2024届北京大附属中学数学九年级上册期末统考试题含解析

2024届北京大附属中学数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.二次函数y=3（x+4）2-5的图象的顶点坐标为（）

A.（4,5）B.（-4,5）C.（4,-5）D.(-4,-5)

S

2.如图，OE是AABC的中位线，则q△血的值为（)

»四边形AEDC

2

5

3.•—元二次方程χ2-8χ-1=0配方后为()

A.(χ-4)2=17B.(χ+4)2=15

C.(χ+4)2=17D.(X—4)2=17或(X+4)2=17

4.不等式组8-4二。的解集在数轴上表示为（）

5.图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形.将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改

变的是（）

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.主视图、俯视图和左视图都改变

6.小明同学对数据26,36,46,5・，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则分

析结果与被涂污数字无关的是（)

A.平均数B.方差C.中位数D.众数

7.已知X=I是关于X的一元二次方程/+如+〃=（）的解，则〃?+〃等于（）

A.1B.-2C.-1D.2

8.已知二次函数y=aχ2+2ax+3a2+3（其中X是自变量），当x≥2时，y随X的增大而增大，且-2≤x≤l时，y的最大值为

9,则a的值为（）

A.1或—2B.-√2sK√2C.√2D.1

9.已知圆锥的母线长为4,底面圆的半径为3,则此圆锥的侧面积是（）

A.6πB.9πC.12πD.16π

10.下列方程中，关于X的一元二次方程的是（）

A.x+'=2B.ax2+bx+c=0

X

C.（X-2）（X-3）=0D.2x2+y=l

11.如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易

额为48.4万元，设2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为X,则根据题意可列方程为（）

A.40（17）2=48.4B.48.4（17）2=40

C.40（1+%）2=48.4D.48.4（1+x）2=40

12.如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线V=X上，其中点A的横坐标为1,

且两条直角边AB,AC分别平行于X轴、轴，若反比例函数y=幺的图象与AABC有交点，则人的取值范围是

X

().

A.∖<k<2B.l≤Ar≤3C.1≤^<4D.1≤⅛≤4

二、填空题（每题4分，共24分）

13.线段α=2,匕=3的比例中项是.

14.如图，在RtZ∖ABC中，NACB=90。，CZ>_LAB于点O,如果CO=4,那么AO∙At>的值是

BD

15.为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午

餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买

到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的

人就会减少80%.在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午

餐，至少要同时开多少个窗口.

16.为了解早高峰期间A,B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班

高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：

等待时的频数间

乘车等待时间5<t≤1010<t≤1515<t<2020<t<2525<t≤30合计

地铁站

A5050152148100500

B452151674330500

据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为；夏老师家正好位于A,B两地铁

站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从地铁站上车.（填"A”或"B”）

17.已知：£=2,则幺W的值是_____.

b3a+2b

18.设二次函数y=∕-2x-3与X轴的交点为A,B,其顶点坐标为C,贝IjAABC的面积为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）某小型工厂9月份生产的A、8两种产品数量分别为200件和100件，A、3两种产品出厂单价之比为

2:1,由于订单的增加，工厂提高了A、8两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产

品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是

A产品出厂单价的增长率的2倍，设3产品生产数量的增长率为X（x>0）,若10月份该工厂的总收入增加了4.4x,

求X的值.

20.（8分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统

计分析，绘制了频数分布表和频数直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中a=,b=；

（2）将频数直方图补充完整;

(3)如果该校九年级共有女生360人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？

(4)已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则

所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

分组频数频率

第一组<0<x<15)30.15

第二组(15<x<3O)6a

第三组(30WXV45)70.35

第四组(4SGV60)b0.20

21.(8分)如图，在RtAABC中，NACB=90。，AC=BC=4cm,点P从点A出发以km/s的速度沿折线AC-CB

运动，过点P作PQLAB于点Q,当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS,设正方形PQRS

与AABC的重叠部分面积为S,点P的运动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示CP的长度；

(2)当点S落在BC边上时，求t的值；

(3)当正方形PQRS与AABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式;

(4)连结CS,当直线CS分AABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值.

22.(10分)解方程：√+4x-5=0.

23.(10分)“十一”黄金周期间，西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25

人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于70()元)，设有X人参

加这一旅游项目的团购活动.

⑴当x=35时,每人的费用为元.

(2)某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.

24.(10分)在平面直角坐标系中，AABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).

y小

(1)画出AABC关于原点对称的ΔA‘B'C'

(2)将ΔA'B'C绕4顺时针旋转90，画出旋转后得到的∆ABC',并直接写出此过程中线段AC,扫过图形的面积.

(结果保留》)

25.(12分)如图1,将边长为2的正方形。LBC如图放置在直角坐标系中.

(1)如图2,若将正方形。LBC绕点。顺时针旋转30。时，求点A的坐标；

(2)如图3,若将正方形。4BC绕点。顺时针旋转75°时，求点3的坐标.

26.某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组

进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小

组各项得分如下表：

小组研究报告小组展示答辩

甲918078

乙817485

丙798390

(1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序:

（2）如果按照研究报告占40%,小组展示占30%,答辩占30%,计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高?

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标.

【详解】∙.∙二次函数y=3（x+4f-5

.∙.该函数图象的顶点坐标为（-4,-5）,

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式丁=。（了-〃）2+上的顶点坐标为（h,⅛）.

2、B

【分析】由中位线的性质得到DE〃AC,DE=ɪAC,可知ABDEsZkBCA,再根据相似三角形面积比等于相似比的

2

ς1S

平方可得从而得出《"BDE的值.

【详解】；DE是aABC的中位线，

，DE〃AC,DE=LAC

2

Λ∆BDE^∆BCA

・tSjAffDE_1

S四边形AEDC3

故选B.

【点睛】

本题考查了中位线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.

3、A

【解析】8x—1=0,移项，得x2—8x=l,配方，得*2—8χ+42=l+42,即(χ-4)2=17.

故选A.

点睛：配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次

项系数一半的平方.

4、B

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则

即可得答案.

’2x-1≤5①

【详解】解:

’8-4x<0②

解不等式2χ-1W5,得：x≤3,

解不等式8-4XV0,得：x>2,

故不等式组的解集为：2Vx≤3,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于

向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键.

5、A

【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组

合体进行判断，可得答案.

【详解】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层

左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；

②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正

方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；

所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，

故选：A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看

到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图.

6,C

【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断.

【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为46,与被涂污数字无关.

故选：C.

【点睛】

本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数和众数的概念.掌握以上知识是解

题的关键.

7、C

【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把X=-I代入方程就得到一个关于m+n的方程，

就可以求出m+n的值.

【详解】将X=I代入方程式得l+m+n=O,

解得m+n=-l.

故选：C.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题.

8^D

【解析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>O,然后由-2≤x≤l时，y的最大

值为%可得x=l时，y=9,即可求出a.

【详解】Y二次函数y=aχ2+2ax+3a2+3(其中X是自变量)，

.∙.对称轴是直线x=--=-l,

2a

∙.∙当x≥2时，y随X的增大而增大，

Λa>O,

∙.∙-2≤x≤l时,y的最大值为9,

.∙.x=l时，y=a+2a+3a2+3=9,

Λ3a2+3a-6=0,

.∖a=l,或a=-2(不合题意舍去).

故选D.

【点睛】

h48—h?b

本题考查了二次函数的性质，二次函数y=aχ2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是),对称轴直线x=--,

la4α2a

b

二次函数y=aχ2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=ax?+bx+c(a≠0)的开口向上，x<-一时，

2a

y随X的增大而减小；χ>-2时，y随X的增大而增大；χ=-2时，y取得最小值4"一J即顶点是抛物线的最低

2a2a4a

bb

点.②当aVO时，抛物线y=aχ2+bx+c(a≠O)的开口向下，x<-一时，y随X的增大而增大；x>・丁时，y随X的

2a2a

增大而减小；X=-2时，y取得最大值皿土，即顶点是抛物线的最高点.

2a4。

9,C

【分析】圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半.依此公式计算即可.

【详解】解：底面圆的半径为3,则底面周长=6τr,侧面面积=1X6KX4=127Γ,

2

故选C∙

考点：圆锥的计算.

10、C

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次

方程.

【详解】解：4、X+1=2不是整式方程，不符合题意；

X

B、αx2+Z>x+c=0不一定是一元二次方程，不符合题意；

C、方程整理得：χ2-5x+6=0是一元二次方程，符合题意；

。、2x2+y=l不是一元二次方程，不符合题意.

故选：C.

11、C

【分析】由2015年至2017年“双H^一”交易额的年平均增长率为X,根据2015年及2017年该网店“双^^一”全天交易额,

即可得出关于X的一元二次方程，从而得出结论.

【详解】解：由2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为X,

根据题意得：40(1+X)2=48.4.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列一元二次方程是解题的关键.

12、D

【解析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作X轴的垂线，垂足为D、F,则A(1,1),而AB=AC=2,则B

(3,1),ZXABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与aABC有唯一交点时，

这个交点分别为A、E,由此可求出k的取值范围.

解：∙.∙AC=BC=2,NCAB=90°.A(L1).又W=X过点A,交BC于点E,：•EF=ED=2,

.∙.E(2,2),.∙.1≤攵≤4.故选D.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、√6

【分析】根据比例中项的定义，若b是a,c的比例中项，即b2=ac∙即可求解.

【详解】解：设线段C是线段a、b的比例中项，

・\c2=ab,

Va=2,b=3,

∙*∙c=，2X3=∖[b

故答案为：√6

【点睛】

本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负.

14、1

【分析】先由角的互余关系，导出NOC4=N8,结合/8。C=NCfM=90°,证明CDS4ɑo,利用相似三角

形的性质，列出比例式，变形即可得答案.

【详解】解：VZACB=Wo,CfLLA8于点O,

ΛZBCZ）+ZOCA=90o,NB+NBCD=90°

：.NDCA=NB,

又∙.∙NBQC=NCZM=90°,

ABCDSACAD,

：.BD：CD=CDiAD,

.,.AD∙BD=CD2=42=1,

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.

15、9

【分析】设每个窗口每分钟能卖X人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为Z人，并设要同时开〃个窗口，根

据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在15分钟

内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情

况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂10分钟内卖完午餐，可列出不等式求解.

【详解】解：设每个窗口每分钟能卖X人的午餐，每分钟外出就餐有>人，学生总数为Z人，并设要同时开“个窗口，

依题意有

45X=Z—45y①

<2x30X=Z-3Oy②,

10HX..2-10(1-80%)Λ(3)

由①、②得N=X,z=90x,代入③得10ΛX.90X-2x,

所以〃..8.8.

因此，至少要同时开9个窗口.

故答案为：9

【点睛】

考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程

用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟"个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键.

1

16、-B

5

【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；

先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案.

【详解】；在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50=100人，

.∙.在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为⑼=

5005

TA线路不超过2()分钟的有50+50+152=252人，

B线路不超过20分钟的有45+215+167=427人，

.∙.选择B线路，

故答案为：—,B.

【点睛】

此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

1

17、——

2

【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

2

【详解】解：由:=—,可设a=2k,b=3k,(k≠0),

b3

乂a-2b2k-2×3k-4k1

故：------=----------=——=一一,

b+2b2k+2×3kSk2

故答案：一二.

2

【点睛】

此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.

18、1

【解析】首先求出A、8的坐标，然后根据坐标求出A8、B的长，再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】解：Vj=X2-2X-3,设y=0,

.*.0=x2-2x-3,

解得：Xl=3,X2=-1,

即A点的坐标是(-1,0).8点的坐标是(3,0),

Vj=X2-2X-3,

=(X-D2-4,

••・顶点C的坐标是(1,-4),

.,.∆ABC的面积=—×4×4=1,

2

故答案为1.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的

能力，题目比较典型，难度适中.

三、解答题(共78分)

19、5%

【分析】根据题意，列出方程即可求出X的值.

【详解】根据题意，得

2(1+2x)×200(1+2x)+(1+4x)×100(1+x)=(2×200+1×100)(1+4.4x)

整理，得20d一X=O

解这个方程，得须=5%,X2=O（不合题意，舍去）

所以X的值是5%.

【点睛】

此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.

20、（1）0.3,4；（2）见解析；（3）198；（4）P=-.

2

【分析】（1）由第一组的频数和频率得到总人数，乘以0.2即可得b的值，用1-0.15-0.35-0.20可得a的值;

（2）根据表格中第二组的数据将直方图补充完整;

（3）利用样本估计总体的知识求解即可得答案;

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率

公式即可求答案.

【详解】解：(1)a=l-0.15-0.35-0.20=0.3；

总人数为：3÷0.15=20（人）,

b=20×0.20=4(Λ);

故答案为：（）.3,4；

（2）补全统计图如图:

⑶估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：360x（0.35+0.20）=198（人）；

（4）画树状图得:

开始

第一组

第四组甲甲甲乙甲甲甲乙甲甲甲乙

∙.∙共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有6种情况,

.∙.所选两人正好都是甲班学生的概率p=1∣=∣

【点睛】

本题考查统计图与概率的计算，找到统计图中数据的对应关系是解题的关键.

-t

Q2

21、(1)当0VtV4时，CP=4-t,当4≤tV8时，CP=t-4i(1)-；(3)S=〈

3

【分析】(1)分两种情形分别求解即可.

(1)根据PA+PC=4,构建方程即可解决问题.

Q

(3)分两种情形：如图1中，当O<t≤g时，重叠部分是正方形PQRS,当4VtV8时，重叠部分是APQB,分别求

解即可.

逑时，满足条件.如图4-1中，当AE

(4)设直线CS交AB于E.分两种情形：如图4-1中，当AE=-AB

33

2

=IAB时，满足条件.分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)当0VtV4时，:AC=%AP=t,

/.PC=AC-AP=4-t;

当4≤tV8时，CP=t-4;

(1)如图1中，点S落在BC边上，

AQRB

图1

VPA=t,AQ=QP,NAQP=90°,

/.AQ=PQ=PS=-1,

2

VCP=CS,ZC=90o,

1

ΛPC=CS=-t,

2

VAP+PC=BC=4,

1

∙*∙H—1=4,

2

(3)如图1中，当0<t≤?时，重叠部分是正方形PQRS,S=(Yzt)l=-

322

图3

/2[°<A，3

综上所述，S=V)

,(8-/)2(4<r<8)

、2

VPS/7AE,

.PS_CP

∙*A£^CA

4√2-4

3

Q

解得t=g∙

2

如图4-1中，当AE=§AB时，满足条件.

图4-2

4-t冬

同法可得：彳=品'

3

解得t=—>

综上所述，满足条件的t的值为I或3.

【点睛】

此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定

与性质是解本题的关键.

22、%=-5,%2=ɪ

【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.

【详解】解：原方程变形为(x—l)(x+5)=0

♦.X］=­5,%2=ɪ∙

【点睛】

此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.

23、(1)800；(2)该社区共有30人参加此次“西安红色游”

【分析】(1)当x=35时，根据“若总人数不超过25人，每人收费IoOo元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收

费降低20元，(但每人收费不低于700元)”可得每人的费用为IOOO-(35-25)x20=800元；

(2)该社区共支付旅游费用27000元，显然人数超过了25人，设该社区共有X人参加此次“西安红色游”，则人均费

用为［1000-20(X-25)］元，根据旅游费=人均费