2024届浙江省五校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届浙江省五校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点到准线的距离为（）

A.2.B.1

11

C.一D.-

24

2.在等差数列｛%｝中,S”为数列伍」的前〃项和，%+%=9,S5=-1Q,则数列｛““｝的公差为O

A」BT

C.4D.-1

3.已知/（初二3^+伍―i）/+x+l没有极值，则实数a的取值范围是（）

A.[0,1]B.(-oo,0]U[l,+oo)

C.[0,2]D.(-a),0]U[2,+<»)

4.已知向量4=(1,2,-丁),/?=(%/,2),且1//B，则()

1

A.-2B.----

2

1

C.一D.2

2

2

5.已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线好+二=1的离心率为（）

m

A.逅B.逅或2

33

「26

------0至或正

333

6.已知双曲线9必—my2=i的一个焦点到它的一条渐近线的距离为g,则机=。

A.5B.25

「9

C.y/5D.-

22

7.双曲线C:——4=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为目、F,,尸为双曲线C的右支上一点.以0为圆心a为半径

ab

的圆与P片相切于点且|〃/=|耳加|,则该双曲线的渐近线为（）

A.y=±2无B.y=±x

C.y=±A/3XD.y=+3x

8.如图，在长方体中，AAl=2AB=2AD,E,b分别为的中点，则异面直线OE与AF

所成角的余弦值为（）

EDy

9.抛物线必=2>准线方程为（）

A.%=-1B.x=--

2

,1

C.y=-1D.y=--

10.在棱长为2的正方体中，E为线段。。的中点，则点儿到直线与E的距离为。

G273

A・-------£>•---------

23

RA/5026

23

11.有一机器人的运动方程为s（f）=〃+3/,。是时间，，是位移），则该机器人在时刻/=2时的瞬时速度为（）

A.5B.7

C.10D.13

12.已知中心在坐标原点，焦点在8轴上的双曲线。的离心率为6，则其渐近线方程为O

A.y=±^2xB.y=±―—x

-2

C.y=±2xD.y=±gx

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点M（-1,1,-2）,平面〃过原点。，且垂直于向量”=（1,-2,2）,则点Af到平面万的距离是.

14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.用一点（或一个小石子）代表1,两点（或两个

小石子）代表2,三点（或三个小石子）代表3,...他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五

边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）.如前四个四棱锥数为第"个四棱锥数为1+4+9+...+层

="（"+1）（2"+1）.中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，

6

后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…若一个“三角垛”共有20层，

则第6层有一个球，这个“三角垛”共有个球

15.中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之

意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯

笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼

22

16.已知双曲线工-4=13〉0）的左右焦点分别为耳,且，过点工的直线交双曲线右支于A,B两点,若AB4是

4b-

等腰三角形，且NA=120。，则,的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

丫2

17.（12分）在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C:;/=2px（。＞0）的焦点厂到双曲线的渐近线

的距离为L

（1）求抛物线C的方程；

（2）若不经过原点。的直线/与抛物线C交于A、B两点,且求证：直线/过定点.

18.(12分)已知复数z=bi3eR),二7+^3是实数.

1-1

(1)求复数z；

(2)若复数(根-z)2-8根在复平面内所表示的点在第二象限，求实数机的取值范围.

22

19.(12分)已知椭圆。：=+二=1(。〉0/〉0)的右焦点为(1,0),短轴长为4,设耳，&的左右有两个焦点

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)若尸是该椭圆上的一个动点，求班;的取值范围；

⑶是否存在过点4(5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C,D,使得上。卜区。|?若存在，求出直线/的方程；若

不存在，请说明两点

20.(12分)已知复数z=(后—6%+8)+(祖2—3〃z+2)i,其中i是虚数单位，机为实数

(1)当复数z为纯虚数时，求机的值；

(2)当复数z-i在复平面内对应的点位于第三象限时，求机的取值范围

21.(12分)如图，在四棱锥尸-43。中，P0_L底面48ahAB//CD,A5=2,C0=3,M为PC上一点，且

2MC.

(1)求证：〃平面RI。；

(2)若AO=2,PD=3>,ZBAD=60°,求三棱锥P-AOM的体积

22.(10分)某情报站有A、B、C、D、E.五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末

使用的四种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A密码，襄表示第上周使用A密码的概率

(1)求片，鸟，鸟，舄；

(2)求证：［6-g］为等比数列，并求号的表达式

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.

【详解】由丁二3必得必=2＞，所以”=1,所以抛物线y=gd的焦点到准线的距离为1,

故选：B.

2、A

【解析】由已知条件列方程组求解即可

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

因为%+%=9,S5=-10,

+。］

所以1a5}+-21d。-+1。5d=9(2,——4

解得d=l

故选：A

3、C

【解析】求导得尸(x)=%2+2(«-l)x+l,再解不等式［2(。一DP_4W0即得解.

【详解】由/(x)=x3+(a-i)x2+x+1得尸(x)=x2+2(a-l)x+1,

根据题意得［2(a—I)?_4W0,解得0WaW2

故选：C

4、A

【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.

x12

【详解】由题意可得不=7=一，

12-j

解得元=；,y=-4,

所以孙=；x(—4)=-2.

故选：A

5、B

【解析】由等比中项的性质可得加=±3,分别计算曲线的离心率.

【详解】由加是1和9的等比中项，可得相=±3,

2

当机=3时，曲线方程为/+匕=1,该曲线为焦点在y轴上的椭圆，离心率e=

3

2_____

当加=—3时，曲线方程为――2L=i,该曲线为焦点在工轴上的双曲线，离心率《=^/］芯=2,

3

故选：B.

6、B

119+m

【解析】由渐近线方程得到/9=-,b9-=-c2，焦点坐标为（土”,0）,渐近线方程为：3x土由y=0,

m9mV9m

利用点到直线距离公式即得解

A

八221%

【详解】由题意，双曲线以~my=lo?

9m

..217212119+Z77

故〃=一,b=—,c=一十一二-----

9m9m9m

焦点坐标为（±小矍,0）,渐近线方程为:y=±—x=±-o3x±y[my=0

ay/m

/9+m

焦点到它的一条渐近线的距离为：、\9m1

a=—J=—二—

v9+m5

解得：m=25

故选：B

7、A

【解析】连接。鸟、OM,利用中位线定理和双曲线定义构建参数。，瓦。关系，即求得渐近线方程.

【详解】如图，连接。工、。“，TM是尸尸的中点,

.•.0河是4尸/但的中位线，.・.0乂/小6,K\PF2\=2\OM\=2a,

根据双曲线的定义，得归用尸阊=2a,尸耳|=|尸闾+2a=4a,

•.•Pf；与以原点为圆心。为半径的圆相切，

OM±PFlt可得尸耳，尸£,

△P7笆中，|尸片「+卢闾2。耳闻2,即得（4a『+（2a）2=闺阊2,

.•.（2°）2=寓阊2=20标，解得°2=5〃，即尸=°2一°2=4后，得b=2a.

由此得双曲线的渐近线方程为y=±2x.

故选:A.

【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.

8、A

【解析】利用平行线，将异面直线的夹角问题转化为共面直线的夹角问题，再解三角形.

取BC中点3H中点/,连接A/、FI、B[H,因为E为42中点，在长方体ABCD-ABCQ中，BtE//DH,

所以四边形与E。”是平行四边形，所以

所以BM//DE,又因为歹为8片的中点，所以BN//FI,所以DE//FI,

则ZAFI即为异面直线DE与AF所成角（或其补角）.

设心贻4,则A4=8,则次=1,BF=4,根据勾股定理:

FI=y/FB2+BI2=V17，A/=7AB2+BZ2=A/17»

AF=VAS2+BF2=4A/2>

所以是等腰三角形，所以cos4%-2-_2夜_2取.

FlV1717

故B,C,D错误.

故选：A.

9、D

【解析】由抛物线x2=2y的准线方程即可求解

【详解】由抛物线必=2》方程得：2P=2.所以£=工，

22

抛物线X2=2y的准线方程为v=-1

故选D

【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题

10、D

【解析】根据正方体的性质，在直角△4与E中应用等面积法求A到直线耳E的距离.

【详解】由正方体的性质：44，面4。24,又AEU面AD2A，故片与，4E,

直角△43也中，若A到耳E上的高为〃，

'-SAiBiE=^-AiBl-AiE=^-h-B1E,而$耳=2,4£=石，B1E=3,

2A/5

故选：D.

11、B

【解析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在f=2时的导数值即可.

【详解】由题知，s'⑺=2,+3,

当f=2时，s'(2)=7,即速度为7.

故选：B

12、A

b

【解析】根据离心率求出一的值，再根据渐近线方程求解即可.

a

b

【详解】因双曲线焦点在X轴上，所以渐近线方程为：y=±—x,

a

又因为双曲线离心率为石，且储+廿=02,

解得2=3,即渐近线方程为：y=+41x.

a

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7

13、

UUUI

MO-n

【解析】确定MO，MO-n，利用点M到平面力的距离为d=即可求得结论.

ULUlUUU

【详解】由题意，MO=(1,-1,2)»n=(l,-2,2),.-.M(9.n=l+2+4=7

uuirruuirr

设V。与〃的夹角为a,则，M。,“cosa

UUU1

MOn7

所以点M到平面兀的距离为d=

R-3

7

故答案为：—

14、①.21②.1540

【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到4=l+2+3+L由

此可求名的值，以及前20层的总球数

【详解】由题意可知，%=1,%=%+2=1+2,%=出+3=1+2+3,■,

册—+九=1+2+3++〃,

，?(，?+1)2

故4=l+2+3+L+n==ln+ln,

222

b6x7

所心=;—=21,

222

所以S2o=a1+42+03+44++<i2o=—(1+2+3++2()2)+—(1+2+3++20)

120x(20+l)x(2x20+l)120(20+1)

=—x-----------------------------------------------------+—x----------------------=1540

2622

故答案为：21；1540

15、3

【解析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前"项和公式计算作答.

【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{4}(〃eN*/<9),公比q=2,前9项和为1533,

于是得$9=幺痣2=1533,解得4=3,

所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.

故答案为：3

in166

1b、-----

3

【解析】根据题意可知，|A耳|=|A耳忸阊=2a,忸耳|=4a,再结合NA=120。，即可求出各边，从而求出A跖的

面积

【详解】ZA=120°,所以|前忸阅=|秋|你|=勿=4,忸耳|=忸引+2“=心=8,而耳是

/A=120。的等腰三角形，所以|然|=a创=白，故A孙的面积为:x专X*xsinl20

故答案为：蛆叵

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/=8%

(2)证明见解析

【解析】(1)求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数。值得抛物线方程；

(2)设直线方程为*A(XI，%),B(X2，%),直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得%+%，%%，代入

04・03=0可得加值，得定点坐标

【小问1详解】

已知双曲线的一条渐近线方程为％=石丁，即x-8y=0,

抛物线的焦点为(K,0),所以匕一°|J解得。=4(因为。>0),

2vn?

所以抛物线方程为V=8x；

【小问2详解】

由题意设直线1方程为％=+机，设A&,%),5(X2,%)

[x=ty+m

由<2"得工-8(y-8/〃=0,x+%=8f,yy=-8m,

[y=8%x2

又Q4_LOB,所以。4・06=%工2+X%=0，

所以斗9+%%=("1+根)(0^2+加)+%%=(1+J)%%+例(2%+%)+〃/

=-8m(l+?2)+8?2m+m2=0,直线不过原点，m#0,所以加=8

所以直线/过定点(8,0)

18、(1)z=-3i

(2)(0,9)

z+3

【解析】(1)先将z=hi代入不一化简，再由其虚部为零可求出b的值，从而可求出复数z,

1-1

2

9fm-8m-9<0,

(2)先对(m-z)2-8加化简，再由题意可得从而可求得结果

6m>0,

【小问1详解】

因为z=Z?i,

b-z+33+bi(3+历)(1+i)3-Z?+(Z?+3)i

所以^—r=-—r=---------------=-----------------，

1-11-122

z+3

因为不一是实数，所以匕+3=0,解得〃=—3.

1-1

故z=-3i.

【小问2详解】

因为z=—3i,

所以(加一2)2—8m=(m+3i)2-8m=(m2-8m一9)+6mi.

因为复数（m-z）2-8m所表示的点在第二象限,

m2-8m-9<0,

所以

6m>0,

解得0〈加＜9,即实数机的取值范围是（0,9）.

22

19、（1）y+^=l（2）［3,4］（3）满足条件的直线不存在，详见解析

【解析】（1）根据条件直接求出进而求出椭圆标准方程；

⑵设P（x,y）,表示出P耳1口=（—1—乂―力（1—%—丁）=/+寸—1=1/+3,求出其范围；

（3）设CD的中点为皿的为）；由旧。=旧W，则F2M±I;得到其斜率的乘积为—1,最后列取方程联立计算即可.

【详解】解：（1）由题意可知c=l,6=2,则4=32+02=5；

22

所以椭圆C的方程为：土+匕=1;

54

⑵由题意可知耳（—1,0）,耳（1,0）,设P（x,y）,xe卜有

贝（JP耳・P旦=（—1—x,——x,—丁）=12+/—1=1》2+36［3,4］；

所以P£由耳的取值范围是［3,4］；

（3）假设存在满足条件的直线/,根据题意得直线/的斜率存在；

则设直线/的方程为：丁=左（尸5）；

y=^（x-5）

＜%2丁2消y化简得：（5人2+4）%2—50左2%+i25左2_20=0；

154

..=20（16—80/）＞0,则—当＜左＜当；

50k2

542+4

设C（%］，K）,D（/，y2）则CD的中点为M（%）,yo）；

25k2]（一一20人

|EC|=|F2D|,则F?M，/；

•­•kFiM-k=-l,即—I£•左=-1;即20左2=20左2一4,无解；

-5r+4

故满足条件的直线不存在.

【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，向量的数量积，直线的垂直，设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适

当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.

20、⑴4（2）（2,4）

【解析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；

（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可.

【小问1详解】

因为z为纯虚数，

m2-6m+8=0

所以〈2

m-3m+2w0

解得m=2或根=4,且加且加。2

综上可得，当z为纯虚数时m=4;

【小问2详解】

因为z-i=-（苏-3加+2）+苏-6m+8）i在复平面内对应的点位于第三象限,\）

V7V7[/_6m+8＜0

解得加＜1或加＞2,且2＜加＜4

即2＜机＜4,故加的取值范围为（2,4）.

21、（1）证明见解析；（2）瓜

【解析】（1）过M作MN〃CZ＞交尸。于点N,证明四边形ABMN为平行