6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其应用

6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其应用掌握正弦定理、余弦定理及其变形.理解三角形的面积公式并能应用能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的解三角形问题．灵活运用正、余弦定理进行边、角关系的相互转化.知识点一正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知识点二三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．知识点三三角形中常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).考点一利用正、余弦定理解三角形例1．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.【详解】.,设该三角形外接圆的半径为由正弦定理得故选：A.【对点演练1】（2024·全国·高一假期作业）已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】相加即可求出，结合同角三角函数关系可求的，应用正弦定理即可求解.【详解】由，，得，即，则，由，解得，由正弦定理知.故选：D【对点演练2】（2024·全国·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角函数恒等变换化简可得，由此可求角.【详解】因为，所以，又所以，所以．因为，所以，所以．又，所以，从而．又，所以．故选：A.考点二利用正、余弦定理判断三角形形状例2（2023年山东滨州期中）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定.【详解】根据余弦定理知，，所以，则,故三角形为直角三角形，故选：判定三角形形状的两种常用途径【对点演练1】（2024·全国·高三专题练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（

）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.【详解】因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.故选：D【对点演练2】（2024·全国·高三专题练习）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.【详解】由，得，化简得，所以，由余弦定理得，因为，所以，因为，所以，由正余弦定理角化边得，化简得，所以，即为等边三角形．故选：B考点三三角形的周长与面积问题例3（2023年高考全国甲卷）记内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点演练1】(2022高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．【解析】(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(a·sinC,c).因为cosC＝eq\f(3,5)，所以sinC＝eq\f(4,5)，又eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5),4)，所以sinA＝eq\f(\r(5)sinC,4)＝eq\f(\r(5),5).(2)由(1)知sinA＝eq\f(\r(5),5)，因为a＝eq\f(\r(5)c,4)<c，所以0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).因为eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(11,\f(11\r(5),25))＝eq\f(c,\f(4,5))，所以c＝4eq\r(5)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×11×4eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝22.【对点演练2】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解析】(1)由题意，得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理，得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)，故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题意及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由题意，得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，则bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，则b＋c＝eq\r(33)，故△ABC的周长为3＋eq\r(33).考点四三角形中的最值、范围问题例4．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，由正弦定理边角关系得，由余弦定理求出角，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可求出三角形面积的最大值.【详解】在中，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因为为的内角，则，所以，因为的外接圆的半径为，由正弦定理得：，所以，由余弦定理得，即，因为，所以，当且仅当时取等号，故的面积，所以面积的最大值为.故选：B.【对点演练】已知的内角的对边分别为，且.(1)求边长和角A；(2)求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，从而得到，由求出；（2）根据余弦定理和基本不等式求出，结合三角形三边关系得到周长的取值范围.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，，，可得，因为，所以，由得，得，故或，故或0(舍去).（2）因为，由余弦定理得，即，所以，又，即，解得，根据三角形三边关系得到，故，的周长的取值范围是.例5中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】根据题意由面积关系可得，再结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：，因为，即，整理得，则．当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．故选：B.【对点演练】在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.【详解】（1）由得，，或，所以或或；（2）由为锐角三角形，，根据正弦定理,所以,其中为锐角，.所以当即时，有最大值1.所以的最大值为.例6（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得，进而求得，再把化为，结合即可求解.【详解】，,即，，，，，，.故选：A.【对点演练】（2024上内蒙古赤峰统考开学）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是.【答案】【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简计算得，结合的范围求余弦值范围即可.【详解】设外接圆的半径为R，则，即.因为，所以，由正弦定理得，由二倍角公式得，则.由和差化积公式得，即.又因为为锐角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即，，由正弦定理得，即.由题意得，解得，，解得，又，所以，所以，则a的取值范围是.故答案为：.一、单选题1．中，，则b等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据正弦定理可知，，则.故选：A2．（2024·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果.【详解】因为，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，故选：B.3．（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（

）.A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】C【分析】根据余弦定理化简可得，再结合条件即可求得答案.【详解】由得，即，又，，故，（舍），故选：C4．（2024·全国·高一假期作业）如图，在中，，，D是BC的中点，E是线段AC上的点，且，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】解法一：设出，由余弦定理得到，得到方程，求出，作出辅助线，由余弦定理表达出，得到方程，求出，从而得到方程，求出，得到答案；解法二：作出辅助线，由题目条件得到，，设，由勾股定理表达出，得到方程，求出答案.【详解】解法一：设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，得．如图，过点A作交CB的延长线于点M，则，又，，所以，，则，．在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，整理得，所以，得，即；解法二：如图，过点A作交CB的延长线于点M，过点A作交CB的延长线于点H，易得，又，，所以，，则，，所以，，设，所以，，因为，所以，得，所以，故选：A5．（2024·全国·高三专题练习）在中，，则（

）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角【答案】C【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出.【详解】由，即，，又，所以，化简得，则，故在中，，故选：C6．（2024·全国·高一假期作业）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若边上中线长为，，求的面积（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】先结合正弦定理化简求出，进而求出角,再结合向量的实数化求出，则三角形的面积可求.【详解】因为，所以由正弦定理可得，因为在三角形中，所以，又因为，所以，所以或，因为边上中线长为，，设中点为，则可得，所以，又因为边上中线长为，，所以，当时，代入可得，解之可得，则所以，即为直角三角形，与题意矛盾，故舍去.当时，代入可得，解之可得，则的面积.故选：B.7．（2024·全国·高一假期作业）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题.【详解】，，∴，即，为锐角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因为为锐角三角形，所以，则，即：，所以，又，∴，即，故的周长的取值范围是.故选：C.8．（2024·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.【详解】由得，由得，故，故选：A多选题9.（2024上·河北·高三张北县第一中学校联考阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（

）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．当时，的内切圆的半径为D．若为锐角三角形，则【答案】BC【分析】确定，举反例得到A错误，设，则，根据余弦定理结合面积公式计算，B正确，确定，根据等面积法计算得到C正确，计算得到，D错误，得到答案.【详解】，则，对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误；对选项B：设，则，，，，当时，最大为，正确；对选项C：时，，，，，故，设内切圆的半径为，则，解得，正确；对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，且，即，解得，故，错误；故选：BC10．（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，且，则的最大值为C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是锐角三角形【答案】ABD【分析】通过正弦定理判断A，利用余弦定理及基本不等式求解最值判断B，根据正弦定理及边角关系判断C，根据两角和正切公式及三角形性质得，分析角的范围即可判断D.【详解】对于A，由，根据正弦定理得（为外接圆半径），即，则，正确；对于B，由余弦定理知，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，正确；对于C，由正弦定理得，则，又，则，知满足条件的三角形只有一个，错误；对于D，，所以，所以，所以，，三个数有0个或2个为负数，又因，，最多一个钝角，所以，，，即，，都是锐角，所以一定为锐角三角形，正确.故选：ABD.11．（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（

）A．若，则满足条件的三角形只有1个B．面积的最大值为C．周长的最大值为D．若为锐角三角形，则的取值范围是【答案】BCD【分析】根据即可判断A；根据余弦定理结合基本不等式即可判断BC；利用正弦定理化边为角，再结合三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A，因为，，所以满足条件的三角形有2个，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故B正确；对于C，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故C正确；对于D，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，，即，，所以，故D正确．故选：BCD.12．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）如图，的内角，所对的边分别为．若，且，是外一点，，则下列说法．正确的是（

）A．是等边三角形B．若，则四点共圆C．四边形面积最小值为D．四边形面积最大值为【答案】ABD【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D【详解】由正弦定理，得，，是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B正确.对于C、D，设，则，，所以四边形ABCD的面积，，，，四边形ABCD的面积，∴C不正确，D正确；故选：ABD填空题13．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.【答案】或【分析】利用三角形的面积公式求出角的值，再利用余弦定理可求得的值.【详解】由三角形的面积公式可得，则，因为，则或.当时，由余弦定理可得；当时，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则．【答案】2【分析】由已知可求得，再由正弦定理即可求出【详解】由，得，即，所以，因为，所以，．由正弦定理，得．故答案为：2.15．（2024·全国·高二竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是．【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理可求的取值范围.【详解】因为，故，所以，而三角形为锐角三角形，故，故，故即，故答案为：.16．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为