考研数学高数冲刺常考结论公式答题技巧结超赞

1．无穷小（x(1).sinxxtanxex1ln[1x]arc1(2).11．无穷小（x(1).sinxxtanxex1ln[1x]arc1(2).1cosx2(3).(1x)a1(4).ax1xlnx(5).1n1xn(6).n1x1(7).log(1x)a0x2sinxxtan0|x|2121cosx如果limU1,limVelim(U则Vf(x)ff(x)f22直线Lykxb为函数yf(x)fxblim[f(x)和k包括6常见函数的导数(记熟后解题快(x)'2(1)'(xx)'xx(1lnx7.关于n阶导数的几个重要公式(sinx)(n)sin(xncos(xn22(cos kcos(x 2 knkx)(n2(xn(ex(ax (1 t(t(t(sinx)(n)sin(xncos(xn22(cos kcos(x 2 knkx)(n2(xn(ex(ax (1 t(t(t(1)n1(n1t[ln(t((t8.泰勒公式(用来求极限sinxx o(x6 cosx ln(1x)x 1x 1axa(a1)x2a(a1)(a2)x3o(x3(131xtanxxcotx arccosxx1x3o(x3arcsinxx1x3o(x36arctanxx o(x33tan(tanx)x2x3o(x339．重要不定积分26sin(sinx)x1x3o(x33(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tan secxdx(sin(tancos (sin(cos[1(cotx)2 dcot dxtanxC1cos2 dxtanxsecxC2 C1sin1tan2n(secd(tan(tanx)dx(tandx(tannn1(tan(sec(csc2dx(cotx)nd(cotn(cotx)dx(cotn1(cottanxdxln|cosx|cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|cscxdxln|cscxcotxtanxdxln|cosx|cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|cscxdxln|cscxcotx|(sinx)2dxx1sin2x (cox)2dxx1sin2x (tanx)2dxtanxx(cotx)2dxcotxx 1arctanxCx2 a ln|xx2a2|Cx2adx x2 ln| x arcsinxCa2axxa2x2dx a2x22 2x2a2dxaln|x2a2| a22eaxcosbxdxeaxsinbxdxa2(asinbxbcosbx)a210．它的个周期与x轴围成的面积为把它的半个周期分成三等分,显然2wS sinwxdxw0wS'3wsinwxdx11.定积分部（1）如果函数f（x）[-a,a]上连f(x)]dx 0(如果f(x)为奇函数 aaf(x)dx [f(x)a f(x)dx(如果f(x)为偶函数0f(x)]dx 0(如果f(x)为奇函数 aaf(x)dx [f(x)a f(x)dx(如果f(x)为偶函数0coskxdx0sinkxdx0(coskx)2dx(sinkx)2dx设klN,且kl,coskxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函T f(x)dxf(x)dx f2Ta02T(5).特殊积f(x)dx f02e201dx (aae0 sinwtdt (p0,wp2 (p0,wp2 cos2sinxdx0(6).关于三角函数定积分简化注意f(x)是定义在[0,1]2020f(sinx)dxf(cosx)特别 (sinx)dx (cosx)nn2200200(2)f(sinx)dxf(cosx)f(sinx)dx20特别的(sinx)dx (sinx)nn (cosx)2020f(sinx)dxf(cosx)特别 (sinx)dx (cosx)nn2200200(2)f(sinx)dxf(cosx)f(sinx)dx20特别的(sinx)dx (sinx)nn (cosx)n22000 (n为奇 (cosx)ndx (cosx)n（n(n为奇2020(4 (sinx)ndx0 (sinx)n（n202 0 (n为奇 (cosx)ndxn (cosx)（n2022 (sinx)ndx (cosx)n00n1n3n23(7 (sinx)dxn.........2(n n2n02n1n3n (n n2n20 xf(sinx)dxf(sinx2011.图像分段的函数不一定是分段函数（分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如何证明一个数列是发散的？（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值（2）找一个发散的子数列必记极limnnlimxlnx(4) (5)liman 函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定列如：f(x) 15．注意若f'(a0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(aa)有f(xfx(aa)有f(xf(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,2 函数取得极值的第二充分条件设f(x)在x处n阶可导，且f设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,2 函数取得极值的第二充分条件设f(x)在x处n阶可导，且fxfxfxf(n1)()00000f(n))(20n2k且f(nx0fx)为极大0n2k且f(nx)00fx)为极小0f(x0)不是极值点0 拐点的第二充分条件设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数若f''(x0)f'''(x0) (x0) (x0)则x0,fx0))为拐19.用求导法判断数列的单调性fAn),AnI若f(x)在区间I设A2{An}则 A2 {An}注意：若f(x)在区间I则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x0f'(x)21．ln(x 1x2)x(x无穷小小当x00nmxmo(xn0nmo(xmo(xno(xn0nmo(xm)o(xmn(4)当mn0xmo(xn)o(xmno(xm)o(xn))无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？(1() n(其中nn1,2,kn,)n1n2nn!n! 反三角arctanxarctan1 t,0t2(2)arcsin(sint) t(1() n(其中nn1,2,kn,)n1n2nn!n! 反三角arctanxarctan1 t,0t2(2)arcsin(sint) t2a求A(b) |xb|dx的最小2a1 22 (b) a 4 a (x)dx2a127．lnxdx011(1x)dx (1xmnnm0011作用：x(1x)dx x(19900若f(x)在[a,bbb则f(x)dx f(ababa1bf(x)dx [f(x)f(ab2aa特别的当a0bbf(x)dxf(b001bb（2）f(x)dx [f(x)f(b200若f(x)在[a,b]上可积,则：1f(1)dx 1[f(x) f(1f(x)dx2xx0f231．f(x)f'(x)dxC232f（x）数就一定不存在f（x）的原f231．f(x)f'(x)dxC232f（x）数就一定不存在f（x）的原f(sinx)dx 200nbbxf(sinx)dxf(sin2aanbbxf(cosx)dxn2aa（2）若f(x)2bbxf(sinx)dxf(sinaanbbxf(cosx)dx2aa35．线、面积分中的对称简化且连续，L为x0的半个区域，则：Lf(x,y)ds2Lf(x,若f(-2Lf(x,y)ds若f(-x,y)=- I=L(xyx)ds,L为2a2xyds x2ds02L解：I I=L(xyx)ds,L为2a2xyds x2ds02L解：I=(xyx)ds2LLL22cos2ad I(xy)ds,L为xy203 L解：IL(xy)3ds=Lxds+Ly3ds000自己体会一下，为（2）对坐标的曲线A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定且连续，L为x0的半个区域，则：若P(- LP(x,y)dx2LP(x,2若P(-x,y)=- LP(x,y)dx例 Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2方向为从左L解Ixyydxxdy)xydx2xydy0 x2ydy0(这要用到下面B的结论2LLLL例 I xydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y2),x0的逆时针 2 L由于图像关于x轴对称，则IL(,y)在L上有定义L1L2方向相反，则：若P(- LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论若P(-x,y)=- LP(x,y)dy2L1P(x,注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的看看两者之间的区别与联 ILx|y|dx,其中L为yx上从A(1,1)到B(1,1)的一段2解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y| ILx|y|dx,其中L为yx上从A(1,1)到B(1,1)的一段2解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数例 I dxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)ABCD|x||y 解：IABCD|x||y ABCD|x||y |x||y故(3)对面积的曲面设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(xy,z)在上连续，是中x0的一2f(x,y,z)ds则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时f(x,y,z)ds=2f(x,y,当f(-x,y,z)=f(x,y,z2对于关于zox,xoy的平面对称有类似的I(xyz)ds其中为球面x2y2z2a2上zh0<ha）的解关于yoz,xoz面对称，故 zdsa(a2h2例 I(xyyzzx)ds,其中为zx2y2被柱面x2y22ax所截的部解关于xoz面对称，故Izxds642(4)对坐标的曲面积设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,yz)在上连续，是中x02一半当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时f(x,y,z)dydzf(x,y,z)dydz=2f(x,y,当f(-x,y,z)=-f(x,y,z2I xyzdxdy其中是球面x2y2z21的外侧在x0,yI xyzdxdy其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y25解关于xoy面对称，故I xyzdxdy2xyzdxdy2Ix2dydzy2dzdxz2dxdy其中为曲线弧段z=y2x0,1z绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yozzox面对称，故Iz2dxdy36．轮换对称性在积分计中的应用举例1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,yf(x,y)dxdyf(y,DD例 I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围D解：D关于x,y具有轮换对称性I(3x2y)dxdy=(3y2x)dxdy5(xy)dxdy5xdxdy23DxyDDD例 I(y2x2xy(y2x2)dxdy(x2y2dxdyI,故Ixy y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则2.设函数f(x,y,z)dvf(y,x,例求(xyz)dv为x0,y y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则2.设函数f(x,y,z)dvf(y,x,例求(xyz)dv为x0,y0,z0,x2y2z2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydv(xyz)dv3zdv3求I(zx2y2)dv为zx2y2和zhh0）例解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv12zdv233.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，在L上连续，则f(x,y)dsf(y,LL22223Ix3dsL为星形线x3y3例L解：显然L对x,y具有轮换对称性222225121(x3y3)dsa3ds32LLLL求(x2z)dsF是圆周x2y2z2R2xyz例F解：F关于x,y,z具有轮换对称性FFFFFF211F2y2z2)ds (xyz)ds d3333FFF4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具轮换对称性，f(x,y)在Lf(x,y)dsf(y,LL或者f(xy)ds+fyx)dsLLIydxxdyL为xyR上A(R,0)到B(0,RL解：L对坐标xy具有轮换对称性，故ydxL22IydxxdyL为xyR上A(R,0)到B(0,RL解：L对坐标xy具有轮换对称性，故ydxL22L解：L关于xy具有轮换对称性，则y3dxx3L,,f(x,y,z)dsf(y,x,I(x21y21z2)ds,:x2y2z224x2dsy2dsI(x21y21z2)ds(111)24 (111)1(x2y2z2)ds7 433I(axbycz)ds:x2y2z2R2xdsydsI(abc)zds1R3(ab4f(x,y,z)dydzf(y,x,I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为z x2I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为z x2(0zh)的外解关于x,y具有轮换对称性(y(xy)dxdy所以I(x(yx)dydxIxydydzyzdzdxzxdxdy为平面xyz1位于第一挂限的解关于x,y,z具有轮换对称性xydydzzydydxI3xydydz8 广义的罗尔定理在区间(a,)内可导limf(x)limf则： 需要记忆的反例使得f'(f(x)|x|在x0f(x)f(x)xx在x0应用：设f(0)0,则f(x)在x0f(1cosh)f(1eh存(B)hf(2hf(h)h(C)limf(hsinh)(D)(1)若','且lim则：('(2)若',且lim特别要注意的地方f(x)为奇函数f特别要注意的地方f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(xxf(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为0ff(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)T(4)f(x)以T为周期的函数 f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周0(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系 几个极限之间的关系则lima1a2an1.若limann2.若limana且an则limna1a2an3.若limana且a则limnannn但要注意：若limnaa且a0，不能推出limannnn反例：an2(n为偶数3(n为奇数 函数与其反函数图像交点问题设f(x)是增函数，其反函数为f1(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上设f(x)是减函数，其反函数为f1(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,43阶乘不等式n!e(n)2(1)设n为自然数，则n!nne(nee 0n!e(n)2(1)设n为自然数，则n!nne(nee 0l n证明liman0(a为任意实数证明:a0a0,0 ||an|en|a|nn时|a|e0, |a|nnnliman(2)一些不常用的，可以记忆玩玩n)np1设p2且p为实常数，则n2。当n4时，n3。当n2时，则nlnn)lnn44中值定理yf(x)满足在区间[a,yf(x)满足在区间[a,b]上连区间(a,b)内可(3)f(a)f在区间(a,b)内至少存在一点使得f'(yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf在区间(a,b)内至少存在一点使得f'(yf(x)满足在区间[a,b]上连区间(a,b)内可f(b)f在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()bf(x)及F(x)满足在区间[a,b]上连 在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)f'( 45．需注意的地方1.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x)1x(0,x2.f(x)在[ab]上可积，但f(x)46．用泰勒公式分解既约分式用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结P(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(x(xa)n(x ,12r12r其能唯一分解bbbbb2bn1 ]]11222n)n2 (x(x(xa (xa (x(xa))111222bbbbbb]46．用泰勒公式分解既约分式用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结P(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(x(xa)n(x ,12r12r其能唯一分解bbbbb2bn1 ]]11222n)n2 (x(x(xa (xa (x(xa))111222bbbbbb]iiirrr](x(x(xa(x(xa)nr (xaii1rrr其中bj(i12,r;j12,n)都是待定的iif(j1)(a,且bij 设fi(x)(xa)(xa)n2(x )ni1(x (xan(jnr112r将 分成部分分式(x1)(x例解：令f(x) ,则f(1)311(x4f(x)3x,则f'(13,f(1)222x1421312 (x1)(x 4x (x x将 2x 分成部分分式x(x1)(x解：f(x) 2x ,f(0)711(x1)(x3(x)2x7f(1)f22x(x4(x)2x7f(3)f33x(x 2x =7 x(x1)(x 4(x1)12(x由此可见此法对分母都是一次时特别9x348x分成部分分例(x1)(x9x324x2解：f1(x),f1(1)(x9x324x248x,(2)24,f'(2)12,f222(xf2'''(2)3261(x1)(xx (x (x (x x47．求不定积分的几种特殊技巧f(x)ff(x)f22af(x)为奇函数时，f(x)dxaaf(x)dx f02(1)求定积分xln(1exf(x)f(x)xex)47．求不定积分的几种特殊技巧f(x)ff(x)f22af(x)为奇函数时，f(x)dxaaf(x)dx f02(1)求定积分xln(1exf(x)f(x)xex)xexxln(1ex1x22(x)22) x]dx 11112222xln(1e)dx xln(1e) x dx[xln(1xx22x22 28320 xdx201ln(x1x2(2)求定积1ln(x1 (xa)(bx)dx(bbaba)2(xab)2是以 解：被积函数f(x) (xa)(bx) 222bb11 为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r ) 22222 8b根据定积分的几何意义 (xa)(bx)dx8(b2a2f(sin00ba2a2bbxf(x)dxfaa48矩阵积分法vi设ui(ui1(i1,函数序列一：u0,u1u2un,函数序列二：v0,v1v2,vn,一.形如48矩阵积分法vi设ui(ui1(i1,函数序列一：u0,u1u2un,函数序列二：v0,v1v2,vn,一.形如xnsinaxdx的积分函数序列一：u0xnu1nxn1,un函数序列二：vsinax,v1cosax,v(1)sin[axn01na2函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x32x3sinx32x 3x2601sin1cos11sincossin391原式(x32x31cos)(3x22)(1sin3x) cos3x)6(1sin391cos3x(x32x3)(3x22)sin3x2xcos3x sin3x2399注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出二.形如xncosaxdx，xneaxdx的积分三.形如eaxsinbxdx函数序列一：u0sinbxu1bcosbxu2b2sin函数序列二：veax,v1eax,v1eax012a求e2xsin3xdx的积9sinsin3cos1e221e24e22015661即limxnlimyn对于任意数列an，若满足anAan1A(n2,3...0k12lim即limxnlimyn对于任意数列an，若满足anAan1A(n2,3...0k12limanAgxxagx(x)xa连续而不可导，则xa3在若g(a)若g(a)可导且导数为ga,f'(x)P(x)f(x)4、证明在存在零点，等价于证明u(x)Q(x)在a,b存在零点，其中u(x)为a,b内任意恒正的函'(x)P(x)ffu(x)eP(数。受求解一阶线性方程积分因子法的启示，取，F(x)eP(x)dxf(x)eP(x'y''x''y(x'2y'2(1y'2xF(r,s,16yF2(rsdxdydz7、若f(x)T为周期的周期函数，f(x)的全体原函数以T为周期的充要条件是Tf(t)dt08、若f(x)If(x)If(xf(xI 旋转面与柱面方程1：设空间曲线x(ty(tz(t，则z轴旋xyrrxyssxyttyx(x)2(x)2(x)2(x)2y 的曲面方程为：zf(x,x(x)2(x)2(x)2(x)2y 的曲面方程为：zf(x,y)lmn则柱面方程2：准线方程为当母线的方向向量为zf(xlz,ymz)nnxfl,mn，3：若准线方程是yg(t)t()，母线的方向向量是zxf(t)面方程是yg(tzh(t)11X,YXaYba0XY1a0a,,(a,设f(x)，fxa(或xbf(xlim(xapf(xl(lim(bxpf(xlbp1且0l时，瑕积分f(x)dxa知道三边长求面积用“海伦公式”S (pa)(pb)(pc)p,p1(ab2zf(xyr条件“z与r无关”，潜台词就是说zf(xyg(x,yx，yzf(xyDxy求极值（最值） 秩为1的矩阵可以化为两个向量的积AT，为n维列向量。并且A的自A2aA，a A的行（列）向量相互垂直，且长度相同为a，B1A为正交矩a (AE)(AE)(AE)(AE)满足交换 ABxBx0由于②的解必是方程组①的解。因此，R（②的解向量23求矩阵的n次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）A~PnA的正负惯性指数不等于时间A、B相互独立，A、BA、B相互独P{a ABxBx0由于②的解必是方程组①的解。因此，R（②的解向量23求矩阵的n次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）A~PnA的正负惯性指数不等于时间A、B相互独立，A、BA、B相互独P{axbF(bF(a时，在这里{}的是对称矩阵的特征向量相互正交，Q1AQ已知A（AAAA (,,281 1 2 nnXX、Y、Y不 要求阵 的特征值由f()0确31A满足f（A）=0，矩f(0解出来i只是确定了 矩，对的特征值为非负：阵Ax)TAx0xTATAxATA正定或半正定，A初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法（要会写出初等矩阵的表示11kEkE1, k ,k xpdx(a0)p>1散时发b ②反常积分a(xapdx0<p<1p≥11a、bP{YaXb证明一元函数（x）的极限不存在的一种方法：xnx0xnx0limf(xn1a、bP{YaXb证明一元函数（x）的极限不存在的一种方法：xnx0xnx0limf(xn)xnx0xnx0ynx0ynx0使得limf(xnlimfynlimf(xx对于任意数列ananan1A0<k<1liman（求解递归数列的极限，数列不是单调的，先求A，后证明存在40 设an1f(an)(n123),an区间I，若f（x）在区间I单调上升，并且a2)，则an单调上升（单调递减）I单调递减，则ana2a1f（x）在区不具有单调性（对于递归系列的复杂的数列，可以从递归函数入手，PS：先说明有界41“f（x）在xx0邻域二阶可导”换句话“f（x）在xx0（x）在（a，b）至多有nf(x)，f’(x)xTT是周期函数。只有当f(t)dt0时，f（x）T0A1,两个矩阵相似可以推出的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似； 求x时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子分母中趋于最快的项（指数式>幂式>对数式）≥1时，用到代换可能成功（ D(X2Y)0X2Yc(常数)2Yc, FX(x)为分布函数，考察xa点是否连续：P{Xa}P{Xa}0则连续 (r) dx(r0)r的函数，称为r10质为(r1)r(r，特别的(n FX(x)为分布函数，考察xa点是否连续：P{Xa}P{Xa}0则连续 (r) dx(r0)r的函数，称为r10质为(r1)r(r，特别的(n1) D(X)D(X)i相互立D(Xiiiiii iii f(x1,x2,x3)5x125x223x322x1x26x1x36x2x3则f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面？将f(x1x2x31对角化，可以得到f4y229y321，f表示椭圆A0特知y 的曲线，与轴围成图形的型心x,已by(bxa0abba12bb y( ay bbaF'2'2F2 对于F(x,y,z)0的隐函数的形式dSxyzdxdy|Fy' f(x,y)在公共点M0处的法向量为(fx',fy')|Mgrandf(x,y) 63 (kA)*kn1A*;(A*)*|A|n2 若A列满秩R(AB)R(B)，R(ATA)R(A)（2012年数学一考过 q1，收敛nlnnq1q2xXxYY第三部分、考研数学42第三部分、考研数学42第第四部分、2015考研数学最常考最易错的结第五部分、总结16首先对极限的 如下极限的保号性很重要1极限分为一般极限就是说在一定区间内函数的正负与极限一致（限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么1等价无穷小的转化，（前提是必须证明拆分后极限依然存在eX次方-。或者（1+x）a次方-1（等近等无全成部无熟记）x趋穷的 还原穷小2落笔 法首先他（用有严格的使用提！！！！！！使必须是X趋近情况下的极限，N趋近！！！！！！！（当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件数列极限的n当然是趋近于正无穷的,接用须是无 比疑于第五部分、总结16首先对极限的 如下极限的保号性很重要1极限分为一般极限就是说在一定区间内函数的正负与极限一致（限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么1等价无穷小的转化，（前提是必须证明拆分后极限依然存在eX次方-。或者（1+x）a次方-1（等近等无全成部无熟记）x趋穷的 还原穷小2落笔 法首先他（用有严格的使用提！！！！！！使必须是X趋近情况下的极限，N趋近！！！！！！！（当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件数列极限的n当然是趋近于正无穷的,接用须是无 比疑于找死为！！）！必无则穷大！！！！！！0当然要法能为 无分分不落比笔3候况用12比00穷无穷时直接0乘以无穷无穷减去无穷（）这样就能变成1中的形式了。通项之后 的无穷3 的 次次方无穷的 次对于（指数幂数）0（3LNx0LNX）3泰勒公式意ex次方的时候！，尤其是含有正余旋的加减的时候要）！！！ 开展开化展很开E对4的简比展法目穷有 好的面无大上无 解办取大头原看上去则复杂最大项除分子分母！！！！！处理很简 ！！！！！！！！！！！！！！5无穷于有界函数的处理办法法面对非常复杂的函数。可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。值符号要小于1）78可等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限以使用待定系数法来拆分化简函数在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2X0x比值地2个就如果x趋近无穷大。（22要用地 就趋重，近极限的候方时方当非于常无方穷便大不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于！！！）！！！！！！（出速率的快慢x的比值的极限一这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。值符号要小于1）78可等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限以使用待定系数法来拆分化简函数在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2X0x比值地2个就如果x趋近无穷大。（22要用地 就趋重，近极限的候方时方当非于常无方穷便大不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于！！！）！！！！！！（出速率的快慢x的比值的极限一换元法假如要算的 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中还有对付数列极限的一种方法，到1对付递推的形式调数列时候有使用数界定的性单调性！！！！限！）直接使用求导的义来求极0f（x加减麽个值）f（x）有特别注意（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数表函数 还皮 质也他体的周 期性。分有复合微如他的奇偶性质函数的性质2边的图形一样1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右（奇函数相加为0）2的一致关系和34他复合函数之间是还有个单调性。(（可以导的函自变量与应变量互换的再数求0的单调性和他的导数（这个性质！正负相关）而言的二断点分为第一类 类 点1（的间断点存在相等但是不等于函数在这点的值间断点 震荡间断 或者可取这也能是有界的地（说明极限即是不存在也有可下面总结的数一极极限题型求求1分段函限当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！XexEx负无穷结是不一样的！！！！！！！2极限中含它搞有变上下限的积分如何解决类？？？？把！！！解！！决！！办！法！！！！：1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了但是！！！！！有 个问题这不是很容易么？注意！！！！的！！！！2被积分函数中既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？解决1下面总结的数一极极限题型求求1分段函限当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！XexEx负无穷结是不一样的！！！！！！！2极限中含它搞有变上下限的积分如何解决类？？？？把！！！解！！决！！办！法！！！！：1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了但是！！！！！有 个问题这不是很容易么？注意！！！！的！！！！2被积分函数中既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？解决1的方法：就是方法2xt，把x看做常数提出来求导数！！！！！！换元的（3候积分上定积分变化！！！！ 的 或者列分项极求和限求夹逼都不可以极限也满足这的时候个极限的就考虑x趋近的的时候函数值，数列推当所求极 递数列的时候定义！！！应为是离散的 只能用前后项的比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用归纳法 ！4分子必须是无穷小位置函数的问题例如当x0否则极限为无穷（x）比x的函数，可以消掉模些未知数，求其他的未知数5最后总结—下间断点的题型首先遇见间断点的问题复合函数的问题，画图，你能画出反例来当然不可以了主要解决办法是 一个是2中的反应！！！！！！！（（在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！！应为一般的函数都是连续的还有个也