2022-2023学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）

□H

2.如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成

影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A.平移

B.轴对称

C.旋转

D.位似

3.如图，下列条件不能判定△力DBsAABC的是（）

A.AABD=乙ACB

B.AADB=4ABC

C.AB2AD-AC

cADAB

D.—=—

ABBC

4.如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那2

么这个点取在阴影部分的概率是（）

1321

D

A.4-4-3-2-

5.如图，矩形4BCD的对角线4C,BD父于点。，ZXOB=60°,4C=4,则边48长为（）AD

A.<3B.<2C.1D.2

6.若关于x的一元二次方程a/-4x+2=0有两个实数根，则a的取值范围是（）

A.a<2B.a<2C.a<2且a40D.a<2且aH0

7.如图，在平面直角坐标系中，C为ANOB的。4边上一点，AC；。。=2：3,过

C作CD〃OB交4B于点D,C、。两点纵坐标分别为1、3,贝的点的纵坐标为（）

A.5

B.6

C.8

D.3

8.如图，在菱形纸片ABCO中，E是BC边上一点，将AABE沿直线4E翻

折，使点B落在B'上，连接DB',已知NC=120。，^BAE=45°,则UB'点的

度数为（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

9.如图，在AABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE=1：2,过点C作

CD〃4B交BE的延长线于点。，若ACDE的面积等于4,则△ABC的面积等

于（）

A.2.4B.3C.3.2D.4

10.已知反比例函数y=5（k为常数）的图象经过点8（-2,2）.如图，过点B作直线AB与函数y=（的图象交于

点4,与久轴交于点C,且48=BC,过点4作直线4尸LAB,交x轴于点F,则线段4F的长为（）

A.B.4<2C.4<5D.6<2

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.方程（X-4）（%+3）=0的解是.

12.如果两个相似三角形的面积比是4：9,那么它们对应高的比是.

13.盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和1个黑球，搅匀后从中取出1个球，放回搅匀再取出第2

个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为

14.如图所示，在RtAZBC中，/.ACB=90°,乙4=62。，CDLAB,垂足为

点E是BC的中点，连接ED,则NEOB的度数是.

15.如图，在△48C中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,

4D是△力BC的高，BC=15,AD=5,那么E”的长为

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题8分）

解方程：%2—4=-2%.

17.（本小题8分）

如图所示，△ABC中，。为BC上一个点，EF垂直平分力。交4B于E,交2C于F,若DE〃AC,判断四边形

4EDF的形状并说明理由.

18.（本小题8分）

碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起.如图，小明（线段AB）利用学到的知识，计算楼房（线段CD）的层

数，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若小明身高

1.5m,测得BE=lm,ED=58m,碧桂园层高为2.9m,求这栋楼房有多少层？

19.（本小题9分）

已知关于久的一元二次方程工2-（fc+6）x+3fc+9=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若△ABC的两边力B、4C的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4,当△ABC是等腰三角形

时，求k的值.

20.（本小题9分）

某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门

校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的

部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查

数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度；

(2)补全调查结果条形统计图；

(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到

同一门课程的概率.

调查结果的扇形统计图

21.(本小题9分)

北京时间2022年12月4日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬

挂了一幅励志条幅(即GF).小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学

楼18m的点B处，在点8正上方点力处测得NGA。=a,然后向教学楼条幅方向前行127n到达点。处，在点。

正上方点C处测得NFC。=a,若力B,CD,OE均为1.656，FE的长为&657n.

图1备用图

(1)如图1,请你帮助小亮计算条幅GF长度；

(2)若小亮从8点开始以每秒1m的速度向点E行走至。。正上方点C),经过多少秒后，以F、C、。为顶点的

三角形与小G40相似.

22.(本小题12分)

【问题原型】如图①，在正方形ABCD中，点、E,F分别在边BC,CD上，且BE=CF,点、P为AE,8尸的交

点，易得NBPE=90。.

【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边△

ABC中，点E,F分别在边BC,4C上（不与三角形顶点重合），且BE=CF,点P为4E,BF的交点，请画出

图形并求NBPE的度数.

【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：

如图③，在菱形ABCD中，/-ABC=120°,点E,F分别在边BC,AD上，且乙BAE=NCDE,DF=CE,点

P为4E,BF的交点，求NBPE的度数.

23.（本小题12分）

如图，一次函数丫=依+6（卜〉0）的图象与反比例函数丫=?。＞0）的图象交于点4,与x轴交于点B,与y

轴交于点C,4。1乂轴于点。，CB=C。，点C关于直线AD的对称点为点E.

（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）连接2E、DE,若四边形4CDE为正方形.

①求人6的值；

②若点P在y轴上，当|P£-PB|最大时，求点P的坐标.

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形,

故选：B.

根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

2.【答案】D

【解析】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似.

故选：D.

根据位似的定义，即可解决问题.

本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义.

3.【答案】D

【解析】解：­.•UBD=ZXCB,Z71=Z71,

•••△ADB-LABC,

故A不符合题意；

•••Z-ADB=乙ABC,Z-A=Z-A,

故B不符合题意；

•••AB2=AD-AC,

_AB__AC_

"AD-AB*

又42=/.A,

；.AADBS&ABC,

故c不符合题意；

根据*=某，不能判定A/lDBsAABC,

ADDC

故。符合题意；

故选：D.

根据相似三角形的判定定理求解即可.

此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解:先设每个等边三角的面积为X,

则阴影部分的面积是6%,得出整个图形的面积是12x,

则这个点取在阴影部分的概率是等=

12%2

故选：D.

先设每个等边三角的面积为％,则阴影部分的面积是6%,得出整个图形的面积是12支，再根据几何概率的求

法即可得出答案.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件

(4)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件Q4)发生的概率.

5.【答案】D

【解析】解：•.•四边形力BCD是矩形，AC=4,

・•.0A=OB=j1AC=2,

•・•Z.AOB=60°,

是等边三角形，

AB=OA=OB=2,

故选：D.

根据矩形的性质得出。4=OB,进而利用等边三角形的判定和性质解答即可.

本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是根据矩形的性质得出。a=OB解答.

6.【答案】C

【解析】解:根据题意得a*0且4=(一4)2-4ax220,

解得a<2且a丰0.

故选：C.

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a丰0且/=(-4)2-4ax220,然后求出两不等式的

公共部分即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/++c=0(a*0)的根与4=b2—4ac有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.

7.【答案】A

【解析】解：■­-CD//OB,

ACD^AAOB,

tAC__CD_

'•AO=OBf

AC：OC=2：3,

AC2

•••A0=5f

•・,C、。两点纵坐标分别为1、3,

CD=3-1=2,

t2_2

•••0B=5f

解得：OB=5,

•••B点的纵坐标为5.

故选：A.

根据CD〃OB得至以“。"△力。B,得到发=累，根据AC：0C=2：3,得出发=|,根据C、。两点纵坐

AUUDAU5

标分别为1、3,得出。8=5,即可得出答案.

本题主要考查了相似三角形，平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平面直角

坐标系中平行y轴的直线上两点之间的距离，是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•.•四边形4BCD是菱形，ZC=120°,

4BAD=ZC=120°,AB=AD,

•・•△4BE沿直线4E翻折，使点B落在B'上，

•­.^BAE=乙B'AE=45°,AB'=AB,

：.^BAB'=90°,AB'=AD,

：.乙DAB'=30°,

4AB'D=AADB'=(180°-30°)+2=75°,

故选：B.

由翻折的性质知NB4E=^B'AE=45°,AB'=AB,再由菱形的性质得乙BAD=120°,AB'=AD,最后利

用三角形内角和定理可得答案.

本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出AD4B'=30。是解题的关键.

9【答案】B

【解析】解：•♦・CD//AB,

•••Z-ABE=Z.CDE,

•••Z-AEB=Z.CED,

ABE~XCDE,

.丝_些

•••~CE=~DE"

AE：CE=1：2,

.BE_1

—=-f

DE2

.ABE_rAE\2_小2_1

：SACDE15E）一切~4f

1

S^BCE~2S^CDE—2，

ABE=L

，•^LABC=S^BCE+SMDE=3.

故选：B.

证明AABEsACDE可求■="，从而可求产=；,SABCE=』SACDE=2,即可求解.

〃七乙◊ACDE-N

本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：•••反比例函数y=£（k为常数）的图象经过点B（—2,2）,

k=-2x2=-4,

・••反比例函数解析式为y=-p

分别过点48作x轴的垂线，垂足分别为点。、E,则8E=2,ADHBE,

CB_1

~CA=2,

AD“BE,

△BCE~AACD,

CBBE12

—一,,枝nn|J-,

CAAD2AD

・•.AD=4.

・••点/的纵坐标为4,

.,・把y=4代入y=—p

•••x=-1.

/(—1,4),

设直线48解析式为y=TH%+几，把4(一1,4),8(-2,2)代入解析式得，

C—k+b=4

l-2k+b=2'

解得:皆=3

・•・直线48解析式为y=2%+6,

当y=0时，2%+6=0,解得：x=-3,

・・・。(-3,0),CD=2,

•••AC=VAD2+CD2—V42+22=2V~^，

vAF1AB,AD1CF,

・•・乙ADC=Z.ADF=90°,^.ACD=90°-^CAD=Z.FAD,

ACD~AFAD,

tCD__AD

'•~AC=~AF"

2__4_

A2^=AF9

解得：AF=4/5.

故选：c.

由反比例函数y=g的图象经过点B(-2,2),直接利用待定系数法求解即可求得答案；首先分别过点4、B作

无轴的垂线，垂足分别为点。、E,易得ABCEs^ACD,即可求得力的坐标，由AACDs△凡4。，再利用相

似三角形的性质即可求得答案.

此题考查了待定系数求反比例与一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是

解此题的关键.

11.【答案】%1=4,%2=一3

【解析】解：,•・(％-4)(%+3)=0,

%—4=0或％+3=0,

%1=4,x2——3；

故答案为：Xi-4,x2=-3.

直接利用因式分解法解方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法

简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

12.【答案】2：3

【解析】解：•••两个相似三角形的面积比是4：9,

两个相似三角形相似比是2：3,

•••它们对应高的比是2：3.

故答案为：2：3.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即

可.

本题考查对相似三角形性质的理解.相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的

平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

13.【答案埒

共有9种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有4种，

•••两次取出的球是1红1黑的概率为小

故答案为：言•

画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是1红1黑的结果数，再利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

14.【答案】28°

【解析】解：・•・AACB=90°,N4=62°,

・•・=90°一△/=28°,

•・,CD1AB,

・•・乙CDB=90°,

,点E是的中点,

1

ED=EB=^BC,

：./.EDB=LB=28°,

故答案为：28°.

先利用直角三角形的两个锐角互余可得NB=28°,然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED=EB,

从而利用等腰三角形的性质即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键.

15.【答案】6

【解析】解：设AD与交于点M.

EH//BC,

AEHs&ABC,

•••AM和4。分另1］是4AEH^h4BC的高，

AMEH..„„

DnM^EF,

・•.AM=AD-DM=AD-EF=S-EF,

•・•EH=2EF,

代入可得：手=等

解得EF=3,

EH=2x3=6,

故答案为：6.

通过四边形EFG”为矩形推出因此△4E”与△ZBC两个三角形相似，将视为的高，可

得出警=鸨，再将数据代入即可得出答案.

/XuDC

本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.

16.【答案】解：方程整理得：x2+2x-4=0,

这里a=1,b=2,c=-4,

21=22-4X1X(-4)

=4+16

=20>0,

•••%=芳”=-1土机,

解得：%]=-1+V-5»x2——1—V-5-

【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.

17.【答案】解：四边形4ED尸是菱形,

理由：•••EF垂直平分力。交力B于E,

；.AE=ED,AF=FD,AO=DO,

■：DE//AC,

/.FAD=/.EDA,

(Z-FAO=乙EDO

在^EDO^\LFA。中AO=DO

Z-AOF=Z-EOD

■.AEDO^^FAOQASA),

•••AF=ED,

AE=AF=ED=DF,

••・四边形4EDF是菱豚

【解析】首先根据垂直平分线的性质可得=ED,AF=FD,AO=DO,证明△ED。三△R4。可得AF=

ED,进而得到AE=AF=ED=DF,再根据四边相等的四边形是菱形可得四边形力EOF是菱形.

此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四边相等的四边形是菱形.

18.【答案】解：由己知可得：乙AEB=4CED,

又•••^ABE=/.CDE=90°,

.，.AABE-^ACDE,

~CD~~DE

解得：CD=87,

87+2.9=30(层)，

答：这栋楼房有30层.

【解析】由题意可证ATlBEsACDE,得普=黑，求出C。=87,进而得出答案.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

19.【答案】(1)证明：•.•/=a+6)2-4(3k+9)=120,

•••方程总有两个实数根.

(2)解：当％=4时，原方程为：16-4(k+6)+3k+9=0,

解得：k=1,

当k=1时，原方程为：产_7%+12=0,

X1=3,%2=4.

由三角形的三边关系，可知3、4、4能围成等腰三角形，

•••k=1符合题意；

当ZB=4C时，则有：4=fc2=0,

解得：k=0,

二原方程为：x2-6x+9=0,

解得：%1=%2=3.

由三角形的三边关系，可知3、3、4能围成等腰三角形，

k=0符合题意.

综上所述：k的值为1或0.

【解析】(1)证明/>0即可；

(2)根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可.

此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角

形进行分类讨论.

20.【答案】(1)120：99；

(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120X罂=18(名)，

DOU

则选修“园艺”的学生人数为：120-30—33—18—15=24(名)，

补全条形统计图如下：

调查结果的条形统计图

人数

（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为2、B、C、D、E,

画树状图如下：

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,

••・小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为蔡=

【解析】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30+25%=120（名），

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360。x将=99。，

故答案为：120,99；

（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120x券=18（名），

则选修“园艺”的学生人数为：120-30—33—18—15=24（名），

补全条形统计图如下：

调查结果的条形统计图

(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为4、B、C、D、E,

画树状图如下：

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

・•・小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为蔡=

(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；

(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率

公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：(1)由题意得：F0=6.65-1.65=5m,AC=BD=12m,CO=DE=18-12=6m,

Z.GAO=Z.FCO=a,

CF//AG,

GFAC口向12

FOCO156

解得GF=10m,

・•・条幅GF的长度为10m；

(2)设经过t秒后，以F、C、。为顶点的三角形与△GZ。相似，贝1〃。=8。=3CO=DE=18-t,

当△FC07G4。时，黑=若，即等=荒，

解得t=12,

当△。尸。5醒4。时，线

需，喘4

解得”等

经过12秒或十秒后，以F、C、。为顶点的三角形与AGA。相似.

O

【解析】(1)根据已知求出产0、4C和C。，再根据同位角相等求出CF〃4G,根据成比例线段求出GF长度；

(2)设经过t秒后，以F、C、。为顶点的三角形与AGA。相似，贝ij4C=BD=t,CO=DE=18-t,利用三

角形相似对应边成比例，分成△FC。、GAO^ACFO-AG4。两种情况求解即可.

本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解

答本题的关键.

22.【答案】解：探究发现，如图②中，

•・•△4BC是等边三角形，

AB=BC,乙ABC=NC=60°,

•••BE=CF,

在AABE和△8CF中，

AB=BC

^ABE=NC,

.BE=CF

ABE=ABCF,

/-BAE—Z-CBF,

/-BPE—Z-BAE+/.ABP,

.­.乙BPE=4CBF+4ABP=^ABC=60°,

拓展提升：如图③中，连接BD交4E于Q.

•・•四边形ZBCD是菱形，

AB=AD=DC,AB//DC,AD//BC,

•・•^ABC=120°,

••・乙BAD=Z-C=60°,

•••Z-BAE=乙CDE,AB=CD,

ABQ三二DCE,

BQ=CE,

・•.DF=CE,

DF=BQ,

由探究发现的结论可知，乙BPE=60°.

【解析】探究发现：如图②中，只要证明AABEmABCF,即可推出NB4E=NCBF,由NBPE=NB4E+

AABP,推出NBPE=4CBF+4ABp=乙4BC=60°；

拓展提升：由A4BQmAD