八章几何七节抛物线

第七节抛物线⁠1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离

相等

⁠；（3）定点

不在

⁠定直线上.提醒

定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.相等

不在

2.抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2.p的几何意义：焦点F到准线l的距离.标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）图形⁠⁠⁠⁠顶点O（0，0）对称轴x轴y轴焦点离心率e＝1准线方程

续表标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P（x0，y0））⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.

（

）答案：（1）×

（2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.

（

）（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（

）（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.

（

）答案：（2）×

答案：（3）×

答案：（4）×2.抛物线y＝2x2的准线方程为

（

）D.y＝－1

3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是

⁠.

4.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程是

⁠.

⁠

与抛物线焦点弦有关的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB的倾斜角，则：

（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；（6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切；（7）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p（通径）.⁠1.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为

（

）A.5B.6

2.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于

⁠.

02⁠抛物线的方程与几何性质【例1】

（1）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为

（

）A.（1，0）B.（2，0）

答案

（1）D

（2）（2021·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为

⁠.

｜解题技法｜1.求抛物线标准方程的方法（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可；（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0），a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），这样就减少了不必要的讨论.2.抛物线性质的应用技巧（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.⁠

答案：y2＝4x2.若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则｜PF｜的最小值为

⁠.

抛物线的定义及应用考向1

求轨迹方程【例2】

已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是

（

）A.y2＝4xB.y2＝－4xC.y2＝8xD.y2＝－8x

答案

C｜解题技法｜求轨迹问题的两种方法（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.考向2

最值问题【例3】

（1）若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为

⁠；

（2）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为

⁠；

（3）已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为

⁠.

｜解题技法｜与抛物线有关的最值问题的求解策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.⁠1.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是

（

）A.2D.3

2.已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则｜AC｜＋｜BD｜的最小值为

⁠.

解析：由题意知F（1，0），｜AC｜＋｜BD｜＝｜AF｜＋｜FB｜－2＝｜AB｜－2，即｜AC｜＋｜BD｜取得最小值时当且仅当｜AB｜取得最小值.依抛物线定义知，当｜AB｜为通径，即｜AB｜＝2p＝4时为最小值，所以｜AC｜＋｜BD｜的最小值为2.答案：23.动圆过点（1，0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为

⁠.

解析：设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1，0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x直线与抛物线的位置关系

（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求l的方程；

｜解题技法｜求解直线与抛物线综合问题的方法（1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式.⁠

答案：x＋2y－3＝02.在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，过点F'（0，－2）的直线l与抛物线Γ交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（其中0＜x1＜x2），连接BF并延长交抛物线Γ于点C，记直线l的斜率为k，直线CF'的斜率为k'，则k＋k'＝

⁠.

答案：003⁠1.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点P（－1，－2），则该抛物线的焦点坐标为

（

）A.（1，0）B.（2，0）C.（0，1）D.（0，2）

2.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点.若｜AB｜＝9，则抛物线C的方程为

（

）A.x2＝3yB.x2＝12y

3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若｜MF｜＋｜NF｜＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为

（

）A.3C.5

4.已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q（－3，3），则｜PQ｜＋d的最小值为

（

）A.5D.4解析：D

∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F（1，0）.P到直线x＝－1的距离等于｜PF｜，∴P到y轴的距离d＝｜PF｜－1，∴d＋｜PQ｜＝｜PF｜＋｜PQ｜－1.∴当F，P，Q三点共线时，｜PF｜＋｜PQ｜取得最小值｜QF｜.∵Q（－3，3），F（1，0），∴｜QF｜＝5，∴d＋｜PQ｜的最小值为5－1＝4.故选D.5.（多选）已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则

（

）A.｜AB｜＝8B.OA⊥OBD.线段AB的中点到直线x＝0的距离为2

6.（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是

（

）A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.｜AB｜＝10

7.已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为

⁠.

解析：直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得（kx＋2）2＝8x，整理得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝（4k－8）2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.答案：0或18.动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点

⁠.

解析：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线方程为x＋2＝0.因为动圆与直线x＋2＝0相切，所以圆心到直线x＋2＝0的距离等于半径，所以圆心到焦点的距离等于半径，所以动圆必过焦点（2，0）.答案：（2，0）

10.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值；

（2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.

⁠11.已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上.经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A，B两点.若｜AB｜＝12，线段AB的中点的纵坐标为－5，则抛物