北师大版八年级数学下册举一反三 专题6.1 平行四边形的性质-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题6.1平行四边形的性质-重难点题型【北师大版】【知识点1平行四边形的性质】平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.【题型1平行四边形的性质（求长度）】【例1】(2023春•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（）A．8 B．13 C．16 D．18【变式1-1】(2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（）A．8 B．10 C．16 D．20【变式1-2】(2023春•淮南月考）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm【变式1-3】(2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为．【题型2平行四边形的性质（求角度）】【例2】(2023•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【变式2-1】(2023春•锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（）A．35° B．30° C．25° D．20°【变式2-2】(2023春•西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．150°【变式2-3】(2023春•西湖区校级期中）如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150° B．145° C．135° D．120°【题型3平行四边形的性质（求面积）】【例3】(2023春•西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-1】(2023春•娄星区期末）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（）A．40 B．45 C．50 D．55【变式3-2】(2023春•成华区期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A．S1+S2C．S1+【变式3-3】(2023秋•海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC【题型4平行四边形的性质与坐标】【例4】(2023秋•甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为．【变式4-1】(2023秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【变式4-2】(2023秋•张店区期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（）A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）【变式4-3】(2023•商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A．3 B．4 C．5 D．10【题型5平行四边形中的最值问题】【例5】(2023春•舞钢市期末）如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-1】(2023春•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（）A．4 B．2 C．23 D．43【变式5-2】(2023春•费县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为．【变式5-3】(2023•碑林区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为．【题型6平行四边形中的折叠问题】【例6】(2023春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝．【变式6-1】(2023•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．【变式6-2】(2023•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（）A．3 B．3 C．23 D．32【变式6-3】(2023秋•锦江区校级期中）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个专题6.1平行四边形的性质-重难点题型【北师大版】【知识点1平行四边形的性质】平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.【题型1平行四边形的性质（求长度）】【例1】(2023春•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（）A．8 B．13 C．16 D．18分析：首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BF=12BE，利用勾股定理求得【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴BE＝2BF，∴BF＝12，∴AB=B∴CD＝AB＝13，故选：B．【变式1-1】(2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（）A．8 B．10 C．16 D．20分析：由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，继而可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），∴▱ABCD的周长为16，故选：C．【变式1-2】(2023春•淮南月考）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm分析：根据平行四边形的性质得到AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，求得BO+CO=12AC+1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO=12AC，BO＝DO=∴BO+CO=12AC+12BD=1∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），∴AC+BD＝2×8＝16（cm），故选：B．【变式1-3】(2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为．分析：根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，如图1，∵EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，如图2，∵EF＝2，∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，综上所述，BC的长为10或14，故答案为：10或14．【题型2平行四边形的性质（求角度）】【例2】(2023•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°分析：证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE=12∠∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，在△BAC和△AED中，AB=EA∠B=∠DAE∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，故选：C．【变式2-1】(2023春•锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（）A．35° B．30° C．25° D．20°分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠BAC＝25°，故选：C．【变式2-2】(2023春•西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．150°分析：首先利用平行四边形的对角相等和角A的度数求得∠C的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED＝∠CFB＝90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°，∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴∠EHF＝360°﹣∠C﹣∠CFB﹣∠CED＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故选：C．【变式2-3】(2023春•西湖区校级期中）如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150° B．145° C．135° D．120°分析：根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明AD＝AE＝BE＝BC，得∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，可得∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，由平行四边形的邻角互补得出方程，求出x+y＝150°，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°，∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故选：A．【题型3平行四边形的性质（求面积）】【例3】(2023春•西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．8分析：过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得S△ABE+S△CDE=12S平行四边形ABCD，S△ABE+S△CBE+S阴影=12S平行四边形ABCD，进而可得S阴影＝S△CDE﹣【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，∴S△ABE=12×AB×a，S△CDE=1∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE=12×（AB×a+CD×b）=1∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，∴S△ABE+S△CDE=12S平行四边形∵S△ABE+S△CBE+S阴影=12S平行四边形∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故选：D．【变式3-1】(2023春•娄星区期末）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（）A．40 B．45 C．50 D．55分析：连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFQ＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．【解答】解：如图，连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝15，S△BQC＝25，∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，故选：A．【变式3-2】(2023春•成华区期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A．S1+S2C．S1+分析：根据题意，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S故选：C．【变式3-3】(2023秋•海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC分析：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，∠DAN=∠BCM∠AND=∠CMB=90°∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF=12CF•BM，S△CDF=12∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故选：A．【题型4平行四边形的性质与坐标】【例4】(2023秋•甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（﹣2，﹣1）．分析：根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题．【解答】解：∵点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，∴点O是平行四边形的性质的对称中心，∵点A的坐标为（2，1），∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【变式4-1】(2023秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）分析：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．【变式4-2】(2023秋•张店区期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（）A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）分析：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可．【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则四边形EFNM是矩形，所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，∴∠EAB＝∠AQC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠AQC＝∠DCN，∴∠DCN＝∠EAB，在△DCN和△BAE中∠N=∠BEA=90°∠DCN=∠EAB∴△DCN≌△BAE（AAS），∴BE＝DN，AE＝CN，∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，∴D的坐标为（3，2），故选：B．【变式4-3】(2023•商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A．3 B．4 C．5 D．10分析：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，由四边形OABC是平行四边形，得OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可由ASA证得△OAF≌△BCD，得出BD＝OF＝1，即可得出结果．【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBCOA=BC∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD＝OF＝1，∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，故选：C．【题型5平行四边形中的最值问题】【例5】(2023春•舞钢市期末）如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∴AQ＝PC，由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，∵AB＝10，△ABC的面积是25，∴PC＝5，∴AQ＝5，故选：C．【变式5-1】(2023春•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（）A．4 B．2 C．23 D．43分析：根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∴AQ＝PC，由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，∵AB＝AC＝4，∠B＝15°，∴∠PAC＝2∠B＝30°，在Rt△APC中，AC＝4，∠PAC＝30°，∴PC＝2，∴AQ＝2，故选：B．【变式5-2】(2023春•费县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为．分析：由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，由点O是AC的中点，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE=12∵AB＝AC＝12，∵AO=12AC∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．【变式5-3】(2023•碑林区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为．分析：利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解．【解答】解：过点A作AM∥PQ且AM＝PQ，连接MP，∵AM∥PQ且AM＝PQ，∴四边形AQPM是平行四边形，∴AQ＝MP，PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小，∵AM∥PQ，AC⊥PQ，∴AM⊥AC，在Rt△MAC中，MC=AM2故答案为：213．【题型6平行四边形中的折叠问题】【例6】(2023春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝．分析：延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，从而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论．【解答】解：延长CD到点F，如图所示．∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE，∵∠ABC＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠ADE＝90°．∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，∴∠ADF＝∠EDF=12∠∴∠BDC＝∠ADF＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°．故答案为：135°．【变式6-1】(2023•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．分析：由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．∴∠D＝80°．由折叠可知∠ACB＝∠ACE，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE