2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结参考答案

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学参考答案

1.B2.C3.A4.C5.A6.D

7.D8.C9.ACD10.ABD11.BC12.BD

13.36

3

15.2（2,-2,；,-；中任意一个皆可以）

17.【详解】(1)由4+2αz,=4S,,+3,可知+2”向=4Szrt∣+3

两式相减得d+∣-d+2(an+l-an)=4an+l,

即2(%+«„)=<!-«"=院1+4)(%-。“)，

.4,>0，；♦"”+1-a”=2,

Y当”=1时，a；+2q=4α∣+3,Λal(舍)或“∣=3,

则｛叫是首项为3,公差4=2的等差数列，

.∙.｛《,｝的通项公式%=3+2(M-1)=2W+1；

(2)∖∙an=2n+∖,

,b,=L=_____L__=Ip_______U,

61MHJ(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12n+3)

•••数列｛%｝的前〃项和

1

(,U2(f3l-l5÷l5-l7÷∙→-2〃+-12π-+3j-2(3—2nM+3J=3d(2〃½+3]

18.【详解】(1)由正弦定理得G(Sin5-SinACOSC)=SinCSinA,

又A+B÷C=π,sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,

则>∣3[sin(Λ÷C)-sinAcosC]=sinCsinA,

化简得bcosAsinC=sinCsinA,

又SinC>（）,所以GcosA=SinA,则ʌ/ɜ=tanA,

因为AeW

所以A=}

a_b_c_2_4∖∣3

（2）由正弦定理得：sinAsinBsinC.兀3,

sin—

3

.,4√3._4g.厂

•∙b=-----sinB,c-------sinC»

33

・“ɔ4√3.4√3..ɔ46「∙D.f2πA

•∙a+Z?+c'=2+-----sinBdH-------sinCr=2H-------sinB+sin--------B

333LI3）

速/％且

=2+nB+COSB=2+4Sin（B+看

3122

ABC为锐角三角形，

0<B<-

.I2

„-2兀71

0<C=------B<—

32

解得：7<β<⅞，

62

.兀门π2兀

363

ɪ<sin（8+季）41,

.∙.2^<4sin^B+^≤4,

∙'∙2+2λ∕3<o+b+c≤6,

即^ABC的取值范围为（2+2疯6]

19.【详解】（1）因为PCJ_底面ABCf>,ACU平面ABCZ）,

所以PCLAC.

因为A3=2,AD=CD=X,所以4C=BC=0∙

所以AC?+8C?=AB?,所以AClBC.

又因为PCCBC=C,PCU平面PBC,BCU平面PBC,

所以AC_L平面PBC.

又AeU平面EAC,

所以平面E4C_L平面PBC.

(2)解法一：

以点C为原点,CB,CA,CP所在直线分别为X轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),

β(√2,θ,θ),A(0,√2,0),P(0,0,2).

设点E的坐标为(x,y,z),因为B£=2EP，所以卜-a,)\2)=2(-》,-、2-2),

即X="，y=0,z=±所以J*,。；.

33Ik33J

所以CA=(O,√5,θ),CE=冬。事.

n-CA=0

设平面ACE的一个法向量为"=(x,y,z),则

n∙CE=0

√2y=0

所以＜正4,取R=2Λ∕∑,则y=。，z=-l.

——X+—z=0

I33

所以平面ACE的一个法向量为〃=(2&,0,-1).

又因为BC工平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为CB=(起,0,01

设平面PAC与平面ACE的夹角为。，

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为也.

3

解法二：

取AB的中点G,连接CG,以点C为原点，CG,CD,CP所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如图所

示

的空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(l,-l,0),A(l,l,0),P(0,0,2).

设点E的坐标为(x,y,z),因为8E=2E尸，所以(XT,y+l,z)=2(-x,-y,2-z),

ɪɪ4.114)

即aπX=,，y=-->ɪ=--所rcμ以E∣3,-Q,QJ.

所以CA=(1,1,0),CE=(,-gg).

/、[n∙CA=0

设平面ACE的一个法向量为〃=(x,y,z),则｛.

n∙CE=0

x+y=0

所以4114八，取x=3,贝IJy=-3,z=-∣.

-X——y+-z=O2

133'3

所以，平面ACE的一个法向量为"=(3,-3,.

又因为Bel平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为C8=(l,-1,0).

设平面PAC与平面ACE的夹角为。,

则cos6=MS(〃闻=⑻；:2=当

22

J3+(-3)^+f--^×λ∕l+(-1)^

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为逑

3

20.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则

P(A)=C州第嘿

(2)X的可能取值为2,3,4

C2C∣21S3

P(χ=2)=⅛∙=D=±,

\77014

Wχ=3)="=竺,

(C；^70-7,

/"X⑷«或_15=3

()一C；^70^14,

X的分布列为;

X234

343

P

147

343

数学期望E(X)=2χ∙^+3χ,+4xK=3.

1X9

(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P(A)=砺;

4ɜ11

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则尸(B)=＞成=三

因为P(B)＞P(A),故小宇进决赛的可能性更大,

所以应选择小宇去参加比赛.

21.【详解】(1)定义域为(0,+8),r(χ)=(χ+i)e*-?

f'⑴=2e-α=2e+l

由题意知

/(1)=2e+l-⅛=e

解得α=T,b=e+l；

(2)g(x)=/(x)-2eA-x+3=(x-2)eλ+lnx-x÷3,

1

则g,(x)=(xfejr+C"--

XX

令MX)=e"-L其中Xe,1,则/(x)=e”+5>0,

2

所以函数MX)=e，-：在Xeɪ,ɪ上单调递增,

因为〃√^-2<O,Λ(l)=e-l>O,所以存在唯一Xoe

使得力(玉＞)=腔一,=0,即e'。=',可得XO=-In/,

⅞⅞

当］<x<x。时，g'(x)>O,此时函数g(x)单调递增，

当/<x<l时,√(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

所以当Xeɪɔ时,g(x)mιχ=g(XO)=(XL2)e%+加占-%+3,

1(IʌI~Γ

因为e"=—,Xo=TnX0,所以g(χ)=4-2x+-≤4-4X•一=0,

⅞nmI0⅞JV0⅞

当且仅当%=',即％=1时，取等号，

⅞

又因与w(g,l),所以g(x)maχ=4-2^+ɪ<0,

即g(x)<O,因为g⑴=2-e>-l,g^=∣-l∏2-∣√e>∣-ln2-∣×∣=-ln2>-l,

所以当Xe∣J时，-1<g(x)<0,

因为当x∈ɪ,l时，g(x)<∕n(加eZ)恒成立，

所有加min=S

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转

化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.

2

22.【详解】（1）双曲线C：f≠0）的渐近线方程为y=±6χ,

不妨设A（W,园），B（m-y∕3m）

因为三角形OAB的面积为√5,所以g∣A8∣∙优=G,后,

所以G∕=G,又加＞0,所以m=1.