专题07抛物线与阿基米德三角形（讲义）原卷版

专题07抛物线与阿基米德三角形【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：抛物线与阿基米德三角形定理：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.结论2.直线的方程为.证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.进一步，设：，则.则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.结论4..证明：由结论3，，.那么.结论5..证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.【一】、定点问题例1、已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．例2、已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点．（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．2．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.【二】、切线问题例3、（2023届·黄冈中学5月二模·T6）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8例4、已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（

）A． B． C．2 D．3例5、（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．例6．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．（1）求证：切线和互相垂直；（2）求证：直线与轴平行；（3）求面积的最小值．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.（2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（

） B． C． D．4（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点4．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．（1）若点坐标为，求切线，的方程；（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．【三】、面积问题例7、已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.例8、已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值1．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．2．（2022·浙江杭州·学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．(1)求证：；(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；【四】、外接圆的问题例9、双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．例10、已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．例10、（2023届·湖南师范大学附属中学月考(三)）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．例11、已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．1、已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是．2、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为．3、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（

）A． B． C． D．4、（多选）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（

）A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则5．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．【五】、最值问题例12、已知双曲线C：过点，则其方程为，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是．例13、图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．1、（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（

）A． B．椭圆的离心率是C．的最小值为 D．的值为2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，作﹐垂足