2023-2024学年上海市嘉定区高二年级下册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市嘉定区高二下册期中数学模拟试题

一、填空题

1.已知等比数列｛%｝的首项4=1,%=',则公比4=

【正确答案】ɪ

4

【分析】由等比数列的性质可得/=幺，然后运算即可得解.

«1

【详解】解：由等比数列的性质可得"=旦=],

解得：q=:，

4

故答案为.了

4

本题考查了等比数列基本量的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

2.抛物线V=©的焦点坐标是.

【正确答案】(1,0)

【详解】抛物线V=4x的焦点在X轴上，且p=2,.∙(=l,所以抛物线丁=4x的焦点坐标

为(1,0),故答案为(1,0).

3.正方体ABC42CA中，异面直线A片与8。所成角大小为

【正确答案】∣∕60o

【分析】连接A2、BR,,证明BQMBD,可得NAgQ即为异面直线AB∣与Bo所成角，

在.ABlDt求NABR即可求解.

【详解】如图，连接A。、B1D1,

因为∣BB∣∕∕DD∣,BBl=DR,

所以四边形BBQO是平行四边形，

所以BR//BD,

所以NABQi即为异面直线A4与Bo所成角,

设正方体A8CZ)-A8CA的棱长为。，

在「ABQ中，AD∣=AB,=BQ∣=Jia,

所以。是等边三角形，

所以NA4。=三TT，即异面直线A4与BQ所成角为TT

4.边长为2的正方形ABC。绕BC旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为.

【正确答案】16π

【分析】圆柱的底面半径r=2,母线长/=2,代入公式求值即可.

【详解】该圆柱的底面半径r=2,母线长/=2,

所以该圆柱体的表面积为S=2π产+2ɑ∕=2π∙22+2π22=16π∙

故答案为.16兀

5.己知曲线/(力=2/—3x,过点(0,0)作曲线的切线，则切线方程.

【正确答案】y=-3x

【分析】设切点坐标为(Xo，2石-3%),求出切线方程，代入点(0,0)求出天,从而可得切线

方程.

【详解】设切点坐标为&,2片-3x0),

由f(x)=2d-3x,得f(%)=6片-3,

所以曲线/(x)在点(%,2£-3x°)处的切线方程为y-仅石-3x°)=(6片-3)(x-与).

因为切线过点(0,0),所以-2*+3x°=(6*-3)(-X0),解得Xo=0.

所以切线方程为y=-3x.

故答案为:y=-3χ.

6.“_ABC三个内角的度数构成等差数列”是“ABC中有一个内角为60”的条件.

【正确答案】充要

【分析】利用等差中项的性质、三角形的内角和定理结合充分条件、必要条件的定义判断可

得出结论.

【详解】若ABC三个内角的度数构成等差数列，不妨设A、3、C成等差数列，

贝∣JA+8+C=38=180,可得B=60,

即“^ABC三个内角的度数构成等差数列“n"一ASC中有一个内角为60”；

若“ABC中有一个内角为60,不妨设8=60,则A+C=120=28,

所以，A、8、C成等差数列，

即“Be三个内角的度数构成等差数列"U“一ABC中有一个内角为60

因此，“.ABC三个内角的度数构成等差数歹U''是".ABC中有一个内角为60”的充要条件.

故充要.

7.无穷等比数列｛4｝的通项公式为=(sinx)",前"项的和为S,,,若阳5“=1,则满足条件

的X的取值集合为.

【正确答案】｛x∖x=2kπ+-^x=2kπ+-,keZ｝

66

【分析】利用等比数列的定义和前”项和公式求解即可.

【详解】因为｛4｝是等比数列，所以4=%L=SinX,

又因为:吧S,,=l,所以@<1,

∩cinYI

所以由等比数列前"项和公式可得IimS.=ι1-=∙-=1,所以SinX=

∖-q1r-sinx2

ττ5τr

所以满足条件的X的取值集合为｛x∣x=2E+?或x=2fac+?,keZ｝.

66

故｛x∣x=2fat+-∏Jζx=2⅛π+-,⅛∈Z)

66

8.已知P为双曲线χ2-y2=1右支上的一个动点，若点尸到直线y=x+2的距离大于加恒成

立，则实数加的取值范围是.

【正确答案】

把所求问题转化为求点尸到直线y=χ+2的最小距离，结合平行线间的距离公式可求.

【详解】双曲线f-y2=ι的渐近线方程为y=±χ,而直线y=χ+2与y=χ平行,

平行线间的距离"==√2.

√2

由题意可知点P到直线y=χ+2的距离大于应：

所以，〃≤夜.

故答案为.(-∞,0]

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距

离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.

9.在空间直角坐标系。-Λ>N中，己知A(l,-2,0),B(2,1,0),C(l,l,3),则三棱锥O-ABC的

体积为.

【正确答案】I

【分析[求出平面A8C的一个法向量”=(3,τ,l),从而可求点。到平面ABC的距离，求出

ABC即可得棱锥的体积.

【详解】Y=(1,3,0),8C=(T,0,3),设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

n∙AB=x+3y=0A/.

则,令x=3,可得y=-l,z=l,所以〃=(3,-1,1).

n∙BC=-x+3z=0

n-OA)l55√H

所以点O到平面ABC的距离为力=

W-√9+l+l.11

、2

ABBC_(l×(-l)+3×O+O×3

又cos?(48,BC)

AB∣∙∣BC∣√io×√io

所以

∣∣AB∣∙∣BC∣∙sin(AB,BC)=BX屈X屈.JI-COSAB,BC

U3√ΓT3√H

=5×=5X----------------------，

102

15√H3√H5

所以=—X----------X--------

31122

故答案为：g.

二的左右焦点，为「的上顶点，直线/经过点

10.已知K，尸2为椭圆「:+V=i(α>i)AK

a~

且与「交于SC两点；若/垂直平分线段A鸟，则AABC的周长是

【正确答案】^∕⅛.

33

【分析】如图，连接CJB/"则可得IeRl=IA。,怛图=IABI,所以"BC的周长为

|C&+忸用+1防∣+∣CKI=40,再求出。，即可求得结果.

【详解】如图，连接CK,8鸟,

因为/垂直平分线段,

所以ICEI=IAr,∣BR∣=IABI,

所以dBC的周长为IC周+忸图+怛制+∣C制=44,

由题意得40,1),耳(-c,0),E(C,0),则

A∕72的中点为(Tl],心居=f=-1，

(22√*0-cc

所以直线/的斜率为c,

所以直线/的方程为y-g=c(χ-∙∣),

因为直线/过K(-c,θ),

所以W=Cf-C解得C=且，

所以α=Λ∕⅛2+C2=Jl+；=~~~，

所以ZiABC的周长为4〃=晅，

3

故答案为,迪

3

>

X

11.已知曲线方程χbl+y∣y∣=i,若过A(M))的直线/与该曲线恰有三个不同的交点，则直

线/的倾斜角的取值范围是.

【正确答案】（-∞,T）U（τ,-2^∙）

【分析】根据曲线在不同范围表示圆、双曲线，结合圆和双曲线的性质求解.

【详解】当x≥O,y≥O时，方程XlXI+y∣yl=l可化为/+9=1,

其图象为!个单位圆；

4

当x>0,y<0时，方程x∣x∣+y∣y∣=l可化为Y->2=1，

其图象为焦点在X上的双曲线的右下支；

当x<O,y>O时，方程XlXl+y∣y∣=l可化为-V+V=1,

其图象为焦点在V上的双曲线的左上支；

当x<0,y<0时，方程XlXl+y∣y∣=l可化为-V-y2=],不可能成立；

设过点41。）斜率为k的直线方程为y=⅛（Λ-∣）,

联立[一：），可得（*2-l）x2-2k2x+F-I=O,

ir-ɪ=1

当Zw±l时，由A=4∕-4伏2-1）2=0,解得A=孝（舍）或k=_曰.

由图可知，当Ae（-8,-l）弓）时，直线/与该曲线恰有三个不同的交点，

故答案为：（-∞,-l）U∣（-l,-立）.

2

12.在平面直角坐标系XOy中，若动点P（a,b）到两直线/”产X和&y=-x+2的距离之

和为2夜，则a2+b2的最大值为

【正确答案】18

【分析】利用点到直线的距离公式可得：∖a-h∖+∖a+h-2∖=4.通过分类讨论可知：点（“㈤是

如图所示的正方形的4条边.即可得到“2+/最大值.

【详解】解：动点P(a,b)到两直线4：y=x和/∕y=τ+2的距离之和为2&,

∖a-b∖∖a+b-2∖=2√2,

化为|。一"十|。+人一2|=4.

a-h..0∖a-b..(}Ia-公Oa-h,,0

分为以下4种情况:<a+h-2..Oa+h-2<O^<a+h-2>0^t<a+h-2<0.

a=3b=-∖b=3a--∖

可知点S*)是如图所示的正方形的4条边.

可知：当取点A时，G+/取得最大值仔F7=M∙

.•./+〃的最大值为18.

故18.

本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法,

属于中档题.

二、单选题

13.下列求导数运算正确的是()

A.(∕)'=2χ2B.(IgX)'=1

X

C.(χ3+5)'=3f+5D.(SinXCOSX)'=cos2x

【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数求导公式和导数四则运算法则即可逐项计算并判断.

【详解】(1)=3x2,(lgxy=--,X3+5)=3X2,

`7ɪlnlθ`)

(SinXCoSΛ)'=cos2X-Sin,x=COS2x,

故ABC求导错误，。求导正确.

故选：D.

14.无穷等差数列｛4｝的首项4>0,公差d<0,｛4｝的前〃项的和为S,,,则（）

A.S“单调递减B.S“单调递增

C.S“有最大值D.S,,有最小值

【正确答案】C

【分析】由等差数列｛%｝的公差d<0得数列为递减数列，且先正值，后负值，从而判断出5.

有最大值.

【详解】无穷等差数列伍,J的首项4>0,公差d<0,

•.•｛%｝是递减数列，且先正值，后负值；

；•｛%｝的前〃项和为S,,先增加，后减小；

二S”有最大值;

故选C.

本题考查等差数列的单调性，求解时要从4/两个量，判断等差数列的性质.事实上，等差

数列的前几项都大于或等于0,从某项起开始小于0,则此类等差数列存在前几项和达到最

大值.

22

15.已知椭圆［+2=1（〃>6>0）的左右焦点分别为我"?，椭圆存在一点尸，若

ab

N"P名=120,则椭圆的离心率取值范围为（）

c∙净1）D∙七,争

【正确答案】C

【分析】设IPKl=4,上居I=R,根据椭圆的定义和余弦定理得4∕-4C∙2={4,再根据基本

不等式和离心率公式可得结果.

【详解】设IPKI=1,Ir玛1=4,则4+4=2”,

在△/=；PE中，COSl20="上土，

2和

所以/+4-4C2=-rlr2,

2

所以（4+弓）2-2桃-4c=-rlr2,

所以4/-4/=榜,

因为2α=z1+与≥2而'，当且仅当4=4=0时，取等号，

所以化≤/,

所以4/_4C2≤a2,所以3a2<4c2,

所以《2之，所以e=C≥立，又0<e<l,

a24a2

所以且≤e<l.

2

故选：C

16.如图，正方体ABCD-AgC田，则下列四个命题：

①点P在直线BG上运动时，直线AP与直线所成角的大小不变

②点P在直线BG上运动时，直线AP与平面AC。所成角的大小不变

③点P在直线BG上运动时，二面角P-AA-C的大小不变

④点P在直线BG上运动时，三棱锥A-APC的体积不变

其中的真命题是（）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④

【正确答案】D

【分析】①由AQ与平面ABG。的位置关系判断直线AP与直线AQ所成角的大小变化情

况；

②考虑AB,AC1与平面ACDt所成角的大小，然后判断直线AP与平面ACD,所成角的大小是

否不变；

③根据BC"∕4R以及二面角的定义判断二面角P-A0-C的大小是否不变；

④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥A-RPC的体积是否不变.

【详解】①如下图,连接A28G，

因为AOLAR,AO∙LRG,ARDtCl=D1,所以4。J.平面ABCQ」

所以A1OLAP,所以直线AP与直线A。所成角的大小不变;

②如下图，连接8C∣,记8,G到平面的距离为4,A2,

ɪ

又因为％TBC=；•母∙l=j,所以/=JC=与

'326IVJJ—×—

32

所以A8与平面AeA所成角的正弦值为：.△石上,

sinθ=上一=——

x113

ɪ

—rz

又因为匕.OIC,C="?1=1，所以4=丁）=7,

—×—

32

所以Aa与平面ACA所成角的正弦值为：Tɪ,

3忑=与

显然α*”,所以直线”与平面ACR所成角的大小在变化;

③因为BG//AR,所以48,G，。四点共面，又P在直线4。上，所以二面角P-A。-C的

大小不变;

④因为BC"∕4R,BGa平面ACDI,ARU平面ACR,所以8C∣〃平面ACR,

所以当P在BG上运动时，点P到平面ACR的距离不变，所以三棱锥A-RPC的体积不变.

所以真命题有：①③④.

故选：D.

本题考查空间中点、线、面的位置关系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线

上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：＜1＞作出线段的射影，计算出射影

长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；＜2＞计算线段在平面外的一个端点到平面的距

离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦.

三、解答题

iɔn

17.蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：T(r)=选+15,其中7(。为蜥蜴

的体温(单位：P),f为太阳落山后的时间(单位：min).

(1)求7'(10),并解释其实际意义；

(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为-loC/min时的时刻f是多少(精确到。01)?

Q

【正确答案】(l)T'(10)=-三，实际意义见解析；

(2)5.95min.

【分析】(1)求出τ(∕)的导数，代入X=IO可求7'(10),根据导数的几何意义解释其实际意

义；

(2)求解r'Q)=-l即可.

7,八-120τ∕n∖-1208

【详解】⑴T⑺=宙，则T(Io)=E=F'

表示太阳落山后Iomin,蜥蜴的体温下降的速度为-1°C∕min.

,-120

(2)令丁'(，)=〃s∖2=T,解得r=2回-5≈2x5.477-5≈5.95,

故蜥蜴体温的瞬时变化率为-l°c∕min时的时刻是5.95min.

18.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且％=10.

(1)若％,=590,求｛4｝的公差；

(2)若qeZ,且&是数列｛S,,｝中最大的项，求q所有可能的值.

【正确答案】(1)3

(2)18,19,20

【分析】(1)根据已知条件列方程，化简求得｛%｝的公差.

(2)根据数列｛S,,｝中的最大项列不等式，从而求得《的所有可能取值.

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,则

a4=q+3d=10

,解得d=3.

520=20«I+190J=590

(2)由⑴得%=4+3d=]0,d=IO3"'

由于邑是数列｛s,,｝中最大的项，d=与i∙<0,4>10①,

O≥0a÷6J≥0

所以Iλ

4≤0q+7d≤0

4+6X———=20-q>0

即13

10—i7∣70—4cι.

a.+7×-------L=---------L≤0

I133

解得'3≤54≤2O,由于％是整数，所以外的可能取值是18,19,20.

19.如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，P4_L平面ABC。，M为PC

中点.

⑴求证：PA//平面M8D；

（2）若AB=40=抬=2,ZSW=120°,

①求四棱锥M-ABCD的体积；

②求二面角B-AM-。的大小.

【正确答案】（1）证明见解析；

（2）①2^；（2）π-arcsin.

37

【分析】（1）连4C交BO于点N,连MN.因为底面ABCD为平行四边形,所以N为AC的中点.

因为M为PC中点,所以MN〃心,可利用线面平行的判定可证得；

（2）①根据V"TB8=；X2XgAB∙A£>∙sinNBAD×^PA即可求解；

②取CD中点E,连AE,易证得AECR即AE.A8.又PA.平面48CZ）,故以A8√⅛E,AP分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求得二面角的余弦值，进而得到答案.

【详解】（1）连4C交80于点N,连MN,

因为底面ABCQ为平行四边形,所以N为AC的中点.

因为M为PC中点,所以MNHPA.

又∕¾二平面MBDMNU平面MBD,

所以现〃平面MBD.

(2)①因为AB=AD=H4=2,/BAD=120°,M为PC中点,

所以L-32x∕8.皿∙sin∕BAOXsA

ICICC61c2G

=-×2×-×2×2×—×-×2=-----.

32223

②取Co中点E,连AE.

因为AB=AD,四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为菱形,

又ZBAD=120。,所以ZADC=60。,因此一Aeo为等边三角形，

所以AECD即AEAB.

又PA.平面ABCD,

故以AB,AE,AP分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(1,6,0),。(-1,G,O),M-,ɪ,l,

所以A8=(2,0,0),AM=，AO=(-1,6,0).

设平面AMB的一个法向量为勺=(x,y,z),

…八[2x=0

nλ∙AB=0

则｛,即｛1√3,取产2,贝IJx=0tz=-y∣3,

πAM=O-x+-y+z=O

1[22

即nl=(0,2,-√3).

设平面AMD的一个法向量为〃2=(x∣,Y,zJ,

[∏2∙AD=OF+Gyl=O

则V即，]λ/ɜ,取XI=6厕M=1,Z[=-G

%YM=0-X1÷-^-y1+z1=0

即∏2=(ʌ/ɜ,ɪ,-y∣3)∙

0×√3+2×l+(-√3)×(-√3)5

则CoS(晨吗

√7×√7-7

又如丐闫。,兀］,

所以二面角B-AM-O的平面角的正弦值为j考

结合图形易得二面角B-AM-。的平面角为钝角,

所以求二面角5-AM—。的大小为兀-arcsin辿.

7

20.己知过点A(—1,0)的直线/与圆U∕+(),-3)2=4相交于尸、Q两点，M是弦PQ的中点,

且直线/与直线机/+3α+6=0相交于点N.

(1)当直线/与直线掰垂直时，求证：直线/经过圆心C；

(2)当弦长IPQI=26时，求直线/的方程；

(3)设，=AM∙AN，试问，是否为定值，若为定值，请求出■的值；若不为定值，请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)尸一1或4x-3y+4=0

(3"为定值，且f=-5

【分析】(1)利用垂直时配&=7求出勺，利用点斜式即可得出直线/的方程，然后验证

圆心C在直线/上即可；

(2)讨论直线/斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据CM=I即可

得解；

(3)先转化AM∙AN=AC∙AN,根据直线斜率是否存在分别求出点N点坐标，计算后即可

得解.

【详解】ɑ)解：直线/与直线加垂直，且⑥=-g，∙∖%=T=3.

故直线/方程为y=3(x+l),即3x-y+3=0.

圆心为C(0,3),且3x0-3+3=0,故当直线/与直线加垂直时，直线/经过圆心C.

(2)解：①当直线/与X轴垂直时，则直线/的方程为尸-1,圆心C到直线/的距离为1,

且IPQI=2√F7^=2√L合乎题意；

②当直线/与X轴不垂直时，设直线/的方程为y=A(χ+ι),即依-y+4=o,

IPQl=26,Af是PQ中点，圆C圆心为(0,3),半径为2,

.∙.∣CM∣=√4^3=1,则由ICMl=EU=1,得无=g

4

此时，直线/的方程为y=](x+l),即4x-3y+4=0.

综上所述，直线/的方程为X=-I或4x-3y+4=0.

⑶解：CMLNA,■■AM-AN=(^AC+CM)-AN=ACAN+CMAN=AC-AN.

X=-I

X=-I,

①当/与X轴垂直时，直线/的方程为x=-l,联立x+3y+6=。可得5，

即点NU,则AN=(O5

3

又AC=(1,3),.IAM∙∕υV=AC∙AN=-5∙

②当/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Mx+1),其中心-3

-3⅛-6

X-

3V1'即点N-3⅛-6-5k一5-5kʌ

则由可得,则AN=,

-5k1+3&'1+3A1+3⅛1+3ΛJ*

y=~~"

3⅛+l

-5-↑5k

・•.AM-AN=AC-AN=-------÷-—=-5.

1+321+3攵

综上所述，f=AM∙AN与直线/的斜率无关，且f=AM∙AN=-5.

•>2

21.已知椭圆储：5+'=1,以椭圆G的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点尸是

抛物线C?的准线上任意一点，过点?作抛物线G的两条切线丛、PB,其中A、B为切点,

设直线E4、PB的斜率分别为尢、k2.

(1)求抛物线C2的标准方程及其准线方程；

(2)计算匕注的值;

(3)求证：直线A3过定点，并求出这个定点的坐标；

【正确答案】(1)抛物线C?的标准方程V=4χ,准线方程为x=-l

⑵占？&-1

(3)证明见解析，直线AB过定点(以))

【分析】(1)求出椭圆CI的右焦点坐标，可