五类圆锥曲线题型-2023年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（解析版）

专题05五类圆锥曲线题型-2023年高考数学大题秒

杀技巧及专项练习(解析版)

圆锥曲线问题一般分为五类：

类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题；

类型2：圆锥曲线中的中点弦问题；

类型3：圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题；

类型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题；

类型5：圆锥曲线中的向量问题；

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.

类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题；

1、曲线方程的定义

一般地，如果曲线C与方程F(X,y)=0之间有以下两个关系：

①曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；

②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点.

此时，把方程尸(x,y)=O叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程尸(x,y)=O的曲线.

2、求曲线方程的一般步骤：

(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；

(2)设曲线上任意一点的坐标为(x,y)；

(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式；

(4)用坐标X、丁表示这个等式，并化简；

(5)确定化简后的式子中点的范围.

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

3,求轨迹方程的方法：

3.1定义法：

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

3.2直接法：

如果动点尸的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量

关系易于建立，则可以先表示出点尸所满足的几何上的等量关系，再用点尸的坐标(x,y)表

示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3.3代入法(相关点法)：

如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标

满足某已知曲线方程),则可以设出尸(x,y),用(x,y)表示出相关点p的坐标，然后把P

的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

3.4点差法：

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

Aa,%),3(%,%)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得占+%，

%+%，X]—&,%等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x=%+々，

2丁=%+%且直线AB的斜率为五』，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.

—玉

圆锥曲线中的轨迹方程问题专项训练

1.在平面直角坐标系尤Qy中，点AB分别在X轴，y轴上运动，且|钻|=3,动点尸满足

也OP=&OA+OB.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵设圆o-.x2+y2=2上任意一点Q处的切线交轨迹C于点M,N两点、,试判断以为直径

的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标.若不过定点，请说明理由.

【答案】⑴!+!=1

63

⑵以为直径的圆过定点(0,0).

【详解】(1)设尸(x,y),A(Xo,O),B(O,%)

由|A5|=3得尤;+y；=9①

由后OP=yl20A+0B得(瓜上y)=(瓜,0)+(0,%)

x=生r

所以X。一正"代入①式得埠灯+(岛)2=9

)0=岛，

整理得5+《=1，所以动点尸的轨迹C的方程为5+!=1.

6363

(2)①当切线斜率不存在时，切线方程为尤=应,尤=-四

⑴当切线方程为片夜时，M(0,0),N(&,-0)

以肱V为直径的圆的方程为(尤-应了+必=2②

(ii)当切线方程为x=-夜时，(-也，-版)

以MN为直径的圆的方程为(x+g?+y2=2,③

由②③联立，可解得交点为(0,0).

②当过点。且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m,

y=kx+m,

2

由＜%2y联立并消去》整理得(1+2左2)%2+4而u+2病-6=0

——+—=1,

163

因为A=16外加之_虫1+2f)(2m2-6)=-8(m2-6k2-3)

=-8(2女2+2-6*-3)=8(4*+1)>0

所以切线与椭圆C恒有两个交点，

A.0—6

设,%),N®,%),贝！j占+%=一；。尸,不羽=--

1+2K1+2化

所以OM-ON=+%%=芭9+(依+m)(4+m)

12

=(1+k)xlx2+km&+々)+/=(1+F)—~"+km-(一一+m

1+2左21+2打

_3/6-642_3x2(F+l)—6-6左2_0

--l+2k2--1+2F―

所以OMLON,即以MV为直径的圆过原点(0,0)

综上所述，以MN为直径的圆过定点(。，0).

2.已知双曲线)(=1(。>0,6>0)与直线4：>=依+机卜±£|有唯一的公共点〃，过点

M且与《垂直的直线4分别交x轴，y轴于A(x,0),8(0»)两点，点「坐标为。/),当M点

坐标为(2,3)时，尸点坐标为(8,4).

(1)求双曲线的标准方程；

(2)当点"运动时，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2

【答案】⑴f一二=1

3

（2）上一上=1且ywO,轨迹是去掉顶点的双曲线.

1616

1?

【详解】（1）由题设，4：＞一3=—7（九一2）,令y=。，贝ijx=3k+2,令x=0,贝!Jy=：+3,

kk

22

所以A（3左+2,0）,5（0,：+3）,故尸（3左+2,：+3）,

kk

'3左+2=8

所以bC,可得左=2,即4:y=2%+加且过（2,3）,贝

—+3=4

、k

22

所以4:y=2x-1,代入二-与=1并整理得（户一44）/+4/尤一"一/廿=0,

ab

Q

贝！JA=16〃4+4（〃一4Q2）（〃2+。2b2）=。，即1+62=412,又二4一二］,

Iy=kx+m.c

由（1）联立双曲线与直线：22°，贝|3/_（丘+刈2=3,

\3x-y=3

所以（3-产优-2加质—病—3=0,贝ljA=4疗％2+%3—左2）（加2+3）=o,

mkkk23

整理得济+3=公，故为=获‘％=----1-m=----

3-甘mm

而，2：y+-3=—\：(%+k一),令y=o,则x=—4竺"，令］=0,贝|y=_42,

mkmmm

二匚I、Inr4k4曰4/4k、216k24842

所以尸(---,)，显然(----)=-—=16-\--=16+3-()，

mmmmmm

故P点的轨迹方程为-=16+3/,即看一支=1且y*。(注意：乙的斜率存在),

1616

所以轨迹是去掉顶点的双曲线.

3.在平面直角坐标系尤冲中，动点P到加卜上,0）,N（g,0）的距离之和为4.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵已知点A（-2,0）,B（0,-l）,若点。（4%）,E（W，%）是曲线C上异于顶点的两个不同的点,

且AD//8E,记OOE的面积为S,问S是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】⑴“1

（2）是定值，定值为1

【详解】（1）由题意易知，动点P的轨迹是以“卜石,0）,N（g,0）为焦点的椭圆，且2a=4

，动点P的轨迹C的方程为：—+/=1.

4

（2）显然直线AD的斜率存在，设AD的方程为：y=k（x+2）

X22

~4+y=得：（4/+1）/+16左2%+4（4左2-1）=0,

联立

y=k（x+2）

4G/一1）得:4k

设。（五%）,则一2玉=%=%（&+2）=

4k2+14/+14^+1

’2（1-4阴4k、

:.D

4k2+1'4k2+l'

7

由AD!/BE可设BE的方程为y=kx-l,E（x2,y2）,

看2=1

22

联立,1十丫T得：（4^+l）x-8fcr=0,

y=kx-l

8k8k4k2-I

-1=

4^2+l4青+1'

C8k4/一1

:.E

、4/+I'4%2+Iy

法1：

\2

DOE=^\OD\.\OE\-smZDOE=J1。叶|。斗1一ODOE

S1^|or>I2-|OE|2-（OD-O£）2

2|MT网

+才）（考+式）一（无也+%必丫=；1%）；+考捕一2%尤2%%=；k跖一々％|

2。-4二）4/一18k4k2（4二一1『+32左2

24k2+14k2+14k2+14k2+12（4F+1）2（4F+1）2

=1,故为定值1,

V—y

法2：DE的方程为：yf=；,即（%-%）%-（占一W）y+玉%-9％=0,

%当一马乂|

。到£>E的距离为d=

，（%-%）2+（菁-*2）2\DE\

:.S=~d-\DE\=^\xiy2-x2yl\,后同解法1.

/B

4.已知A（-1,O）,3（1,0）,直线AM,2"相交于V,且直线AM,的斜率之积为2.

⑴求动点M的轨迹方程；

⑵设P,Q是点、M轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧,直线AP,8。在y轴上的截距之比为

1:2,求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标.

2

【答案】⑴龙2一三=1（尤片±1）;

（2）证明见解析，定点（3,0）.

【详解】（1）设M（x,y）（x丰±1）,则直线AM的斜率是勺=上；，直线的斜率是网=—,

x+1x-1

2

所以匕"=上•上=2,化简整理得：尤2一匕=1（尤二±1）,

x+1x-12

2

所以动点M的轨迹方程是犬-;=1（於±1）.

（2）设直线AP在y轴上的截距为乙则直线8。在y轴上的截距为2f,显然®o,

直线”的方程为三+2=1,即y=f（尤+1）,直线的方程为:+三=1,即>=-2«-1）,

-1t12t

2_

又双曲线犬-三=1的渐近线方程为y=±J5x,显然直线AP与双曲线两支各交于一点，

直线8Q与双曲线右支交于两点，则有且2|4>0,于是忘，

2

y=，（x+l）

由2y2消去y化简整理得：（--2）x2+2产尤+d+2）=。，设点尸（辱,处）,

x.......-1

I2

22、4t

则号.(-])=*/7，解得/=_/-/|0，有y'=r/_»/++2”=_『，

t-2t-2Ii一乙)t一/

y=-2/(x—1),

由V2消去y化简整理得：(2产-1)*2-4』》+(2产+1)=0,设点P(a,%),

x-----=1

I2

则演・1=源土解得勺=丝虫，有坨=2

Q2/一102r-l

2产+1?+24(？-1)4t4r4r(/2+l)

22/2-1r-2(2r2-l)(r2-2)62产-1产-2(2产-1)(产-2)

于是史（遥.一设直线尸。上任意一点gy），则

nn/»+24%、

i—乙i一乙

显然PR〃PQ,因此皿治）=（产一即为）,即—,

整理得x=±ly+3,显然直线x=tzly+3恒过定点(3,0),

tt

所以直线P。经过定点（3,0）.

5.在平面直角坐标系尤0y中，已知点川-6,0）、玛（6,0）,四耳|+|峥|=4,点加的轨迹为

C.

（1）求C的方程;

⑵设点P在直线x=s（卜|>2）上，A、B为C的左右顶点，直线P4交C于点E（异于A3）,

直线总交C于点尸（异于A3）,E尸交A3于G,过G作X轴的垂线分别交丛、PB于R、T,

问是否存在常数4,使得|RG|=HTG|.

【答案】⑴”』

⑵存在常数2=1,使得|尺@=川7兄

【详解】（1）因为E（-6,0）、月（6,0）,|岫|+|4|=4万耳耳1=2百,

所以点M的轨迹以片、B为焦点的椭圆,

这里c=sfi,2a=4,<2=2,所以从=1—c?=4—3=1,

所以椭圆0的方程为*"L

（2）^PA:x=my-2,—+y2=1,得（冲一2）2+4/=4,

4

2

gp（m+4）/-4my=0,得：yE=xE=myE-2=

m+4m+4

^PB:x=ny+2,代入土+>2=],得+2>+4/=4,

4

即W+4W+4町）=0,得：%==,4=*+2=考粤,

n+4n+4

GE=（x£-%，%）,EF=（XF-XE,yF-yE）,

由EG//£F得（%一%）（y尸-%）=（8-4）>E，得4-x0=J，

2m2-8-4n-In1+84m

7曰丫_r_九（马-x.）_/力一左与_加2+4-2+4-2+4/+4

布％「%一/=…=H4m

/+4m2+4

（2m2-8）（-n）-^-2n2+8）m2mn（m-H）+8（m-n）2（m-n）

一〃2+4）一m（〃2+4）mn（m+n）+4（m+n）m+n

4-4

代入尸4:%=的一2,得力=----,代入M:%=〃y+2,得为=-----,

m+nm+n

因为|RG|=*G|,所以人愕^^=1.

I，。IIJTI

所以存在常数4=1,使得源q=川74

类型2：圆锥曲线中的中点弦问题

1、相交弦中点（点差法）

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根

据实际情况处理该式子。

主要有以下几种问题：

（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线;

中点M（x。，%）,x°="^，五广"21

2、点差法

22

设直线和曲线的两个交点A（X],%）,B（x2,y2）,代入椭圆方程，得冬+）=1；

ab

22

将两式相减，可得立W+与=上=0；（X]+X2），「X2）=—（%+%），「%）；

a2b2a2b-

最后整理得：「一学33=l=-^4-A

b（石+%2）（%一工2）bx0

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：]=：。+%）（乂-%）01=k.^_.y（L

（%1+x）（xx

b21-x2）b0

设直线和曲线的两个交点A（x「%）,3（%,为），代入抛物线方程，得力2=2内；

=2M；

y,-y,2p

将两式相减，可得（%—%）（%+为）=2，（七一工,）；整理得：=——

七一%X+%

圆锥曲线中的中点弦问题专项训练

6.已知椭圆。:乂+==1（。>6>0）的左、右焦点分别为"、F2,离心率为型，其短轴

的一个端点到焦点Fi的距离为出.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若尸为。片的中点，〃为椭圆上一点，过尸且平行于的直线/与椭圆C相交于A,B两

点，是否存在实数4,使得如OAf『=|叫dPH?若存在，求出2的值；若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴曰+丁=1

4

⑵存在；A=-

【详解】（1）由题意，得&=后==8

又e，=2,所以c=2,

a5

22

所以/?=y/a—c=1,

丫2

故椭圆C的标准方程为工+y2=1；

5

（2）（-2,0）,尸（一1,0）,

若直线/的斜率不存在，则QM=1,|尸川=|尸同=寺,

由九|0河|2=|斜.户到，得力=：,

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Mx+l）,

y=（+1）,

由，X22,消去y,得（5〃+1）炉+1。/尤+5左2-5=。，

——+y=1

[5J

A=（10Jt2）2-4（5F+l）（5F-5）＞0,

设3（孙yj,

10k25k2-5

贝!]+x2=—再飞=目

5k2+1

由题意1PH=A//+I|XI+I|，|PB|=7F+I|X2+I|,

所以照H即=。2+1）|（占+1）优+1）|

4,2+1）

—（左~+1）.X?+（不+%2）+1|=

5左2+1

由题意知，直线。M的方程为丫=人:,

y=kx,

由，g2_消去y,得（5公+1）尤2-5=0,

.T+y-

设〃（知为），则看=工工，

DK十i

所以|OM』；+y；=装?,

l\fI1

由㈤。知归到，得力=：,

尸困成立.

7.已知斜率为近的直线/与抛物线C：V=4x相交于P,。两点.

（1）求线段尸。中点纵坐标的值;

⑵已知点T（g,O）,直线TP,T。分别与抛物线相交于M,N两点（异于尸，Q）.则在y轴

上是否存在一定点S,使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴空

3

⑵存在，S的坐标为（0,-3）

【详解】（1）设「（再,y）,Q（x2,y2）,其中玉片々.

，2A

由得¥-货=4芯-4%-化简得

［货=4%2%-尤2乂+%

••.A/3=——,即%+%=型.

y+%23

，线段PQ中点纵坐标的值为竽.

（2）设y轴上存在定点S（O,s）,由题意，直线MN斜率存在且不为0,设直线MN：y=kx+s,

由卜=4尤‘消去得—+4s=0.

△=16-16依>0,:.ks<l.

44s

二•%+%=%，

P，T,M三点共线，

y3-°.y.-o

yL_jj•解得斗为二-46.

4-4-

同理，可得

k__4_4_1乂_r-

又…一*+*一与E"

44%”

%%45T

4

%+%

一

女

•••直线MN恒过定点（0,-3）.

22

8.已知斜率为/的直线/与椭圆C:二+乙=1交于A,2两点，线段A8的中点为M(”,根).

63

(1)若〃=1,m=-l,求％的值；

⑵若线段AB的垂直平分线交y轴于点尸,且=求直线’的方程.

【答案】⑴]

(2)y=±%+l

/y\1

—+—=i

【详解】(1)由题设?3,作差可得

xByR1

工十2=l

、63

Xyi-y}_(x+xxx-x)(%+%)(%—%)_八

--A----4----1,-----A------B-----A------B---(1-u,

6363

^xA+xB=2n=2,yA+yB=2m=-2,故%；­=2(%；-),

所以勺T

2,

(2)由题意，直线/斜率一定存在，令直线/为y=/%-〃)+加，

若上=0时/：>=加且M(o,机)，-73<m<y/3,此时中垂线PM与y轴重合,

与题设中，垂直平分线与y轴交于尸[。，-,矛盾，不合要求；

若七。，由⑴知：/a-"(…),则^丛二九一白，

33XA-XB2m

1

则中垂线为y+-=—x,^\i6mx-3ny-n=Q,又在该直线上，

3n

所以3加一〃=0,得〃=0或加=；,当〃=0时左=0不满足要求，故相=；,

故左=,BPZ:y=———n(x—n),联立椭圆得：x123+2[———n(x—n)]2=6,

X2

整理得9(2+9/)——18〃(2+9〃2)+81〃4+36n-104=0,

ULI、Ic81几4+36孔2—104rI/T/9

所以4=2〃，-]—，贝!][45|=4+左2々(4+%)2一44乙

9(Z+9AZ)Y

由网=4阿,则解得一|,

9.已知动点T为平面内一点,0为坐标原点,T到点尸(1,0)的距离比点T到y轴的距离大1.设

点T的轨迹为C.

⑴求C的方程；

⑵设直线/：x=-l,过P的直线与C交于A,B两点,线段A8的中点为M,过M且与y

轴垂直的直线依次交直线OA,OB,/于点N,P,Q,直线OB与1交于点E.记一AMN的

面积为S-aEP。的面积为邑，判断岳，邑的大小关系，并证明你的结论.

［答案］⑴y2=4x

(2)3=邑，证明见解析

【详解】(1)设T(x,y),由题意得J(Aiy+y2=x+l,化简得y2=4x,

故所求动点T的轨迹方程Cy2=4x.

(2)S],邑的大小相同，证明如下：

设直线AB:x=my+l,4肾,％],“卷,％；

\x=my+1_

由<2、得：y—4mx—4=0,A=16m2+16>0,则%+%=4相，=-4.

[y=4x

线段AB的中点为M,贝。1-1,"21),

又直线OA:y=^x,令y=2l土①，则尤="+%%=上4,故N[咚吗&

^28882

式-4岩］,则|MN1=中-个=个，附1=T一㈠

同理p

8ZJOOOOO

所以|AW卜|PQ|.

又直线02:y=Wx,令尸―1,则>=心=址=%，即石（一1,%），

必为为'7

综上，s.=s2.

10.已知椭圆C的下顶点M,右焦点为EN为线段Mf■的中点，。为坐标原点，\ON\=^-,

点厂与椭圆C上任意一点的距离的最小值为73-A/2.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵直线/：丁=辰+加（左片0）与椭圆C交于AB两点，若存在过点〃的直线使得点A与点

8关于直线/'对称，求机的取值范围.

【答案】⑴£+9=1

3

（2）；（根<2

【详解】（1）根据题意得：|尸M|=，=2|ON|二指,

a—c=y/3—yf2，

b2=a2—c2=19

根据题意得:AB的中垂线过点M（O,-D,

y=kx+m

由2，化简得：（1+3左2卜2+6物a+3疗-3=0,

丁,=

2/：2,

A>0n36左疗_4（1+3/）（3帆2_3）>0n/<1+3

设A（占,%）,3（%2，%），

-6km3疗一3

_2m

yl+y2=k（xl+x2）+2m=+2m=------7

1十3K1+3/

—3kmm

「.AB的中点

1+3Z?'1+3妤

女wO,

m13km

•••AB的中垂线方程为:y-丁Rx+--------

1+3Kk1+3左2

m3m

代入点M的坐标得:T-

1+3左21+3/

/.2m=l+3k2,故加>1,

代入病<1+3左2且/<2m,

2

类型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

1、弦长公式

\AB1=J（l+k2）（匹―％）2

=J1+32|X]-%21

=J（l+k2）［（石+工2）2-旬/］（最常用公式，使用频率最高）

%+城-

2、三角形面积问题

人即|一设。二空同

直线方程：y=kx+m

11^/^TF

〜=3码d」标落回了。+同=>氏。「”时

2112HI7I7F2⑷

3、焦点三角形的面积

直线AB过焦点g,AABK的面积为

SMBG=3闺周.|%一必|=。E一叼=谭

74a2Z?2(a2A2+Z?2B2-C2)|C|

SMOB=-I^ld-+5

«2A2+Z72B2VTTF

_双dA2+b?B?-C2)C?

a2A2+/B2

注意：A，为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数

4、平行四边形的面积

直线AB为、=履+町，直线8为丫=履+?%

2

\AB\=71+k|x,-x2|=Jl+12J(再+%)2-4%尤2=J(T)2-4-=Jl+/

VAA

Ss=|A四八标洽."1:叫：叫

注意：A1为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.

5、范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a?+b222ab(a,beR)

变式：a+b>2\[ab(a,beR+);ab<(a+^)2(a,beR+)

2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举:

。2t2

、=-----=-----

(1)r2+64—64(注意分/=0,/>0,/<0三种情况讨论)

IH---

|A砰=3+=I2'—=3+----——<3+12

9,+6Z+19公+9+62x3+6

当且仅当9产=」时，等号成立

k

(3)闸「=34+25.生学+9.2^上34+2125.”孕x9.%r=64

119第25北V9第25苏

当且仅当25•著=9•碧时等号成立.

9%25%

(4)S=-jn--m2111\1h2c、1n.-病+8

于她22/+8冷l-x-----=72

2V222

当且仅当苏=_1+8时，等号成立

(5)

2%~—+1+

在r一町2+1.”=《逝J(2.-痴+1)〃?；

5=2应11+北<40------J-----=20

1+2后271+F1+2严1+2%2

当且仅当2/+1=2〃?；时等号成立.

圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题专项训练

22

11.已知双曲线T：.-卓=1（。＞0力＞0）的离心率为g,且过点（四』）.若抛物线C：

丫2=2/（。＞0）的焦点厂与双曲线T的右焦点相同.

（1）求抛物线C的方程；

⑵过点M（-2,0）且斜率为正的直线/与抛物线C相交于A,B两点（A在跖2之间），点N

满足：NA=6AF，求△ABR与.AMN面积之和的最小值，并求此时直线/的方程.

【答案】（l）y2=8x

（2）16y/5,y/5x-3y+2石=0.

kA

【详解】（1）由题意得：；）］，解之得c?=2/=2〃=4,即双曲线的右焦点为（2,0）,

g=2,所以/=8x；

△=64卜2-1)>0

M%=16

NA=6AF，,功=7%,

又SABF=SBMF-SA*/=]X(2-(-2))xQ%|-|x|)=2y2-2%,

=

同理SAMNSNMF-SAWF=2"/T%|)=12%,

--*^AABF+5AAMV=1OJ1+2y2N2jl0y「2%=16A/5,

当且仅当必=警，％=4柄时，"=”成立，

即X+%=&=+4出=t=~~，

此时，直线/的方程为&-3y+2行=0.

12.双曲线，最早由门奈赫莫斯发现，后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，

22

双曲线也被称作“超曲线已知双曲线C:=-1=l(a,6>0)的实半轴长为2,左、右顶点

ab

分别为A，4,经过点3(4,0)的直线/与c的右支分别交于M,N两点，其中点M在无轴上

方.

k

(1)若轴时，|MN|=2«,设直线MA，N4的斜率分别为跖k2,求W的值；

Q)若/B%N=2NBAM,求4削的面积.

【答案】⑴-：3

⑵逆

【详解】(1)如图所示,

法一：因为2。=4,所以。=2,令x=4得y2=3/,所以|AW|=2辰=2",解得6=0,

22

所以C的方程为L-匕=1,显然直线MN与y轴不垂直，设其方程为x="+4,

42

x=ty+4

联立直线MV与C的方程尤2/，消去工得(产一2b2+8"+12=0,当产力2时,

142

8,12

△=16产+96>0,设M（%，M），N（孙%）,则%+为=—1二•因为

t—2

X%_1马+2

区='%2=

石+29-22%

k_（%+2）（无2+2）_+6）（与+6）

所以良2=

4%%4%为

12产48产

+363

/3%+6（乂+%）+36干-2一『-2

2

4=2元2丫2

法二:解得/行,双曲线C的方程为?-与=L

x=my+4

设MN方程为x=7盯+4,M（AJ,%）,N[X,%），4（一2,0）,A,（2,0）,联立

2X2-2/=4,

可得(〃2Z—2）y2+8〃9+12=0,相2/2,A=64m2—4（»z2—2^x12=m2+6>0,

8m12

%+%=一一’2

m2

%斗+2=%（冲i+6）=冲］%+6%

k,=———,k2=———

%+2%—22klX2-22M2（m%+2）乂2孙%+4（%+为）-4%

1212m

m-

2+6%+6%

m—2机2—23

24-32m-8m2

m-+一4y2一4%

m2-2m2-2m2-2

2tan

(2)法一:因为N%N=2ZBA.M,所以tan/B&N=tan2ZBA.M=又

l-tan^BAjM

,2k、,2kl

因为勺=tan/BA^M,k2=-tanBA^N所以的二匚分即网=k二1，

将七=一3七代入得-3kl=1,

K1]

因为M在X轴上方，所以左=1,所以直线MA方程为y=[（x+2）,

y=—（x+2）

3

联立。与直线河4方程99，消去丁得，/一8%—20=0,解得％=10或%=—2（舍）,

土-匕=1

[42

所以M（10,4右），

得仁也,所以直线MN方程为x=3y+4,联立C与直线MN方程

代入%=3+4,

22'

%=冬+4

消去x得，5/-16^y-48=0,解得＞=4/或＞=一¥，

fLi

42

所以*AW的面积为34斗回一%|=96'16=胃6.

法二：设/网=由4=-3,可得色畔=3,,23,解得

htan9l-tan26＞

tan0=,

3

二.AM方程：％=6,—2,联立12，可得n2一4百丁=0,解得乂=4百，

x=~4y+2,解得％=-拽

同理联立＜

x2-2y2=45

I224A72^/3

SA,MN=]6,一^|=3-^—=

5

13.设抛物线方程为^=2x,过点尸的直线PA,尸8分别与抛物线相切于A,2两点，且点A在

x轴下方，点3在x轴上方.

（1）当点P的坐标为（T-2）时,求|明；

⑵点C在抛物线上，且在x轴下方，直线8C交