2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复数范围内，有下列命题：①-1的平方根只有i;②i是1的平方根；③若复数a+

加（a,R）是某一元二次方程的根，则a-bi一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i,贝Ijz

的平方根为虚数.上述命题中真命题的个数为（）

A.3B.2C.0D.1

2.下列命题中成立的是（）

A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C.一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥

D.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体

3.在所有的两位数（10-99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（）

12C1D5

-一--

A.3326

4.从3,4,5,6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形

的概率是（）

11C13

---D-

A.4324

5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：

甲组：27,30,37,m,40,50；

乙组：24,n,33,44,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则?等于（）

4CD7

-107-

A.34

6.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM2.5的浓度（单位：

M5/m3）,数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,7n（7n>50）.已知这组

数据的极差为40,则这组数据的第m百分位数为（）

A.71B.75.5C.79D.72

7.在△ABC中，4D为BC上的中线，G为4D的中点，M,N分别为线段AB,AC上的动点（不

包括端点4B,C）,且M,N,G三点共线，若初=4前，AN=fiAC，则；1+4〃的最小值

为（）

A.|B.|C.2D.1

8.在锐角AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA=妥，则票的取值范围

2cc+b

是（）

7i1

A.（1,1）B.（1,1）C.（l,+8）D.&+8）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知a,b,c分别是△力BC三个内角4,B,C的对边，则下列命题中正确的是（）

A.若5加力>sinB,则A>B

B.若AABC是边长为1的正三角形，则南.布=?

C.若B=*,b=\T~2^c=2,则△48C有一解

D.若0<tanAtanB<1,则44BC是钝角三角形

10.设有两条不同的直线加、几和两个不同的平面a、B，下列命题中错误的命题是（）

A.若m//a,n//a,则?n/加

B.若mua,nca,m//p,九〃夕，则a〃/?

C.若m〃几，mca,则n〃a

D.若a"B，mua,则

11.若z（l+i）=2i,其中i为虚数单位，则（）

A.\z\=1B.z2—2i

C.z的共加复数为1+iD.z的实部为1

12.甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是全从乙盒

中摸出一个红球的概率是：，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他

颜色小球得0分，下列说法中正确的是（）

A.小明得6分的概率为JB.小明得分低于6分的概率为J

C.小明得分不少于3分的概率为qD.小明恰好得3分的概率为:

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知瓦？=（一2,6），0瓦=（n,l），0C=（5,-1），若点4、8、。在同一条直线上,且根=2n,

则m+n=・

14.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5,在不超

过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是(用分数表示).

15.在掷一个骰子的试验中，事件4表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于

5的点数”，则事件4+后发生的概率为(后表示B的对立事件)

16.在△ABC中，已知4B=2,AC=，^-ABC=120°,贝UBC=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知应石是两个单位向量，且日与B的夹角为今

(1)求五+3|;

(2)求d与qn+方的夹角的余弦值.

18.(本小题12.0分)

2

已知复数Z]=+(a-l)i,z2=2+2(a+l)i(aGR,i是虚数单位).

(1)若复数zi-Z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)若虚数Z]是实系数一元二次方程4/-4x+m=0的根，求实数小值.

19.(本小题12.0分)

在A48C中，AB=3,AC=1,44=60。.

(1)求sinzJlCB；

(2)若。为BC的中点，求4。的长度.

20.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BCD中，P41平面4BCD,NBA。=4BCD=^,AB=BC=1,PA=BD=2.

过点作直线AB的平行线交4。于尸，G为线段PD上一点.

(1)求证：平面P4D±平面CFG；

(2)求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值.

p

21.(本小题12.0分)

甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，

积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四

局结束，设有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概

率为：，负的概率为主且每局比赛之间的胜负相互独立.

(1)求第三局结束时乙获胜的概率；

(2)求甲获胜的概率.

22.(本小题12.0分)

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收

费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分

按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100

位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9组，制成

了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由;

（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计X的值，并说明理由.（

结果保留到小数点后三位）

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：对于①，-1的平方根有两个，分别为i和-K故①错误；

对于②，1的平方根是-1和1,故②错误；

对于③，令a=1,6=0,则a+bi=1是方程/+刀一2=0的一个根，但方程/+x-2=0的

另一个根是x=-2,并非a-bi=1,

实际上，只有实系数方程的虚根才是共粗复数，故③错误；

对于④，设z=i的平方根为x+yi(x,yeR),则(x+yi)2=i,即/—y2+2町;‘=3

故IL解得f7或f=一3，

12盯=1[y=?[y=_?

所以z=i的平方根为浮+?i或-好-?i，显然Z的平方根是虚数，故④正确；

综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为L

故选：D.

对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定

义与复数相等的性质求得z=i的平方根，从而得以判断.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：对4只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，

所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误;

对B,若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直,

则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故8正确；

对于C,如图所示，若4B=4C=CD=BD=4,BC=AD=3,

满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面BCD不是正三角形，故C错误;

对。，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体,

比如底面为三角形的直三棱柱，故。错误.

故选：B.

根据相关空间几何体的定义，举出部分反例空间几何体即可判断.

本题考查柱体与锥体的结构特征，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：在所有的两位数(10-99)共有90个，其中被2整除的有10,12,14,98,共计45

个.

被3整除的有12,15,18.........99,共计30个，被6整除的有12,18,24,96,共计15个,

故能被2或3整除的数有45+30-15=60个.

任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为喘=|,

故选：B.

在所有的两位数(10-99)共有90个，求得其中被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的

有15个，可得能被2或3整除的数有60个，由此求得这个数能被2或3整除的概率.

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，等差数列的通项公式，求得被2或3整除的数有60个,

是解题的关键，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：从3,4,5,6四个数中任取三个数，所有基本事件为(3,4,5),(3,4,6),(4,5,6),(3,5,6)

共4个，

构成的三角形是锐角三角形的基本事件有：(4,5,6)共1个，

所以构成的三角形是锐角三角形的概率是

4

故选：A.

直接利用古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为甲乙两组都有6个数据，30%x6=1.8,50%x6=3,

所以第30百分位数为n=30,

第50百分位数为等=生产，

所以m=40,

所以里=竺=上

n303

故选：A.

根据百分位数的定义，求出小，n的值即可得答案.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,>50）.而这组数据

的极差为40,数据中最小值为41,

故m应为最大值81,

则81%x11=8.91,

将数据从小到大排列:41,45,53,56,65,69,70,72,79,80,81,

故这组数据的第m百分位数为79,

故选：C.

利用极差以及50可判断m为最大值，可求再利用百分位数定义可解.

本题考查了百分位数的计算，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意前=］而=：（同+前）=：（近+；能）=：荏+；（前—四）=；荏+

4

设而=xMN，0<x<1,

A

则尼=AM+MG=AM+x~MN=AM+x(AN-AM)=%而+(1-x)箱=4(1-x)而+

HxAC>

所以;1(1-x)=%=[,得X；+，=l，

所以4+4〃=+4〃)(：+》=亨(5+与+》2*(5+4)=*,

当且仅当多=4,即;1=,，〃"时等号成立，

Aju4尸8

A+4〃的最小值为

故选：D.

利用平面向量的基本定理，用荏，就表示而，设而=x'MN，0<x<1,再用含参的方式用荏，

尼表示尼，得到关于参数的方程组求得[(；+，=1，最后应用基本不等式“1”的代换求4+4”

的最小值，注意取值条件.

本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，考查利用基本不等式求最值,

是中档题.

8.【答案】A

【解析】解：因为cosA=^,

2c

所以2sinCcosA=sinB-sinC=sin(A4-C)—sinC,

贝!J2smecosA=sinAcosC+cosAsinC—sinC,

则sinC=sin(i4—C),

则C=4-C或C+/-C=TT,

则4=2c或4=兀(舍)，

由7P驳宗理可得2c__2sMe____2sinC___________2sin°____

Ji“c+bsinC+sinBsEC+sin(A+C)s讥C+sin(2C+C)

_2sinC_2sinC_1

-sinC+sin2CcosC+cos2CsinC—sinC+2sinCcos2C-^-(2cos2C-l)sinC-2cos2C9

又因为△ABC是锐角三角形，

’0<2C<]

所以，0<兀-3。<泉解得，<C<],

IZO4-

[o<y

则?<cosC<?，

则:</汴<1,即：<W<1.

32cos〃C3c+b

故选：A.

先根据已知条件化简可得4=2C,再将吉化为嬴,结合AABC为锐角三角形,可得C的范围,

进而得解.

本题考查三角恒等变换，解三角形与三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：A,vsinA>sinB,由正弦定理可得Q>b,・,.A>B,・•・正确，

8,548。是边长为1的正三角形，・・.四,元=”1乂（一3=-a・・・错误，

C,B=々b=y/~2^c=2,由余弦定理得,2=44-a2-2x2xax（之,即小—2y/~3a+2=0,

・•.a=—1,或Q=，？+1,则△ABC有两解，.,・错误，

D,vtanAtanB>0,AtanA>0,tanB>0,即A,8都为锐角，

vtanAtanB<1,:.，吗，吗<1,AcosAcosB-sinAsinB>0,cosM+B）>0,

cosAcosB、'

AcosC<0,C为钝角，・•・△ABC是钝角三角形，二正确.

故选：AD.

根据正弦定理及大边对大角判断4根据向量的数量积计算判断B,根据余弦定理判断C,根据两

角和的余弦公式判断D.

本题考查正弦定理，余弦定理，三角形解的个数的判断，向量数量积的运算，两角和的余弦公式，

属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于4若m〃a,n//a,则zn,n可能平行、异面或相交，A错误；

对于B,若mua,riua,m///?,n〃0,m,九不一定为相交直线，

只有当m,ri为相交直线时，才可得到a〃0,故B错误；

对于C,当m〃n,mua时，可能是nua,推不出一定是n〃a,C错误；

对于。，若戊〃/?,mea,根据面面平行的性质可知血〃氏。正确.

故选：ABC.

根据直线与直线的位置关系可判断4根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判

断C；根据面面平行的性质定理判断D.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题.

11.【答案】BD

【解析】解：由题意，z=总1+1=c.景十叭J.-〜1)=1+i,

则|z|==<2,选项A错误；

z2-(1+i)2=2i,选项B正确；

z的共规复数为l-i,选项C错误；

z的实部为1,选项O正确.

故选：BD.

先化简复数z,计算复数的模判断选项A,计算复数的平方判断选项B,由z的共趣复数判断选项C,

由z的实部判断选项D.

本题考查复数的运算和概念，考查复数的模，考查共辄复数的概念，属于基础题.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用，是基础题.

根据相互独立事件的乘法公式逐一求解即可.

【解答】

解：对选项A,小明得6分的概率为:x/=士故A错误；

DZo

对选项B,小明得分低于6分的概率为1-之=?故B正确；

对选项C,小明得分不少于3分的概率为l—|x，=|,故C错误；

在。中，小明恰好得3分的概率为：x,+|x,=/故Q正确.

DD44

故选：BD.

13.【答案】?

【解析】解：•・,m=2n；

・•・OA=(-2,2n);

4B,C三点在同一条直线上；

・•・存在2使万=ABC;

.­.OB-OA=A(OC-OB^

•b•(九，1)一(一2,2n)=A[(5,—1)—(n,1)]；

.pi+2=(5—n)A

Atl-2n=-2A；

3

或

3,i2

9

m+n=3n-9或

2-

9

9或

2-

先由m=2n,得到。力=(-2,2n).而根据点4,8,C在一条直线上得到：存在实数4使4B=ABC,

所以得到赤-方=4(元-赤)，代入函，砺，元的坐标即可求出n,从而求出zn+n.

考查共线向量基本定理，向量的减法，以及向量坐标的减法和数乘的坐标运算.

14.【答案】|

【解析】解：因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数，

从中选取两个不同的数的基本事件有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),

(5,11),(7,11)共10件，

其中和为偶数的基本事件有(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)共6件,

所以和为偶数的概率为白=1•

故答案为：

先把不超过11的素数列举出来，再利用列举法与古典概型的概率求法求解即可.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

15.【答案】|

【解析】解：随机掷一个骰子一次共有6种不同的结果，

事件4表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，

则事件4包括2,4两种结果，p(a)=3=g,

事件B包括1,2,3,4四种结果，P(B)=*=|,P(5)=3

且事件A和B是互斥事件，

•••事件4+5发生的概率为P(A+B)=PQ4)+P⑻=1+|=|.

故答案为:

事件A包括2,4两种结果，事件B包括1,2,3,4四种结果，且事件4和B/互斥事件，由此能求出

事件A+5发生的概率.

本题考查概率的求法，涉及到互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等核心数学

素养，是基础题.

16.【答案】4

【解析】解：在AABC中，已知AB=2,AC=^ABC=120°,

利用余弦定理：AC2=AB2+BC2-2-AB-BCcos乙ABC,

整理得28=4+M+2•2•BCW，即BC?+2BC-24=0,

解得：BC=-6或4.

故BC=4.

故答案为：4.

直接利用余弦定理求出8c的长.

本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为益是是两个单位向量，且日与族的夹角为全

所以k•K=|a|x|K|cos^=?，

所以+b|=J(C2+l)2=V3+2<^a-K=J3+2<Ix殍=7-5-

(2)设4与，父w+B的夹角为。，

2

因为五•(A/-2a+b)=V-2a+a-b=弓工,

所以cos。=皿卫地=受=剋卫.

\a\\>/~2a+h\<510

【解析】(1)根据模长公式结合向量的数量积公式求解计算即可；

(2)应用向量的夹角余弦公式计算可得.

本题考查向量数量积的运算，向量夹角公式的应用，属中档题.

18.(衿案】解：(1)由已知得到Z]—z?=—2+(a2—2a—3)i,

因为在复平面上对应点落在第一象限，

所以展一2>0,解得,

IQ2_2Q-3>0(a>3或Q<—1

所以一2<a<一|；

(2)因为虚数zi是实系数一元二次方程4/一4x+加=0的根，

所以21是方程的另一个根，所以21+/=亮=1,所以a=0,

所以Zi=g-i,z7=1+i>

所以ZiN=；=*,所以m=5.

【解析】(1)由复数对应的点在第一象限得到实部大于0,虚部大于0,解不等式组即可；

(2)利用Z]是实系数一元二次方程4合-4x+m=0的根，得到另一个根是复数z1的共扼复数，利

用根与系数的关系得到a和

本题考查了复数的几何意义以及实系数的一元二次方程有虚数根时，根互为共加复数的运用.

19.【答案】解：(1)•••在△4BC中，AB=3,AC=1,44=60。.

•••由余弦定理可得：BC=VAB2+AC2-2AB-AC-cosA=J32+l2-2x3xlxj=

•••由正弦定理：=可得：sin乙4cB=型组=土=红包;

sxn£ACBsinAbinz,/iGD8c「14

(2)•••。为BC的中点,

•••可得：CD=；BC==，

T7cAC2+BC2-AB21+7-9C

乂COS'=2AGBC=充k=F'

••.在4ACD中，由余弦定理可得：AD=VAC2+CD2-2AC-CD-cosC=

J1+--2X1X—x(--)=­.

【解析】(1)由余弦定理可得BC的值，根据正弦定理可得sin乙4cB的值.

(2)由。为BC的中点，可求CD=],由余弦定理先求cosC,在△ACD中，由余弦定理可得40的

值.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属

于基础题.

20.【答案】解：(1)证明：因为PA1平面ABC",4Bu平面4BCD,

所以2414B,

因为4BAD=p

所以AB_L4D,

因为PAnAD=4,PA,A。u平面PAD,

所以AB_L平面PAD,

因为CF〃4B,

所以CF_L平面PAD,

因为CFu平面CFG,

所以平面CFGJ_平面PAD；

(2)连结AC,过点B作BEJ.PC于点E,连接DE,如图,

PAJ•平面ABC。，AD,ACu平面ABC。,

所以PA1AD,PALAC,

因为NBA。=乙BCD=pAB=BC=1,PA=BD=2,

由勾股定理得：AD=VBD2-AB2=G，

则乙4DB=30°,

同理可得CO=C，/COB=30。,

故"DC=60°,

所以三角形ACD为等边三角形，AC=CD=C，

故PB=VPA2+AB2=V_5>PC=VPA2+AC2=V_7，PD=VPA2+AD2C，

BC?+Cp2-PH?_1+7-5_3

在中,由余弦定理得:

28CPcosZ.BCP2BCCP-=2/7=

贝iJCE=BCcosZ-BCP=后BE=VBC2-CE2=清,

PC2+CD2-DP2_7+3-7_>T3

在△口?产中,由余弦定理得:

cosZ.PCD=2PCCD-=273x77=2<7'

在^CCE中，DE2=CE2+CD2-2CE-CDcos^PCD=总+3-2x高x<3>/~375

云亨=五'

因为CE?+叱=3=CD2,

所以DE1PC,

所以4BED为平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角,

222品十条4

BE+DE-BD3XT57

由余弦定理得:cos乙BED=

2BEDE2,渭,需一95,

【解析】(1)证明出ABJ_平面PAD,由C/7/4B,得到CF_L平面P4O,故而得证；

(2)作出辅助线，找到NBEC为平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面

角的大小即可.

本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力

和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

21.【答案】解：（1）设事件A为“第三局结束乙获胜”.

由题意知，乙每局获胜的概率为最不获胜的概率为|.

若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

1212114

XX+XX=

故p（a）3-3-3-3-一

27

（2）设事件B为“甲获胜3-”3-.

若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率匕=：x：=；.

若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

此时的概率P2=3xJxJ+；x：xj=；,

若第四局结束甲以积分（2分）获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有

9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜,

负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）.

111111115

XXXXXXX6