兀7T7T71

A•丁B-Tc-TD-T

解：因为向量bf南足以=2,IH=l，月.<a，b>=■，

-'''a-bl=V(a-b)2=Va2-2a-b+b

—♦—•

(a-b)・b2XIXy-l

・.cosV@-b，b>=

V3X1

又因为向量的夹角。6[0,nJ.

—»—►—*)I

•,v@-b，b>=~^~，

故选：B.

6.已知直线/：ax+y-2=0与OC：(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点，PJijAABC

为钝角三角形的充要条件是()

A.aE(1,3)B.aG(2-V3，2+A/3)

C.ae(2-6，1)u(1,2-fVs)D.a€(-8,2-73)U(2+73)心)

解：0C：(x-1)2+(y-a)2=4的圆心为C(1,a),半径r=2,

-

|a+a-2|2|al|

故点C到直线/：ax+y-2=0的距离为广寸％才f，

又CA=CB=2,

因为△48C为钝角三角形,

故AC2+BCKAB2,即4+4<16

a4+l

化简可得42-4〃+1V0,

解得2-6＜女＜2+近，

当三点A,B,C共线时，有a+a-2=o,即a=l,此时△ABC不存在,

所以△ABC为钝角三角形的充要条件是ae（2-73，1）U（1,2+JE）.

故选：C.

7.已知函数f(x)=Acos(a)x+(p)（A>0,a）>0,0<（p<n）的部分图象如图所示，则

l7T

B.f(x)=V3cos

0

j■■-X冗

D.f(x)=\3cos(—+-T-)

2b

解：由图知，A=«,

把点(0,"I*)代入/(x)得,V3cos(p=-|-,・・.cos(p=夸，・・・<p€(0,n)TT

•«cp—,

6

:・f(x)=V3cOS(CDX-K^-)

0

5兀l,,5兀兀5兀兀

把点(c,-y3)代入得，cos(仔3+-^)=-1,/.-r-0)+-7-=TT+2^K,keZ,

i3030

.16,,=

..u>=—+—k,k&l,

2.b

Vo)>0,.*.a)=—,

九

/./(x)=V3LcOS(—1X+-T-),

20

故选：D.

8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断,

这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为

了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉

祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至

少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

解：根据题意，分2种情况讨论：

①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，

②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C3IX2=6

种安装方案，

则有2+6=8种不同的安装方案,

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知/(x),g(x)都是定义在R上的函数，且/(公为奇函数，g(x)的图象关于直

线x=l对称，则下列说法中正确的有()

A.y=g(/(x)+1)为偶函数

B.y=g(/(x))为奇函数

C.y=f(g(x))的图象关于直线x=l对称

D.y=/(g(x+1))为偶函数

解：根据题意，/(X)为奇函数，则-X)=-f(X),g(X)图象关于直线X=1对

称，则g(1-X)=g(l+x),

据此分析选项：

对于A,对于y—g(/(x)+1),g(/(-x)+1)—g(1-/(x))—g(/(x)+1),

则函数y=g(/(x)+1)为偶函数，A正确；

对于B,对于y—g(/(x)),有g(/(-x))—gC-f(x))W-g(y(x)),不是

奇函数，8错误；

对于C,g(x)图象关于直线x=l对称，则函数(g(x))图象关于直线x=l对称，

C正确；

对于£>,g(x)图象关于直线x=l对称，则g(l-x)=g(l+x),对于y=/(g(x+1)),

有/(g(-x+l))=f(g(x+1)),则/(g(x+1))为偶函数，O正确；

故选：ACD.

10.如图，在正方体中，点P在线段81c上运动，则()

A.直线B0_L平面A|CQ

B.二面角片-CC-B的大小为子

C.三棱锥P-A|CQ的体积为定值

7T兀

D.异面直线4P与所成角的取值范围是[一尸，—]

142

解：如图，

在A中，•.,4£_L8Q1,4|C|_LB81,8々尸84=%,

.♦.A£_L平面同理，

•.•4£。。£=£,."已上平面A£D,故A正确；

在8中，由正方体可知平面々a）不垂直平面48C。，故8错误：

在C中，：4。〃片。，AQu平面AC。，qCC平面AG。，；.B|C〃平面41CQ,

•.•点P在线段4c上运动，到平面A,。的距离为定值，

又的面积是定值，，三棱锥P-A'Q的体积为定值，故C正确；

在。中，当点P与线段B}C的端点重合时，异面直线AP与A}D所成角取得最小值为

兀7T

故异面直线AP与所成角的取值范围是L，—],故。错误，

故选：AC.

11.已知实数a,匕满足。2-浦+。=0(a>l),下列结论中正确的是()

A.b24B.2a+b28C.--4y-1D.

解：实数4，b满足02-岫+/?=0(a>l),

A..=-^-二21l：L=q+]+—^-="—[+-^-+2%/(&-1).—^-+2=4,当且仅当a

a-1a-1a-1a-1Va-1

=2时取等号，因此正确；

B.2a+6=2a+a+l+-^~=3(。-1)+-^-+4>2./3(3-1)-^-+4=2A/3+4,当且仅当a

a-1a-1Va-1

=1+苧取等号，因此不正确:

Iilla-l1910

C.:.—C(0，1)»-+丁=~~2-=--2~+~=-(--1)+1V1,因此不

aabaa4,aaa

正确；

2332x2

D,ab=a*a-=--,令/(x)=工1,(x>1).f'(X)

a-la-lx-1(x-1)2

2

可得时，函数/CO取得极小值，即最小值.

f(3)=J£=27

723i4'

T-1

/./(x)》■卷，即因此正确.

故选：AD

12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：*=4x的焦点为F,准线为/,过点B且斜

率大于0的直线交抛物线C于4,8两点(其中A在B的上方)，过线段4B的中点M

且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,/于点尸，Q,N.则()

A.\PM\=\NQ\

B.若P,。是线段的三等分点，则直线AB的斜率为久历

C.若P,。不是线段MN的三等分点，则一定有1尸。1>10。1

D.若P,。不是线段MN的三等分点，则一定有INQAIOQI

解：抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为y=&(x-1),k>0,

Aa/片),B(x2，y2),

(尸k(x-l)4

由，2，得皿2-(2^2+4)x+k2=0,贝i]X1+x,=2+—q,xtx,—1,

,y=4x-k

Xi+x222

•••%=-2-9=1+乏’%=k(Xm'1)=~,直线MN的方程为y=,

VO,P,4共线，

.XpYpX]/p2X[y,_丫1

-Xp_

"yt'~yt2kyj~~2k'

y

同理x=—?M

Q2k

了1+V2/2

===2>

^-2^Tk

22

X+X

XM+XR=-1=~2=PQ^

KK

•\XM-xp=xQ-XN，即IMPI=WQI,A正确；

若尸，。是线段"N的三等分点，则

打~21212

(2)

2kYV

4(k2+l)

X72=~ir-

4

又)1+丫2=2)6=工，y?2=h又I-D(x2-1)=kz(x]x2-X1-x2+l)=-4,

=4(4±1),解得&=2废,

(Vfc>0),B正确;

3k

k2+2±2Hl卜2+2-2^k2+l

由k2X2-(2Q+4)x+fc2=0,得x,2'X2="2

kk

2

•••)'2=&(々7)=2-2^1yg=i-Vk+i

X

，Q2kk2

J245k2-272l

又％=为=看,(-笆a«)2k+

kk2

2

7i-y22A/1+k

\PQ\=—_-=—-~-

2kk29

5k2+2-27i^7j-4(l+k2)(在2―-3)

k4k4

当人>2&时，\OQ\>\PQ\,C错误；

2

由图可知INQIWI,而IOQIN%=T，只要0VkV2,就有IOQ>1>WQI,。错误,

K

故选：AB.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知二项式(34-上)”的展开式中，所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数

X

项是一1215.

解：♦.•二项式(34-工)”的展开式中，所有项的系数之和为2“=64,••.“=6.

X

V-31

・••它的通项公式为r+I=Cg-(-1)r-36

令3-争=0,可得，=2,

故二项式(3^-—)”的展开式的常数项为吟34=1215,

故答案为：1215.

14.如图，某湖有一半径为100，”的半圆形岸边，现决定在圆心。处设立一个水文监测中心

(大小忽略不计)，在其正东方向相距200皿的点A处安装一套监测设备.为了监测数

据更加准确，在半圆弧上的点8以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足

AB=AC,NB4C=90°.定义：四边形。4cB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；

设NA08=a则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_(10000遥+25000)11?_.

解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形zMBC和三角形△AOB的面

积之和，

SAAOB=?2**0AXOBXsin9=1OOOOsinQ；

在三角形AA08中，AB2=OBI+OA2-208XOAXcos。=50000-40000cose,

112

三角形AABC为等腰直角三角形，；.sAABC而就XAC=yAB=25000-20000cos0,

所以“直接监管覆盖区域”面积为s.nR+sARr=25000+1OOOOsinS-2OOOOcos0=

25000+10000V5sin(0-a),其中tana=2,

当sin(0-a)=1时，面积取得最大值为25000+1000班，

故答案为：25000+10000/5.

15.已知直线尸区是曲线尸经的切线，也是曲线y=/〃x+机的切线，则实数％=e,实

数m=2.

解：对于y=ex,设切点为(〃，en),

因为y'=ex,故切线斜率％=e〃，

故切线方程为y-(x-n),由已知得切线过(0,0),

所以-(-九)，故〃=1,所以4=e.

对于y=x+加，设切点为(c,Inc+m),

所以/二工，因为切线为y=ex,得y‘L=r^-=e,

xx-cc

所以所以切点为(1,1),代入尸勿x+〃7得l=lnL+ir,

eee

所以m=2.

故答案为：e；2.

7

16.已知函数£々)=1。8；/^也)"一+2,XGR,若m8E[o,使关于0的不

2+12

等式/(2sin8cosO)+/(4-2sin0-2cos0-/H)V2成立，则实数加的范围为m>2.

解：令g(x)=f(x)-1=log]"'一—+1,

2+1

则g(-X)=f—)-1=1熊"+'F)-zf—+1,

2+1

22X2女

而g(x)+g(-x)=log9l+2------------=0,

'2、+12XH

所以g(x)是奇函数，而log；nr、)在R上单调递增，二萨；“在R上单调递增，

zN十1

所以g(x)是在R上的单调递增函数且为奇函数，

而f(2sin0cos0)+f(4-2sin0-2cos0-次)<2可变形成了(2sin0-cosO)-1<1-f(4

-2sin0-2cos0-加),

即g(2sin6cosO)<-g(4-2sin0-2cos0-m)=g(2sin0+2cos6+^i-4),

兀

由g(x)是在R上的单调递增函数，则三6€[0-丁]使关于。的不等式2sine-cose

<2sin0+2cos0+/M-4成立，

即-tn<2(sin0+cos0)-2sin0cos9-4,

兀7T

设t=sin0+cos0=V2sin(0+-^-),8E[0,-7^-],则teElsV21，2sin6cos0=/2

-1,

令h(r)=2t-(n-1)-4=-n+2r-3=-(r-1)2-2,retl,&],贝〃(r)的

最大值为-2,

所以-mV-2即机>2.

综上所述：实数机的范围为m>2.

故答案为：相>2.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛4｝的前〃项和为Sn(nEN).

(1)若｛%｝为等差数列，S“=165,%+&=28,求｛%｝的通项公式；

(2)若数例J｛S,J满足/S[*S2+…吃S“=3n+5,求s..

【解答】(1)由题意可设等差数列的公差为“，

"11ai+55d=165ra,=5

贝MCCC，解得<，二4=2〃+3;

2a1+9d=281d=2

(2)当”=1时，■^■S[=8,，4=5]=16,

当n》2时，3sl崇Sa+…寸S；3n+5,①

乱盅2+~^^75大「3"2,②

n

①-②得，^-Sn=3,.-.Sn=3'2,

当〃=1时，S]=16不适合上式,

[16,n=l

s=<

nI3'2n,n>2

18.在平面四边形4BCD中，AB=4,A£>=2对角线AC与8。交于点E,E是8。的

中点，且正=2的.

7T

(1)若NABO=-r，求8c的长；

4

(2)若AC=3,求cos/BAD

解：(1)在中，由余弦定理知，A£>2=A82+B£>2-Z48・8£>・COS/ABD,

二8=I6+BD2-2・4・B£>・co?，化简得BD「4\/^。+8=0,

解得8。=26,

E是30的中点，BE*BD=®,

在△ABE中，由余弦定理知，AE2=AB2+BEI-2AB-BE-cosZABD^\6+2-2X4X\/2X

率=10,

2

.♦.AE=V15,

一一33A/10

VAE=2BC>-'-AC=—AE=---,

AB2+AE2-BE216+10-2

由余弦定理知，cos/84C==,

2AB-AE2X4XV10VT0

在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2ABMUcosNA4c=16+(当至)2-2

3。1035

X4X-X7T5=T

2

(2)-：AC=3,AE=2EC--'-AE=2,

,：NAEB+NAED=%

cosZAEB=-ZAED,

设BE=DE=x,

22222

nn]AE+BE-AB_人/+口胪…MP4+X-16_4+X-8

2AE-BE~~2AE-DE'2-2x2-2x

解得x=2«,

:.BD=2BE=4®,

16+8-32亚

在△中，由余弦定理知，COS

4BO/8A£>=ABRD二BD-

2AB,AD2X4X26=V

19.近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商

品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对

Q7

商品的好评率为含，对服务的好评率为木，其中对商品和服务均为好评的有80次.

31U

(1)是否可以在犯错误概率不超过0」的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好

评的次数为随机变量X,求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.

参考公式：独立性检验统计量R=—呼叫__其中”=a+Hc+d

7(a+-b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：

P(心》勺)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：(1)由题意可知关于服务与评价的2X2列联表

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评8040120

对商品不满意602080

合计14060200

2

^=20QX(80X20-40X6Q)=1587

140X60X120X80

所以不可以在犯错误概率不超过0」的前提下，认为商品好评与服务好评有关;

2

⑵每次购物时，对商品和服务都好评的概率叼且X的取值可以是。,1,2,3,4,

P(X=0)=(卷)4=/；

P(X=1)=嘴12X

P(X=2)=C：停产(“2—空

-54；

P(X=3)=需尸x|_等;

P(X=4)=/)4=^

故X的分布列为：

X01234

p812162169616

FFFF54

9

由于X〜8(4，w),

28

E(X)=4X—=—.

20.如图，在四棱锥S-48C。中，四边形A8C。是边长为2的菱形，N48C=60°,ZASD

=90°,且SC=2.

(1)证明：平面S4O_L平面A8CQ：

(2)当四棱锥S-ABC。的体积最大时，求二面角5-SC-。的余弦值.

解：(1)证明：如图，取A。的中点O,连接SO、CO.AC,

ZADC=ZABC=60°,且AD=OC,

又AQ=C£>=2,则△ACO为正三角形，：.COLAD,CO=J§,

又•.•/4SO=90°,.•.△AS。为直角三角形，.•.SO=/AD=1,

在AACS中，CO2+SO2=SC2,贝iJCOLSO,

又A£>nSO=。，AD,SO平面AOS,

?.CO_L平面ADS,

又,；COu平面A8CD,平面SAO_L平面A8CD

(2)VZA5D=90°,则点S在以4。为直径的圆上，且SO=1,

设点S到平面ABCD的距离为d,：.V5ABCO=4'S矩形JUBCD玉，

o

而5矩形s=2x/x2X2Xsin60。=26，

，当d取最大值时四棱锥5-ABCD的体积最大，

此时SO_L平面A8C。，

又由(1)可知COLAZ),如图建系，

则8(V3>-2,0),S(0,0,1),C(V3，0,0),。(0,1,0),

则函=(-VS，2,I),SC=(愿，0,-1),SD=(0,1,-1),

设平面SBC的法向量为7=(x，y,z),

m•SC=V3x_z=0

设平面SCO的法向量为1=(a,b,c),

n,SC=(/§a-c=0一「「

则_____,取“=1,得门=(1,近，,)，

rfSD=b-c=0

m・n4一2^7

则cosVms

n>—ImI•|n|2VV7

设二面角8-SC-。的平面角为仇经观察0为钝角,

niI八|m•n|2>/7

贝(Jcos0=-—~t=-----,

ImrInIf

故二面角B-SC-D的余弦值为-2f.

22rr

21.已知椭圆C；三座万=1(4>b>0)的一个焦点为《一a，0),且过点(1,浮).

a"b'2

(I)求椭圆c的方程;

(2)设A(-a,0),A2(a,0),B(0,b),点M是椭圆C上一