湖南省娄底市娄星区2022-2023学年数学九年级第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（

2.如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（

A.B.

ZC=90°,sinA=且,

3.在RtzXABC中,则NA的度数是（)

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球后不放回，再

随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）

5.为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下

表:

甲26778

乙23488

关于以上数据，说法正确的是（）

A.甲、乙的众数相同B.甲、乙的中位数相同

C.甲的平均数小于乙的平均数D.甲的方差小于乙的方差

6.下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天一定有雾霾

B.国家队射击运动员射击一次，成绩为10环

C.13个人中至少有两个人生肖相同

D.购买一张彩票，中奖

7.如图，点P是AABC的边A5上的一点，若添加一个条件，使AABC与ACB尸相似，则下列所添加的条件错误的

是（）

A

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB:BC

8.如图，AOAB^AOCD,OA：OC=3：2,ZA=a,ZC=p,4OAB与aOCD的面积分别是Si和S2,AOAB

与AOCD的周长分别是G和C2,则下列等式一定成立的是（)

A.----——B.——C.0―D.

CD2/2邑2c22

9.抛物线y=x?+2x-2最低点坐标是()

A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)

10.若气象部门预报明天下雨的概率是65%,下列说法正确的是（）

A.明天一定会下雨B.明天一定不会下雨

C.明天下雨的可能性较大D.明天下雨的可能性较小

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数字是3的倍

数的概率为.

12.将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是.

13.如图，在四边形ABCD中，AB〃DC,AD=BC=5,DC=7,AB=13,点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD—DC

向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为

平行四边形时，运动时间为秒.

14.如图，四边形ABC。中，ZADC=NBCD=120。,连接AC,AB^AC,点E为AC中点，连接OE,CD=6,

£>石=厉，则AB=.

15.某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完

全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有条鱼.

16.已知菱形ABC。中，ZA=120°,A5=4,边上有点区点p两动点，始终保持。石尸，连接BE,石£

取班中点G并连接FG,则FG的最小值是

17.如图，一次函数y=x与反比例函数丁=月(k>0)的图像在第一象限交于点A,点C在以8(7,0)为圆心,

X

2为半径的。5上，已知AC长的最大值为7,则该反比例函数的函数表达式为.

18.如图，在坐标系中放置一菱形Q46C,已知NABC=60°,04=1,先将菱形Q钻C沿x轴的正方向无滑动翻

转，每次翻转60°,连续翻转2019次，点3的落点依次为51,B”B3,则4019的坐标为.

三、解答题(共66分)

19.（10分）如图，已知AD・AC=AB・AE.求证：AADE^AABC.

20.(6分)计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D—园艺种植.为了解学生最喜欢哪

一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查(每位学生必须选且只能选一个项目)，并将调查结果绘制成了两幅不

完整的统计图，请回答下列问题:

(1)这次被调查的学生共有—人；扇形统计图中，选“D—园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是,

(2)请你将条形统计图补充完整;

(3)若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数

21.(6分)如图，抛物线、=。必+6%+。的顶点坐标为(1,j1),点A的坐标为(-1,0),尸为直线下方抛物线上

一点，连接PC,PB.

（1）求抛物线的解析式.

（2）ACPB的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点P的坐标；如果没有，请说明理由.

（3）。为V轴右侧抛物线上一点，。为对称轴上一点，若AC。。是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写

出点Q的坐标.

4x+3y=5

22.（8分）解方程组：.

x-2y=4

23.（8分）如图，。的直径AB=10,点。为。。上一点，连接AC、BC.

（1）作NACB的角平分线，交Q于点D；

（2）在（1）的条件下，连接AD.求AD的长.

24.（8分）[阅读理解]对于任意正实数。、b,

•；（8-&）>0>a-2>[ab+b>0）

'•a+b>2y[ab（只有当a=b时，a+b>2y[ab）.

即当a=b时，a+力取值最小值，且最小值为2疯.

根据上述内容，回答下列问题：

4

问题1：若772>0,当m=时，加+—有最小值为;

m

o9

问题2：若函数y=〃+—-（6/>1）,则当时，函数y=a+—有最小值为.

a-1a-1

25.（10分）如图，AB是。。的直径，点C,D在圆上，且四边形A0CD是平行四边形，过点D作。。的切线，分别交

OA的延长线与OC的延长线于点E,F,连接BF.

（1）求证：BF是。。的切线；

（2）已知圆的半径为1,求EF的长.

26.（10分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B

乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混

在一起，背面朝上放好.

（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；

（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔

治的概率.

D

佩奇爸爸

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【解析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱.故选C.

2、C

【解析】分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

详解：从左边看竖直叠放2个正方形.

故选：C.

点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将

三种视图混淆而错误的选其它选项.

3、C

【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：NA=60。.

4、A

【解析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.

【详解】画树状图得：

ft*

不个,尔本

•.•共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，

21

...两次摸出的小球标号之和等于6的概率=二

126

故选A.

【点睛】

考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

5、D

【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.

【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7,

排序后最中间的数是7,所以中位数是7,

—2+6+7+7+8，

x甲=-------------------=6,

S^=-xr（2-6）2+（6-6）2+（6-7）2+（6-7）2+（8-6）2l=4.4,

乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8,

排序后最中间的数是4,所以中位数是4,

—2+3+4+8+8=

-5—=5,

S1=-xP（2-5）2+（3-5）2+（4-5）2+（8-5）2+（8-5）21=6.4,

5--

所以只有D选项正确，

故选D.

【点睛】

本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.

6、C

【分析】必然事件是一定发生的事情，据此判断即可.

【详解】A.明天有雾霾是随机事件，不符合题意；

B.国家队射击运动员射击一次，成绩为10环是随机事件，不符合题意；

C.总共12个生肖，13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，符合题意；

D.购买一张彩票，中奖是随机事件，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了必然事件与随机事件，必然事件是一定发生的的时间，随机事件是可能发生，也可能不发生的事件，熟记

概念是解题的关键.

7、D

【分析】在AABC与ACB尸中，已知有一对公共角NB,只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成

比例，即可判断正误.

【详解】A.已知/B=/B,若4PC=NACB,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

B.已知NB=NB,若NA=NBCP,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

C.已知/B=NB,若43:30=5。:依，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

D.若但夹的角不是公共等角NB,则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键.

8、D

【解析】A选项，在AOABsaocD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不

一定成立；

B选项，在AOABsaoCD中，NA和NC是对应角，因此£=/,所以B选项不成立；

C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；

D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.

故选D.

9、D

【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可.

【详解】...,=尤2+2%—2=无2+2%+1—1—2=（x+1）2-3,且〃=1>0,

二最低点（顶点）坐标是（―1，—3）.

故选：D.

【点睛】

此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题.

10、C

【分析】根据概率的意义找到正确选项即可.

【详解】解：气象部门预报明天下雨的概率是65%,说明明天下雨的可能性比较大，所以只有C合题意.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生.

二、填空题（每小题3分，共24分）

4

11,—

13

【分析】根据概率的定义求解即可

【详解】一副普通扑克牌中的13张红桃牌，牌上的数字是3的倍数有4张

4

.•.概率为—

_4

故本题答案为：—

13

【点睛】

本题考查了随机事件的概率

12、y=x*+x-1.

【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加.上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.因

此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x-L

13、3

【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ,据此列出方程求解即可.

【详解】解：设运动时间为t秒，如图，

则CP=12-3t,BQ=t,

四边形PQBC为平行四边形

12-3t=t,

解得：t=3,

故答案为3.

本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大.

14、2779

【分析】分别过点E,C作EFLAD于F,CG±AD于G,先得出EF为AACG的中位线,从而有EF=-CG.在RtADEF

2

中，根据勾股定理求出DF的长，进而可得出AF的长，再在Rt^AEF中，根据勾股定理求出AE的长，从而可得出

结果.

【详解】解：分别过点E,C作EFLAD于F,CGJ_AD于G,

；.EF〃CG,/.AAEF^AACG,

又E为AC的中点，.，.F为AG的中点，

1

，EF=—CG.

2

又NADC=120°,AZCDG=60°,

又CD=6,；.DG=3,.\CG=3y/3,

icG=^-,

22

在Rt^DEF中，由勾股定理可得，DF=y/ED2-EF2=J37--,

V42

AF=FG=FD+DG=—+3=—,

22

.•.在Rt^AEF中，AE=，A、2+E产=丝+女=回,

V44

；.AB=AC=2AE=2扬.

故答案为：2回.

A

zG

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线

是解题的关键.

15、1000

【解析】试题考查知识点：统计初步知识抽样调查

思路分析：第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的十分之一.

具体解答过程：

第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的比例为：

•.•先从鱼塘中捞出后作完记号又放回水中的鱼有100条

.•.该鱼塘里总条数约为：

:丁：=1口1（条）

10

试题点评：

16、1

【分析】过D点作DHLBC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M,连接BM.由菱形性质和NA=120。可证

明FM=DF=EF=DE,进而可得尸6=工N0,由BM最小值为BH即可求解.

2

【详解】解：过D点作DHLBC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M,连接BM.

A

•.•在菱形ABC。中，ZA=120°,AD//BC,

：.ZADC=60°,DHLBC,

:・/HDC=30。,

,:DE=DF，ZADC=60°,

:.EF=DE=DF,

:.ZDEF=60°,

又；DHLBC,

：.ZMDF=ZFMD=30°,

:.FM=DF=EF,

又,：BG=EG,

：.FG=-BM,

2

.•.当BM最小时FG最小，

根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH,

••,在菱形ABC。中，AB=4,

；.AB=BC=CD=4

又•..在RtACHD中，ZHDC=30°,

：.CH=-CD=2,

2

：.BH=BC+CH=4+2=6,

/.AM的最小值为6,

FG的最小值是1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点;

将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键.

9T16

17、y=—或y=—

xx

【解析】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m,n）,则根据A在y=x上得m=n,由AC长的最大值为7,可知

AC过圆心B交。B于C,进而可知AB=5,在Rt^ADB中，AD=m,BD=7-m,根据勾股定理列方程即可求出m的

值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.

【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m,n）,

,.,A在直线y=x上，

..m=n,

・・・AC长的最大值为7,

AAC过圆心B交。B于C,

AAB=7-2=5,

在RtAADB中，AD=m,BD=7-m,AB=5,

m2+(7-m)2=52,

解得：m=3或m=4,

k

•••A点在反比例函数y=—(k>o)的图像上，

x

.,.当m=3时，k=9；当m=4时，k=16>

916

该反比例函数的表达式为：y=—或y=—，

xx

916

故答案为y=—或y=—

XX

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC的最长值是通过圆心的直线是解题关键.

18、(2326,0)

【分析】根据题意连接AC,根据条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每

翻转6次，图形向右平移2.由于2029=336X6+3,因此点反向右平移2322(即336X2)即可到达点不。”，根据点层

的坐标就可求出点与招的坐标.

•.•四边形OABC是菱形,

/.OA=AB=BC=OC.

VZABC=60°,

/.△ABC是等边三角形.

.\AC=AB.

/.AC=OA.

VOA=2,

/.AC=2.

画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如上图所示.

由图可知：每翻转6次，图形向右平移2.

72029=336X6+3,

...点名向右平移2322（即336X2）到点修。”

VB3的坐标为（2,0）,

•182019的坐标为（2+2322,0）,

/.B2O19的坐标为（2326,0）.

故答案为：（2326,0）.

【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转6次，图

形向右平移2”是解决本题的关键.

三、解答题（共66分）

19、证明见解析.

Ar）AF

【分析】由AD・AC=AE・AB,可得——=——，从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明

ABAC

结论成立.

【详解】试题分析：

证明：VAD»AC=AE«AB,

•_A_D____A_E_

■"AB-AC

在AABC与ZkADE中

ADAE

••_____ZA=ZA,

■AB-AC

...AABC^AADE

20、（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人.

【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°,即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占

总人数的比例可得;

（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图;

（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得.

【详解】（1）..•A类有20人，所占扇形的圆心角为36。，

,这次被调查的学生共有：20+g=200（人）；

360

选“D—园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360。X^4=072°,

故答案为：200、72；

（2）C项目对应人数为：200-20-80-40=60（人）；

补充如图.

/、80+60,,、

（3）1500X------=1050（人），

200

答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

273_15’3+逐布-5、

y=%?—2%-3；（2）最大值为—，点。的坐标为

21、(1)，-；（3）点Q的坐标为

82T2'2

[3—百_行-5、

2J

【分析】⑴先设顶点式y=a（x—々A+左（aw。），再代入顶点坐标得出y=a（x—1了一4,最后代入4-1,0）计算

出二次项系数即得;

（2）点P的坐标为（口，m2-2m-3）,先求出B、C两点，再用含m的式子表示出△CP3的面积，进而得出面积与

m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值;

（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据CE=Q歹和QE=DF列出方程求解即得.

【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x—⑨2+左(awO).

•.•顶点坐标为(1，-4)

y—a(x—I)?-4.

•••将点4-1,0)代入y=g—I)?—4,解得』

二抛物线的解析式为y=三一2x-3.

(2)如图1,过点P作尤轴，垂足为"，PM交BC于息K.

•••将y=0代入y=d_2x_3,解得苞=3,x2=-1

...点3的坐标为(3,0).

•.•将x=0代入y=d—2x—3,解得y=-3

.•.点C的坐标为(0,—3)

设直线BC的解析式为y=kx+b

•.•点C的坐标为(0，-3),点3的坐标为(3,0)

b=-3k=l

,解得彳

0=3k+bb=—3

二直线的解析式为y=x-3.

设点P的坐标为(m，m2-2m-3),则点K的坐标为(桃7"-3)

23

PK=(m-3)-(m2-2m-3)=-/n+3m=-m----

2

过点、C作CNLPK于点、N

・・q_ccPKB-M----P-KC1--N---P-K-(B--M--+-C-N-)---3-P=K---

•uCPB~口CPK丁力PBK

2222

3（3?27

■CPB2（2j8

327

故当机=一时，△（7尸5的面积有最大值，最大值为一

28

此时点P的坐标为

（3）点。的坐标为［节

分两种情况进行分析：①如图2,过点。作x轴的平行线，分别交y轴、对称轴于点E,F

图2

设点Q的坐标为(a，«2-2o-3)

•:ACQE+NDQF=ZDQF+ZQDF=90°

...ZCQE=ZFDQ

.•.在_EQC和-bOQ中

ZCEQ=ZDFQ

<ZCQE=ZFDQ

CQ=DQ

:.EQC经FDQ(AAS)

:.CE=QF

VCE--3-(«2-2a-3^=—a2+2a,QF=1-a

••1—ci——Q?+2Q

3+753-75

解得4=（舍去），a2

22

...点。的坐标为［±E,TfH-

I22J

②如图3,过点。，C作x轴的平行线，过点。作y轴的平行线，EF分别交CE,DF于点、E,F.

设点Q的坐标(a，a2-2a-3)

•:由①知EQgFDQ(AAS)

：.QE=DF

,:QE=a2—2a,DF=a—1

••a—1—/—2a

解得q=之黄，4=三叵(舍去)

.•.点Q的坐标为［与5,与3

I22)

4*ree'jxJtCiVi斗,13+逐石一51Tl3—君-A/5-5

综上所述：点。的坐标为一--，---或---，-------.

I)\)

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及

性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：

y=a(x-fz)2+左(。wO).

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

4%+3y=5①

【详解】解:

2y=4②

①-②x4得：lly=-11,BPy=-1,

把y=-l代入②得：x=2,

x=2

则方程组的解为1.

【点睛】

此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用.

23、（1）见解析；（2）5A/2

【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径（不大于AC为佳）画弧于AC和BC交于两点，然后以这两个交点为圆心，

大于这两点之间距离的一半为半径画两段弧交于一点，过点C和该交点的线就是NACB的角平分线；

（2）连接60,先根据角平分线的定义得出NACD=45。，再根据圆周角定理得出NA8=90。，最后再利用勾股定

理求解即可.

【详解】解：（1）如图，CD为所求的角平分线；

D

(2)连接。少，

0的直径AB=10,

ZACB=90°,AO=DO=5.

CD平分NACB,

ZACD=-NACB=45°.

2

.-.ZAOD=2ZACD^90°.

在HfAAO。中，AD=+DO2=752+52=5A/2-

【点睛】

本题主要考察基本作图、角平分线定义、圆周角定理、勾股定理，准确作出辅助线是关键.

24、（1）2,4；（2）4,1

【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和，”的取值；

99

（2）先将函数写成y=a-1+—+1,对a-1+——用上面的公式算出最小值，和取最小值时a的值，从而得到函

a-1a-i

数的最小值.

【详解】解：（1）m+—>2jm-一=2^/4=4,

mvm

44

当机二一，即相=2（舍负）时，m+—取最小值4,

mm

故答案是:2,4；

=6,

9

a——2（舍去）时，a-l-\-----取最小值6,

a—1

9

则函数y=a+——（。〉1）的最小值是1,

a—1

故答案是：4,1.

【点睛】

本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算.

25、（1）证明见解析；（2）EF=2A/3.

【分析】（1）、先证明四边形AOCD是菱形，从而得至IJNAOD=NCOD=60。，再根据切线的性质得NFDO=90。，接着证

明4FDO之△FBO得到/ODF=NOBF=90。，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）、在RtAOBF中，利用60度的正切的定义求解.

【详解】（1）、连结OD,如图，I•四边形AOCD是平行四边形，而