苏科版七年级数学下册《高分突破 培优新方法》 专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型（含答案）

专题03平行线模型-“骨折”和“抬头”模型专题说明专题说明学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。【模型刨析】模型三“抬头”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【类型一：“骨折”模型】【典例1】(2023春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．【变式1-1】(2023秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°【变式1-2】(2023秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是．【变式1-3】(2023春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【类型二：“抬头”模型】【典例2】(2023春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．【变式2-1】(2023•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【变式2-2】(2023春•江夏区校级月考）如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．（1）如图1，求证：∠P＝∠PEB﹣∠C；（2）如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；（3）如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN＝n∠CPN、∠DCN＝n∠PCN，当2∠CNP﹣∠PEA＝180°恒成立时，n＝1．【变式2-3】(2023春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．【夯实基础】1．(2023春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．2．(2023•成武县校级开学）如图，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝135°．求∠C的度数．3．(2023春•榆次区期中）综合与实践【问题情境】在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．【初步探究】（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；【深入探究】（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是；A．∠1+∠2＝∠3B．∠3+∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠3﹣∠2＝180°D．∠3+∠2＝2∠1【拓展应用】（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝．4．(2023春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．5．(2023春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．【能力提升】6．(2023春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．7．(2023春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．专题03平行线模型-“骨折”和“抬头”模型专题说明专题说明学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。【模型刨析】模型三“抬头”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【类型一：“骨折”模型】【典例1】(2023春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，∵AG∥CD，∴∠CDE＝∠AGE＝60°，∵AF∥DE，∴∠BAF＝∠AGE＝60°；方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，∵AF∥DE，∴BM∥CN，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠3＝∠4，∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度数为60°．【变式1-1】(2023秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°答案:D【解答】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故选：D．【变式1-2】(2023秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是．答案:α+β﹣γ＝90°【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故答案为：α+β﹣γ＝90°．【变式1-3】(2023春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F；（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：如图，延长BE交DC的延长线于点M，在四边形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EMC，∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2【类型二：“抬头”模型】【典例2】(2023春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，∵∠1是△CEP的一个外角，∴∠1＝∠C+∠P，∴∠A＝∠C+∠P，∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，∴∠P的度数为46°；（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，由（1）得：∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD＝∠PAB﹣∠PCD，＝（∠PAB﹣∠PCD）＝∠P＝×46°＝23°，∴∠AQC的度数为23°；（3）∵CP∥AQ，∴∠PCQ＝∠AQC，∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，由（2）得：∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，∴2∠PCQ＝∠PAB，∴∠PCQ＝∠PAB．【变式2-1】(2023•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝【变式2-2】(2023春•江夏区校级月考）如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．（1）如图1，求证：∠P＝∠PEB﹣∠C；（2）如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；（3）如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN＝n∠CPN、∠DCN＝n∠PCN，当2∠CNP﹣∠PEA＝180°恒成立时，n＝1．【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠QPE＝∠PEB，∠QPC＝∠C，∴∠QPE﹣∠QPC＝∠PEB﹣∠C，即∠CPE＝∠PEB﹣∠C；（2）如图：设∠BEM＝α，∠CFN＝β，∵EM平分∠BEP，FN平分∠CFP，∴∠PEM＝α，∠PFN＝β，由（1）中结论可得∠P＝∠PEB﹣∠PFD，∠Q＝∠CFQ﹣∠AEQ，∴∠P＝∠PEM+∠BEM﹣（180°﹣∠CFN﹣∠PFN）＝α+α﹣（180°﹣β﹣β）＝2α+2β﹣180°，∠Q＝180°﹣∠CFN﹣∠BEM＝180°﹣β﹣α，∴2∠Q+∠P＝360°﹣2β﹣2α+2α+2β﹣180°＝180°，即2∠Q+∠P＝180°；（3）如图：与（1）同理可得，∠CPE＝∠PEB﹣∠PCD，∵∠EPN＝n∠CPN，∠EPN+∠CPN＝∠CPE，∴∠CPE＝（n+1）∠CPN，∵∠DCN＝n∠PCN，∠DCN+∠PCN＝∠PCD，∴∠PCD＝（n+1）∠PCN，∴（n+1）∠PCN＝∠PEB﹣（n+1）∠PCN，又∵∠PEB＝180°﹣∠PEA，∴（n+1）（∠CPN+∠PCN）＝180°﹣∠PEA，又∵∠CPN+∠PNC＝180°﹣∠CNP，∴（n+l）（180°﹣∠CNP）＝180°﹣∠PEA，又∵2∠CNP﹣∠PEA＝180°，∴（n+1）（180°﹣∠CNP）+2∠CNP＝360°，∴（n+1）（180°﹣∠CNP）﹣2（180°﹣∠CNP）＝0，∴（n﹣1）（180°﹣∠CNP）＝0，∴n﹣1＝0或180°﹣∠CNP＝0（不符合题意，舍法）∴n﹣1＝0，解得n＝1，故答案为：1．【变式2-3】(2023春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）如图，过点G作AB的平行线GH，∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，∵∠EPF＝α，∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．【夯实基础】1．(2023春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB．∴∠A＝∠APE＝50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠EPD+∠CDP＝180°．∵∠D＝150°，∴∠EPD＝30°．∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°．（2）∠A，∠D，∠APD之数量关系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．理由：延长BA交PD于点E．∵AB∥CD，∴∠BED＝∠D．∵∠BED+∠PEB＝180°，∴∠PEB＝180°﹣∠D．∴∠BAP＝∠P+∠BEP＝∠P+180°﹣∠D．即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．2．(2023•成武县校级开学）如图，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝135°．求∠C的度数．【解答】解：反向延长DE交BC于点M，如图：∵AB∥DE，∠B＝70°，∴∠BMD＝∠B＝70°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝110°，又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∠CDE＝135°．∴∠C＝∠CDE﹣∠CMD＝135°﹣110°＝25°．3．(2023春•榆次区期中）综合与实践【问题情境】在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．【初步探究】（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；【深入探究】（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是；A．∠1+∠2＝∠3B．∠3+∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠3﹣∠2＝180°D．∠3+∠2＝2∠1【拓展应用】（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝．【解答】解：（1）如图1，延长DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，∵∠1＝60°，∠3＝140°，∴∠2＝20°（2）如图1，延长DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，故选：C．（3）如图2，延长DC交AB于F，∵DE∥AB，∴∠3+∠CFB＝180°，∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，∵∠2＝∠1+∠DFB，∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°∵∠1＝75°，∠3＝135°，∴∠2＝120°．故答案为：120°4．(2023春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．【解答】解：（1）如图，过E作EH∥MN，∴∠N＝∠HEN，又∵MN∥AB，∴EH∥AB∥MN，∴∠B＝∠HEB，即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；（2）①如图，过F作FP∥EN，交MN于H点，则BG∥EN∥FP，∵∠N＝57°，∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，∵BG平分∠ABF，∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，∵EN∥PF，∴∠E＝∠EFP，∵∠E＝∠EFB，∴114°+∠E＝4∠E，∴∠E＝38°；②如图，过点F作FP∥AD，设∠E＝a＝∠FBD，则∠PFB＝α，∠EFP＝3α，∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，当K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，∴，∴a＝22.5°；当K在BG延长线上时，∠NGB＝，∠ABG＝，∴，∴a＝18°，综上所述，∠E＝22.5°或18°．5．(2023春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．【解答】解：（1）∠ACB＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2；（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．即∠GEN＝2∠BDF．【能力提升】6．(2023春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，∠ABE＝∠EBC，∵AB∥DC，∠ABE＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC．（2）证明：由（1）可知，∠EBC＝∠BEC，由外角性质可知，∠FEC＝∠F+∠FDC又∵∠EBC﹣∠F＝45°，∴∠FEC＝∠F+45°，∴∠FDC＝45°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∴DF平分∠ADC．（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，①当