抛物线-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向34抛物线

1.(2022•全国乙(文)T6)设尸为抛物线Uy2=4χ的焦点，点A在C上，点5(3,0),若IA耳=IM

则I阴=()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】B

【解析】由题意得，F(l,0),则IA耳=忸目=2,即点A到准线X=-I的距离为2,所以点A的横坐标为

—1+2=1,不妨设点A在X轴上方，代入得，A(L2),所以MBI=J(3-iy+(0-2)2=2近.

2.(2022•新高考I卷TlI)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C：必=2Py(P>0)上，过点8(0,T)

的直线交C于尸，Q两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.∣OP∣∙∣□ρ∣>∣OA∣2D.∖BP∖-∖BQ∖>∖BA∖1

【答案】BCD

【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2”，所以抛物线方程为f=y,故准线方程为y=-』，A错误;

4

心B=EP=2,所以直线AB的方程为y=2x-l,

y=2x-1

联立｛2，可得W—2χ+l=0,解得X=1,故B正确；

X=y

设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为y=Aχ-l,P(XJ),。(马，必)，

y=∕ζjζ—]

联立<2，得Y一"+1=0，

%=y

Δ=⅛2-4>0

2

所以,xl+x2=k,所以Z>2或Z<-2,yiy2=(xlχ2)=ɪ>

x1x2=1

又IOPl=+y2=JX+y：，∖QQI=J+£=y∣y2+yl，

所以IOPl∙IOQI=√y,y2(l+y1)(l+y2)=JgX也=1k1>2=|。4『，故C正确；

因为IBPl=Jl+二|西|,∖BQ∣=√1+P^∣X2∣,

所以∣3PH3Q∣=(1+公)∣X∕∕=1+F>5,而IBAF=5,故D正确.

3.(2022∙新高考II卷TIo)已知。为坐标原点，过抛物线C:V=2pχ(p>0)的焦点尸的直线与C交于4,

B两点,点A在第一象限，点M（P,0）,若IAFHAM则（）

ʌ.直线AB的斜率为2JSB.∣OB∣=∣OF∣

C.∖AB∖>4∖0F∖D.ZOAM+ZOBM<↑SQo

P

对于A,易得/（4,0）,由IA目=IAMl可得点A在QW的垂直平分线上，则A点横坐标为＜+"_3。,

22^^4^

瓜P

代入抛物线可得V=2p∙*∣p2,则A呼,半），则直线AB的斜率为/方=2瓜A正确；

^4~2

L1pɔ1ɔ

对于B,由斜率为2m可得直线AB的方程为X=云后y+,,联立抛物线方程得尸一布py-P-=o,

设B(Xl,y),则逅p+χ=侦p,则X=一圆,代入抛物线得

2p∙X],解得Xl=&,

263

则阳=Qj+，用=乎刈叫/，B错误;

对于C,由抛物线定义知：IAM=芋+^+p=书>2p=4∣。川，C正确;

对于D,QA∙OB=（*,警）•宁,一孚）=?（+理（—理卜一年<0,则ZAQB为钝角,

tt

,14JJIJ乙ID）I

乂MA∙MB=（/,孚）.（§一字T卜第+当卜Wl=#<0,则RB为

钝角，

又ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360，则ZOAM+ZOBM<180，D正确.

故选：ACD.

4.(2022•全国甲(文)T21)设抛物线Uy2=2pχ(p>0)的焦点为F,点。(p,0),过尸的直线交C于

M,N两点.当直线MO垂直于X轴时，∣MF∣=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的倾斜角分别为a,£.当α-/取

得最大值时，求直线AB的方程.

【答案】(1)>2=4X；(2)AB-.x=y[2y+4.

【解析】(1)抛物线的准线为X=-当MD与X轴垂直时，点M的横坐标为p,

止匕时IMRI=P+∙^=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为V=4x；

(2)设M-γ,yl,N?,%,A-ɪ,ʃʒ,B?，”，直线MN:x=my+l,

<4√(4)4))

x=my+l

由〈2可得y--4my-4=0,Δ>0,yy=-4,

y=4xi2

k；—4--F,4

由斜率公式可得"N-g.又一x+必，”_货_觉一%+/，

4444

X,-2

.ʃ.ʌ924(x—2)

直线MO:X=」-y+2,代入抛物线方程可得y一一U~∙L.y-8=0,

yX

44=kMN

△〉0，乂%=一8，所以为=2%，同理可得％=2%，所以"8

%+%2(χ+%)2

kfanCi

又因为直线MMAB的倾斜角分别为α,/?,所以匕48=tan4=年=下上,

若要使α一夕最大，则O,5

tan&-tan尸_k

设鼬=2心8=2Z>0,则tan(α一⑶=

v1+tanαtan夕∖-v21c

当且仅当』=2左即左=变时，等号成立，所以当&一方最大时，k&tt=显,设直线AB:x=0y+”,

k2ab2

代入抛物线方程可得y2-40y-4〃=0，A〉。,%%=-4"=4χy2=一16,所以〃=4,

所以直线A8:x=&y+4.

5.（2022•全国甲（理）T）20.设抛物线。：：/=2〃%（〃>0）的焦点为尸，点0（〃,0）,过尸的直线交C于

M,N两点.当直线MC垂直于X轴时，∣MF∣=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线“2NO与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,43的倾斜角分别为α,∕Λ当a-夕取

得最大值时，求直线AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AAx=√Σy+4.

【解析】（1）抛物线的准线为x=-5,当M3与X轴垂直时，点例的横坐标为p,

此时IMF'∣=p+=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为V=4》；

（2）设Λ∕（q,χ,N,B号■，”，直线MN:龙=Wy+1,

X=77W+1C

由《2'可得»-4my-4=0,Δ>O,ʃγ=-4,

y=Axl2

krXf_4-_4

由斜率公式可得Aw—g一式一X+必，口一久_匕一%+”，

4444

4A2

直线MD:尤=五二2∙y+2,代入抛物线方程可得V_(C).y_8^o,

Xy

Δ>0,γl>⅛=-8,所以为=2丫2，同理可得％=2%，

4_4%”

所以^AB

为+”2(χ+%)2

kfrotɔzy

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为ɑ,p,所以"B=tan夕=—学=”上,

若要使&一方最大，则用e[θ,g],

\2J

tana-tan/?_k1/1√2

_j八一⑶

ʌ,Janv(α---------——.=—

设ABr则ι)2

kMN=2k=2Z>0,1+tan。tan41+2Z)+2左2L2k4'

kNk

I6

当且仅当一=2k即Z=在时，等号成立,

k2

所以当a一夕最大时，％=YZ,设直线AB∕=√¾y+”,

2

代入抛物线方程可得γ2-4√2j-4/1=0.

Δ>0,y3y4=-4/?=4ylγ2=-16,所以〃=4,

所以直线A8:x=0y+4.

1.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦

点坐标及准线方程.

2.抛物线定义的应用

(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看

到准线想到焦点，看到焦点想到准线”.

(2)注意灵活运用抛物线上一点尸(x,y)到焦点尸的距离IPfl=IXI+§或IPFI=M+§

3.与抛物线有关的最值问题的转换方法

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原

理解决.

4.抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程.

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.

5.求解抛物线综合问题的方法

(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但

涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.

(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式IA用

=M+及+双焦点在》轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.

J常用结论)

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2=2pMp>0)的焦点P的弦，若A(X力)，β(χ2,y2),则：

小E2

(I)XIX2=N，yιyι--p;

(2)若A在第一象限，8在第四象限，则IAfl=]∕os/M=]+fosα,弦长IABl=Xl+及+p=磊(α为弦

AB的倾斜角)；

⑶向十两='

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

⑸以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p∙

J易错点）

1.定义中易忽视”定点不在定直线上''这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂

直的直线.

2.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求P的值，但首先要判断抛物线是不是标准方程，以及是哪

一种标准方程.

一、单选题

1.己知O为坐标原点，抛物线X=；V的焦点为F,点M在抛物线上，且IM曰=3,则M点到X轴的距离

为（）

A.2B.—C.2>∕3D.2∖∣2

16

【答案】D

【解析】由题意得y,=4x,所以准线为;c=T,

又因为I"/1=3,设点用的坐标为（七,%）,则有IMq=%+l=3,解得：X0=2

将々=2代入解析式y∖4x得：Λ=±2√2,所以M点到X轴的距离为2夜.

2.已知抛物线C：V=2pχ（p>o）的焦点为产，准线为/,点A是抛物线C上一点，AO_U于。.若AF=4,

NZMF=60。，则抛物线C的方程为（）

A.y2=8xB.y2=4xC.√=2xD.∕=x

【答案】B

【解析】根据抛物线的定义可得4）=AF=4,又/ZX/=60。，所以AO-p=；AF,

所以4-p=2,解得p=2,所以抛物线C的方程为V=4x.

3.设0、尸分别是抛物线V=4x的顶点和焦点，点尸在抛物线上，若OP∙θ=lθ,则冏=

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

2∖,2、/2、

（3,yj,FP=七叶F（l,O）=g_l,“，

因为ORFP=I0，［?，）'］（Ty=1°，∕l+12y2-160=0,V=8,y=±2√∑

FP=仔网=3

4.抛物线丁=©的焦点为F,点A(3,2),尸为抛物线上一点，且「不在直线AF上，则MAF周长的最小

值为()

A.4B.5C.4+2√2D.5+20

【答案】C

【解析】由抛物线为V=4x可得焦点坐标E(1,O),准线方程为x=T.

由题可知求APAF周长的最小值.即求IPAI+∣P尸I的最小值.

设点P在准线上的射影为点O.

则根据抛物线的定义.可知IPFl=IP/

因此求IPAl+∣p目的最小值即求IpH+1Pa的最小值.

根据平面几何知识，当尸、A、。三点共线时，∣R4∣+∣PD∣最小.

所以(附+1PMrahI=XlT)=3+1=4.

3122-02

又因为IAFI=λ∕(^)+()=20，

所以ZV5A尸周长的最小值为4+2忘.

5.己知抛物线C：∕=-2py3>0)的焦点为死点例是C上的一点，M到直线产2P的距离是M到C的准线距

离的2倍，且IMF]=6,则P=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

'2p-y0=6×2

【解析】设材(。九)，则pC,解得P=4

L=6

6.已知抛物线C:/=4x上任意一点P,定点A(2,l),若点M是圆(x-iy+y2=:上的动点，则IpAl+∣PM∣

的最小值为()

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【解析】抛物线焦点F(1,O),准线=设点P到准线/的距离为d,点A到准线/的距离为d'

∖PA∖+∖PM^PA∖+∖PF∖--^PA∖+d--≥d'--=-.

2222

7.已知双曲线U-W∙=1Q>O)右焦点为士，过「且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,8两点，抛物线

y2=-16x的焦点为F,若AB/为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是()

A.1+^1,+8B.(λ∕13,+∞)C.(1,3)D.ɪ1-ʃɪ

\7\/

【答案】D

【解析]在抛物线y2=-16x中，F(-4,0),

2

v∙22*(b∖

在双曲线±一v与=1中，当X=C时，y=±2,取AC=.

4b22I2J

因为一AB厂是锐角三角形，所以NAF耳

/

则,万八711•即从<8+2c∙

tanZAFF="<tan—=1

14+c4

ɪ22

因为双曲线工-』v=1中4=2,

4b

^l^h2=c2-a2=c2-4,所以C2-4<8+2C,

^Wl-√i3<c<l+√13,所以1一屈<£<1+9.

2a2

因为e=£>l,则ι<e<匕巫，

a2

所以双曲线的离心率的取值范围是(1,耳ɪ.

8.已知抛物线C：V=2px(p>0),以“(-2,0)为圆心，半径为5的圆与抛物线C交于48两点，若IABl=8,

贝∣]P=()

A.4B.8C.IOD.16

【答案】B

【解析】以"(一2,0)为圆心，半径为5的圆的方程为(x+2y+y2=52,

由抛物线C-.y2=2px(p>0),得到抛物线关于X轴对称，

又Y上面的圆的圆心在X轴上，.•.圆的图形也关于X轴对称，

•∙.它们的交点A,B关于X轴对称，

因为∣A8∣=8,.∙.4,B点的纵坐标的绝对值都是4,

它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值j=3,

2pP

不妨设A在X轴上方，则A点的坐标为

VP)

又∙.S在圆上，...[£+2)+42=25,解得P=8

二、多选题

9.已知抛物线V=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2√Σ,则。的值可以是

A.2B.6C.4D.8

【答案】AC

【解析】设M的横坐标为X,由题意，x+5=3,2px=8,解得p=2或。=4.

10.下列说法不IjE砸的是()

A.等比数列{α,,},%=4,q0=8,则4=±4∕

B.抛物线y=-4f的焦点尸(TO)

C.命题“Tx>0,2*>炉”的否定是："mv≤0,2*≤χ2”

D.两个事件Al,“A与8互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比数列{4},%=4,4。=8,所以％2=%即>=32,

则％=±40，又&=%/>0，所以％=4近，故A错误；

B.抛物线>=-4/化成标准式得：x2=-→,所以其焦点尸故B错误；

4I16；

C命题“Vx>0,2*>V”的否定是：Fx>0,2*≤χ2”,故C错误;

D.两个事件AB,若A与8互斥，则A与B不一定相互对立，但若A与8相互对立，则A与B一定互斥，故

“A与8互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故D错误.

11.［多选题］已知抛物线f=g)，的焦点为八Λ7(xl,yl),N(X2,%)是抛物线上两点，则下列结论正确的是

()

A.点F的坐标为［,θ］

B.若直线MN过点F,则4t2=~⅛

16

C.若MF=大NF，则IMVI的最小值为:

D.若IM/∣+∣N尸|=2，则线段MN的中点P到X轴的距离为5

2o

【答案】BCD

【解析】易知点F的坐标为(θ1),选项A错误；

2

根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，xtx2=-p=~,选项B正确；

16

若MF=2NF，则MN过点尸，则IMVl的最小值即抛物线通径的长，

为)2p,即选项C正确，

抛物线的焦点为(0,：1,准线方程为y=-：,

2∖°J8

过点Λ/,N,P分别作准线的垂线Λ∕M',NN',PP'垂足分别为M',N',P',

所以IMM［=|MFI,IMVI=INq.

所以M"∣+∣MVl=∣Λ∕F∣+W日=5,

w

所以线段IPPl=IMMl7^1=：,

所以线段MN的中点P到X轴的距离为∣P∕y∣-g=9-d="选项D正确.

O4OO

12.已知抛物线C:y2=2pχ(p>0)的焦点尸到准线/的距离为2,则()

A.焦点F的坐标为。,0)

B.过点A(T,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线x+y-1=O与抛物线C相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆公+丁=5交于M,N两点，贝”MV∣=4

【答案】ACD

【解析】由题可知抛物线方程为V=4x

对于A,焦点厂的坐标为(1,0),故A正确

对于B,过点4-1,0)有抛物线的2条切线，还有y=0,共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误

对于C,Iy224v=>)2+4y-4=0,弦长为01-Ml=+%1-今跖=&幻~~+6H),故C

正确

r"+\?2=5

对于D,\2=>X2+4X-5=0,解得χ=l(X=-5舍去)，交点为(l,i2),有IMNl=4,故D正确

/=4x

三、填空题

2

13.抛物线y=加(α>0)的焦点与楠圆木+/=1的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是.

【答案】y=-3

【解析】椭圆A+∕=l的焦点为(0,±3),抛物线y="2(α>0)的焦点坐标为(0,3),

.••£=3,得。=卷，即抛物线的标准方程为丁=12)，，

因此，抛物线的准线方程是V=-3.

14.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点。的距离为6，则点M到该抛物线焦点的距离为.

【答案】j3

【解析】设点M,V∣MO∣=√3

I2)

.∙.---0+(y-0『=3.∖y2=2或y2=-6(舍去)，x=-=1

、2J2

.∙.M到抛物线y2=2x的准线χ=-g的距离d=l-(-∣)=∣∙

：点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，

•••点M到该抛物线焦点的距离为I

15.若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2∕的焦点，则W=.

【答案】

=；y,焦点坐标为（。，j

【解析】y=2∕可化为f

由题意可得：2×0+4×i+∕M=0,故〃2=.

82

16.已知抛物线UV=2px（p＞0）的焦点为尸，点”（x0,4&）卜。＞与）是抛物线C上的一点，以H为圆心

7

的圆交直线X=5于A、B两点（点A在点B的上方），若SinNHFA=B,则抛物线C的方程是.

【答案】∕=4x

【解析】画出图形如下图所示，作垂足为。,

由题意得点H（x0,4√2）U＞在抛物线C上，则2px0=32①，

由抛物线的定义，可知I叫=XO-缶,

因为SinNWA=；所以，|。Μ=]”目=4%+§],

所以与-5=（1/+《|，解得XO=4p②，

由①②解得/=4p=-8（舍去）或及=4p=8,故抛物线C的方程为V=4x.

⅛M)

一、单选题

1.（2022.山东潍坊.模拟预测）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥

建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线^=改2（a力0）的一部分，且

点A(2,-2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是()

A.fθ,-ɪjB.(0,-1)C.D.

【答案】A

【解析】依题意A(2,-2)在抛物线y=以2(α*0)上，所以-2="x2?nα=-g,

所以y=-gw=.2＞，故2p=2,5=g,且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为(θ,-J.

2.(2022•贵州•模拟预测(理))已知曲线C/：x'=2py(p＞0)和C2：(x+l『+y?=当，点A(-1,

16

山)和8(2,＞2)都在C/上，平行于AB的直线/与C/,C2都相切，则。的焦点为()

A.(0,—)B.(0)ɪ)

42

【答案】B

【详解】先由题意求出AB坐标，则可得∕⅛,由于直线/平行于AB,所以设直线Ly=∕x+"再利用直

线/与Cl相切，将直线方程代入G方程中，由判别式为零可得Pb=-L再由直线/与C?相切，则圆心(T,°)

O

到直线/的距离等于半径且，列方程，结前面的式子可求出P,从而可求出抛物线的焦点坐标

4

12

【点睛】对于曲线C/：X2=2py(p＞0),当X=-I时，＞'=—,当x=2时,，＞=一,

2pP

ZXZX12

所以A—1,；,82,工，所以直线AB的斜率为i__2p~7_1，

I2P)IP)%=F

1s,

设与直线A5平行的直线为hy=}χ+6,由＜y=——x-t-bC

2p,-X-Iph=Q,

2p

χ2=2py

因为直线3=9+gC∣相切，所以△=5即。，得面=」，

因为直线/：y=:-x+6与c?相切，所以圆心(-1,0)到直线/的距离等于半径且,

化简得jl+4p2)=(1-2pO)2,

Io

所以,(l+4p2)=(l+J)2,得p2=l,

164

因为。>0,所以。=1，所以曲线C/为χ2=2y,其焦点为[θ,g

故选：B

3.(2022•山东・昌乐二中模拟预测)PQ为经过抛物线V=2px焦点的任一弦，抛物线的准线为/,PM垂直

于/于M,QN垂直于/于N,PQ绕/一周所得旋转面面积为跖，以MN为直径的球面积为邑，则()

A.51>S2B.5l<S2C.Sl≥S2D.S1≤S2

【答案】C

【解析】设PQ与X轴夹角为氏令IP日=W,|。司=〃，则IPM="，1。2=〃，则

1

S1=π(∖PM∖+∖QN∖)-∖P^=π[m+n^,S2=π∖MN'∖=π{m+n^s∖nθ,所以S∣≥S?当且仅当。=9()。时等号成

立；

故选：C

4.(2021•内蒙古乌兰察布•一模(文))已知F是抛物线y2=4x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐

标为6,以M为圆心，IMQ为半径作圆，过。(7,-4)引圆M切线Q4QB,则NAQS=()

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

抛物线),2=4χ的焦点*1,0),准线/方程：X=-L

因为点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6,所以M(9,6),

所以IMFl=J(9-1)2+(6-0)2=]0即圆的半径尸：10.

由抛物线的定义可知，准线与圆M相切.

而Q(-l,-4)在准线/,所以切点A必在准线上，且A(T,6),

可知IQAl=I()=r,故四边形AQBM为正方形，所以NAQB=90。

故选：B

5.(2022.安徽省舒城中学模拟预测(理))已知A,8分别为抛物线C1：V=4x与圆C?：/+/_40〉+7=0

上的动点，抛物线的焦点为F,P,。为平面两点，当∣AF∣+∣A却取到最小值时，点A与P重合，当IA尸∣一∣A卸

取到最大时，点A与。重合，则直线的PQ的斜率为()

A.—B.ɪC.1D.—

323

【答案】D

【解析】如图所示:

C√x2+y2-4√2,y+7=0,SPx2+(γ-2√2)2=1,圆心为cjθ,2夜)，

抛物线J：V=4x的焦点为F(LO),记G的准线为/,过点A作ADJ/,

过C2作CAL，

∣AF∣+∣AB∣=∣AD,∣+∣AB∣>∣ADl∣+∣AG∣-l,当AGW共线时，点B在AG上，此时PR,2√5),

连接FC2,

IAFl-1AB∣<IAF∣-(|AC2∣-1)=∖AF∖-1AC2∣+1≤∣FC2∣+1,此时Q为FCl与抛物线G的交点，

FC√y=-2√2(x-l),由卜「［何，-"，解得「一或「一万,

Iy=4、Iy=H2Iy=&

一、,2√2-√22√2

Q化⑸X-TT=亍

因为Q在第一象限，所以I2人所以2,

故选：D

6.(2022・安徽・合肥一中模拟预测(文))首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞

赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为

雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金

牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧向组成，如图所示.假设圆弧Q3所在圆的方程为

C:(x+25)2+(y-2)2=162,若某运动员在起跳点M以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后

的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为()

A.j2=-32(Λ-1)B.y=--x2-3

64

C.√=-32(>>-l)D.f=-36y+4

【答案】C

【解析】由于某运动员在起跳点M以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，

故ACM=T,所以直线CM所在的方程为：y-2=-(x+25),

JQ——]6IX=—34

r或<一一(舍，离y轴较远的点)，

{y=-7[y=ll

所以点M的坐标为(T6,-7).

由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，

故设抛物线方程为：y=αM+c,则y'=2αr,

则由M点处切线斜率为1可得-324=l,.∙.”=-∖,

X-7=-^(-16)2+c,解得c=l,

所以该抛物线的轨迹方程为y=-∖f+ι,即f=-32(y-l),

故选：C.

7.(202卜安徽马鞍山•二模(文))在平面直角坐标系Xoy中，若抛物线Cy=2px(p>0)的焦点为F,直

线43与抛物线C交于A,B两点,IAfI=4,圆E为IiEAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M,点N在

圆E上，则OM.QN的取值范围是()

A.B.[-3,21]C.祟21D.[3,27]

【答案】B

【解析】由题意，设川3,府)，所以IAFI=3+^=4,解得p=2,

所以抛物线的方程为V=4x,λ(3,2√3),B(3,-2√3),F(l,()),

所以直线AF的方程为y=√3(x-l),

设圆心坐标为α,,θ),所以(XO-I)2=(3-A))2+12,解得Xo=5,即E(5,0),

・••圆的方程为α-5α+y2=i6,

不妨设3>0,设直线OM的方程为y=H,则攵>0,

4

根据卷7=4,解得k=g,由.V=-X912

3,解得M5,^5^

(X-5)2+>2=16

设N(4cosθ÷5,4sinθ),月『以OM∙ON=gcosJ+羡sing+9=∕(3COS夕+4Sing)+9,

因为38$。+4$皿。=55皿。+0)«-5,5],所以QM.ONe[-3,21].

故选：B.

8.（2022.新疆乌鲁木齐.模拟预测（文））北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返

回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天

器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为工+t=I,变轨（即航天器运行轨迹由

10025

椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，（0,为顶点的抛物线的一部分.已知观测点4的坐

标（6,0）,当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离

为（）

A.3B.2.5C.2D.1

【答案】A

【解析】由题意，设点8所在的抛物线方程为y=0χ2+^,

又由抛物线与椭圆的交点C(6,4),代入抛物线方程得42="62+”,解得。=一三,

545

AQA

即抛物线的方程为y=-ʌɪ2+邛，

455

436

令y=o,可得-77f+u=o,解得χ=9或工=_9(舍去)，

455

所以|明二|0却-|侬=3,即航天器降落点3与观测点A之间的距离为3.

故选：A.

二、多选题

9.(2021.重庆市育才中学二模)下列说法正确的是()

A.AB=C。是IABl=ICDl的充分不必要条件

B.基函数/(x)=∕n"my帆eR)在区间(O,*0)上单调递减

22

C.抛物线y=4χ2的焦点与椭圆二+匕=1的右焦点重合

43

D.函数f(x)=SinlX∣+∣SinXl的最大值为2

【答案】ABD

【解析】对于A中，由AB=Cf>，可得IA8∣=∣C£>I成立，反之：若∣A8∣=∣CD∣,但向量AB与CO的方向不

一定相同，所以向量AB与CC不一定相等，所以AB=CD是IABl=IC£>I的充分不必要条件，所以A正确；

n

对于B中，由幕函数F(X)=欣jτ,可得zn=ι,即/(χ)=Xτ,

所以函数/(x)在区间(0,+∞)上单调递减，所以B正确;

对于C中，抛物线y=4∕的焦点坐标为（0,上），椭圆H+E=l的右焦点的坐标为（1,0）,

可得抛物线y=4∕的焦点与椭圆:+]=1的右焦点不重合，所以C不正确；

对于D中,由三角函数的性质，可得SkIWe[—1,1],卜in耳∈[0,1],

当X=IH寸，可得SinIxI=LlSinXl=1,所以当X=I时，函数〃x）取得最大值2,

所以D正确.

故选：ABD.

10.（2021.辽宁.沈阳二中模拟预测）下列说法不氐现的是（）

A.等比数列{4},4=4,40=8,则4=±40

B.抛物线y=-4f的焦点尸（To）

C.命题‘'Vx>0,2*>χ2”的否定是：FX≤0,2*≤χ2"

D.两个事件AJ?,“A与8互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比数列{4},4=4,4=8,所以"=/4。=32,

则％=±4&，又&=%炉>。，所以％=4近，故A错误；

B.抛物线y=-4∕化成标准式得：x2=­y,所以其焦点尸（θ,-∙⅛],故B错误；

4I16；

C命题“Vx>02>/”的否定是：FX>0,2*≤C”,故C错误;

D.两个事件AB,若A与8互斥，则A与8不一定相互对立，但若A与8相互对立，则A与8一定互斥，故

“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故D错误.

故选：ABCD;

11.（2022.福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线C：V=4x的焦点F的直线/与C交于A,B两点，设

β

AaM、（¾∙J2）>已知“（3,-2）,N（T,1）,则（）

4

A.若直线/垂直于X轴，则IABl=4B.yly2=-

C.若P为C上的动点，则IPMI+1PH的最小值为5D.若点N在以AB为直径的圆上，则直线/的斜率

为2

【答案】ABD

y2=ΛYCy-IΓγ—ɪ

二可得-C或一C

{尤=1[y=2Iy=-2

所以A(l,2),8(1,-2),所以IABI=4,A对,

由已知可得直线/的斜率不为0,故可设其方程为X=my+↑,

V2=4x

联立《化简可得V-4∕ny-4=0,

X=my+\

Δ=(4W)2+16>0,设A(Xl,必),8(*2，必)，

则X+>2=4，"，My2=-4，B对，

点N在以AB为直径的圆上，则NA∙NB=0,又N(-l,l)

m1

所以(玉+D(j⅞+ι)+(y∣-1)(丫2-1)=(),又再=Wyl+1,¾=y2+

所以(町+2)(啊2+2)+(yT)(%T)=0>

所以(〃?2+1)%必+(2〃7_1)()'1+%)+5=0，

所以4"∕-4,"+I=0,故机=g,此时直线/的斜率为2,D对，

过点P作出垂直与准线X=T,垂足为

过点"作MM