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文档简介

关于四等分等腰梯形的问题对于一个等腰梯形，是否一定可以划分成四个全等图形呢？答案是否定的．而如果我们对等腰梯形再附加一些制约条件，则有通法将其划分成四个全等图形．本文探讨在什么条件下的等腰梯形可以进行四等分的问题，一、对等腰梯形的上、下底边施加制约条件1.如图1，设等腰梯形的上底为a，下底为b(a<b)，高为h，当a＝时，等腰梯形可以划分成四个全等的直角三角形．其直角边分别为a,h．作法：①分别过点A,D，作AE⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为E,F；②连结ED．则AE,ED,DF将等腰梯形分成四个全等的直角三角形．(证明略．)2.如图2，设等腰梯形上底为a，下底为b(a<b)，当a>时，等腰梯形可分为四个全等的直角梯形，其上底为，下底为．作法：①分别取AD，BC的中点M，N，连结MN；②取MN的中点O，过点D作EF∥AB，EF交AD于点E，交BC于点F；③取ED的中点H，过点H作HG⊥BC于点G，在AD上截AL＝EH，过点L作LK⊥BC于点K．则LK，EF，HG将梯形ABCD划成四个全等直角梯形．此时AL＝KF＝EH＝HD＝，BK＝LE＝FG＝CC＝．(证明略．)二、对等腰梯形的对角线施加制约条件如图3，对角线互相垂直的等腰梯形可以划分成四个全等图形，设等腰梯形上底a，下底为b．作法：①分别取AD，BC的中点E，F，连EF；②在EF上截取EC＝BF；③过点G分别作GH上AB，GI上DC，垂足分别为H，I．则GHGEGFGI将梯形划分成四个全等图形．其中AE＝ED＝GF＝，EG＝BF＝FC＝．(证明略．)三、对底、腰、底角施加多重制约条件1.如图4，梯形ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝60°，则此梯形可分割成四个和原梯形相似的等腰梯形．作法：①取BC中点D，连AO，DO；②分别取BO，OA，OD，OC的中点E，F，G，H，连结EF，FG，GH．则AF，EF，FG，GD，GH把梯形ABCD分成四个全等且与原梯形相似的全等的等腰梯形．注：此时a＝>b．(证明略．)2.如图5，直角梯形的高和上底相等，且等于下底的一半，则此直角梯形可分割成四个全等且与原梯形相似的直角梯形．作法：①分别取AD，BC，DC的中点E，F，G：②过点E，作EH上AD，过点G作GH∥AD，GH，EH交于点H，

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