2023年辽宁省锦州市中考数学质检试卷（含答案）

2023年辽宁省锦州市中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列命题：①同旁内角互补；②对顶角相等；③一个角的补角大于这个角；④三角形的

一个外角等于两个内角之和，其中，真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.将2.05XIO7用小数表示为（）

A.0.000205B.0.0205C.0.00205D.-0.00205

3.用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，它最少和最多需要的立

方块是个.（）

从正面看从上面看

A.8与14B.9与13C.10与12D.无法确定

4.对甲、乙两户家庭全年各项支出的统计如图所示，已知甲户居民的衣着支出与乙户相同,

下面根据统计，对两户家庭教育支出的费用做出判断，正确的是（）

A.甲比乙大B.乙比甲大C.甲、乙一样大D.无法确定

5.如图，AB//DE,BClCD,则以下说法中正确的是（）

a

A.α,S的角度数之和为定值B.a随S增大而增大

C.α,/?的角度数之积为定值D.α随口增大而减小

6.已知九均为正整数且满足nrn—2τn—3九-20=0,则m+九的最小值是（）

A.20B.30C.32D.37

7.已知直线y=-%+7α÷1与直线y=2%-2α+4同时经过点P,点Q是以M（O,-1）为圆心,

M。为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）

16八8

,Tc,5

8.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∆C=90o,AB=8,

AD=CD=5,点M为BC上异于B、C的一定点，点N为4B上的

一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从4到B的运动过

程中，线段EF扫过图形的面积为（）

A.4B,4.5C.5D.6

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.要使式子需在实数范围内有意义，则实数ɑ的取值范围是

10.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方

形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对

称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

11.对于三个数a,b,c,我们规定用M{0”,c}表示这三个数的平均数，用τ∏m{α,b,c}表示

这三个数中最小的数.例如：M{-l,2,3}=匚产=*min!-l,2,3}=-1,如果M{3,2x+

l,4x—1}=min{2,—x+3,5x},那么％=.

12.己知下面三个关于工的一元二次方程a/+b%+c=1,bx2+ex+α=-3,cx2+αx+

b=2恰好有一个相同的实数根，则α+b+c的值为.

13.如图，菱形。48C的一边OA在X轴的负半轴上，。是坐标原点，tan∕4°C=*反比例函

数y=：的图象经过点C,与ZB交于点。，若△COD的面积为20,贝味的值等于.

14.如图所示，在扇形OAB中，乙408=90。，半径。4=4,

点尸位于您的押且靠近点A的位置.点C、。分别在线段。4、

。8上，CD=4,E为Cn的中点，连接EF、BE.在C。滑动过程

中（CD长度始终保持不变），当E/取最小值时，阴影部分的周

长为.

15.如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE1BC于点E,

PFlDC于点F,连接ZP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接E尸交ZH于点G,

当点P在B。上运动时（不包括B、D两点），以下结论：（1）AH1EF-,②MF=MC;@EF2=

PM-PH；④EF的最小值是√Σ其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

16.如图，已知等边404B1，顶点&在双曲线y=Y（X>0）上，点Bl的坐标为（2,0）.过当作

3遇2〃。公交双曲线于点4，过4作42%〃4a交X轴于点殳，得到第二个等边4B1A2B2;

过为作824〃8142交双曲线于点4，过小作&B3//42B2交X轴于点为，得到第三个等边4

B2A3B3i以此类推，…，则点&的坐标为

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.先化简（1—高）+/竽1,然后从—√5<α<√5的范围内选取一个合适的整数作为ɑ

的值代入求值.

四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题8.0分）

某中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了解学生对这四

种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一

种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图.

个学生人数

40I--1~|----

40

(l)m—,n—；

(2)请补全图中的条形图；

(3)根据抽样调查的结果，请估算全校2100名学生中，大约有多少人喜爱踢足球：

(4)在抽查的zn名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学(其中有4名女生，包括小红、小梅)，

现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在

同一组的概率.

19.(本小题8.0分)

端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉

馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同.小明喜欢吃红枣

馅的粽子.

(1)请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；

(2)在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子(如图所示)进行吃粽子的模拟试验，

规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3,4向上代表红枣馅，连续抛

掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率.你认为这

样模拟正确吗？试说明理由.

20.(本小题8.0分)

某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座

位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据

中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如

果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.

(1)求中巴车和大客车各有多少个座位？

(2)客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每

辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多

租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少

辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

21.(本小题8.0分)

如图，在坡角为30。的山坡上有一铁塔AB,其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线

成45。角时,测得铁塔ZB落在斜坡上的影子BD的长为8米,落在广告牌上的影子CD的长为5米,

求铁塔4B的高.（4B、CD均与水平面垂直，结果保留根号）

22.（本小题8.0分）

如图，已知点D是AABC外接圆O。上的一点，ACIBD^G,连接4D,过点B作直线BF〃AD

交ZC于E,交。。于凡若点F是弧CD的中点，连接OG,0D,CD

⑴求证：乙DBF=乙ACB；

（2）若AG=当GE,试探究与4DC之间的数量关系，并证明.

23.（本小题10.0分）

为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提

供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.赵某按照相关政策

投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”.已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10

元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=-10%+500.

（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多

少元？

(2)设赵某获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元.如果赵某想要每月获得的

利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

24.(本小题12.0分)

如图，在正方形ABCD中，AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<；BD),连接4M,

过点M作MN1AM交BC于点N.

(1)如图①，求证：MA=MN；

(2)如图②，连接4V,。为4N的中点，M。的延长线交边AB于点P,当件生=叫时，求AN和

SABCD18

PM的长；

如图1,已知抛物线y=-/一4x+5交X轴于点4、B两点(点4在点B的左侧)，交y轴于点C,

(1)求直线4。的解析式.

(2)点E(m,0)、F(m+QO)为x轴上两点,其中(一5<m<—3.5)EE'、产F'分别平行于y轴，交

抛物线于点E'和F',交4D于点M、N,当ME'+NF'的值最大时，在y轴上找一点R,使得∣RE'-

RF'∣值最大，请求出点R的坐标及∣R9-RF'∣的最大值.

(3)如图2,在抛物线上是否存在点P,使得APAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请

出点P的坐标及APAC的面积，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

根据同旁内角、对顶角、补角、三角形外角的性质即可解决问题.本题考查了命题与定理，同旁

内角、对顶角、补角、三角形外角等知识，解题的关键是熟练掌握应用这些知识解决问题，属于

中考常考题型.

【解答】

解：①错误，同旁内角不一定互补.

②正确.对顶角相等.

③错误，一个角的补角可能大于这个角可能等于这个角也可能小于这个角.

④错误，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.

故②正确，

故选3.

2.【答案】C

【解析】解：2.05XI(T3=0,00205,

故选：C.

10-3就是0.001,可以把2.05的小数点向左移动3位.

本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n>0时，n是几，小数点就向右

移几位；n<0时，n是几，小数点就向左移几位.

3.【答案】B

【解析】解：如果所需的立方块最少，根据主视图和俯视图可得这个几何体共3列，最左边一列有

4个正方体，中间一列有4个正方体，最右边一列有1个正方体，共9个，

如果所需的立方块最多，根据主视图和俯视图可得，最左边一列有6个正方体，中间一列有6个正

方体，最右边一列有1个正方体，共13个，

故选：B.

根据三视图的知识可得，根据主视图和俯视图可得这个几何体共3列，再分别求出最少和最多需要

的立方块个数即可.

本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如

果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

4.【答案】B

【解析】解；由条形统计图，得

衣着支出为1200元，教育支出为1200元.

由甲户居民的衣着支出与乙户相同，得

乙户的衣着支出为1200元，

乙户的总支出为1200÷20%=6000元，

乙户的教育支出为6000X25%=1500元，

V1500>1200,

•••乙户的教育支出大.

故选：B.

观察条形统计图，可得衣着支出，教育支出，根据衣着支出相同，用衣着支出除以衣着所占的百

分比，可得乙户的支出，根据乙户的支出乘以教育所占的百分比，可得乙户的教育支出，根据有

理数的大小比较，可得答案.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

5.【答案】B

【解析】解：过C点作

DE

■■AB//DE,

・・・

EF//DE9

o

ʌ∆a=Z.BCE9∆β+乙DCE=180,

vBC1CD,

・・・∆BCD=90o,

・•・Z-BCE+乙DCE=360o-乙BCD=270°,

.∙.za+(180o-z∕5)=270o,

・•・∆a-∆β=90°,

∙∙∙α随£增大而增大，

故选:B.

过C点作CF〃4B,利用平行线的性质解答即可.

本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：mn—2m—3n—20=0,

ττι(τι—2)—3π+6—6—20=0,

m(n-2)-3(n-2)-26=0,

(m-3)(n-2)=26,

m,n均为正整数，

26=1×26,或26=2X13,

Tm-3=1[τn-3=26Cm-3=2fm—3=13

ʌIn-2=26,In-2=1'〔九一2=13'In-2=2'

∙∙∙m+n=32,τn+n=32,m+n=20,m+n=20,

・・・根+九的最小值为20.

故选：A.

利用因式分解把等式变形为(m-3)(n-2)=26,再讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出

最小值.

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法.

7.【答案】C

【解析】解：解方程组忧£士m得忧*;，

•••「点坐标为(3(1-1,4£1+2),

设x=3α-l,y=4α+2,消去α整理得y=gx+与，

即点P为直线y=1x+学上一动点，

设直线y=gx+与与坐标轴的交点为4、B,如图，则4(—1,0),

B(O.y)-

∙∙∙AB=J(∣)2+(第24

过M点作MP1直线43于P,交C)M于Q,此时线段PQ的值最小,

V乙MBP=∆ABOy

・•・Rt△MBPSRt△ABO,

:MP：OA=BM：AB,即MP：£=名,

236

nc1318

∙∙.PQ=1∙-1=1

即线段PQ的最小值为:

故选：C.

先解方程组灯ZO得P点坐标为(3α-l,4α+2),则可确定点P为直线y=“+当上一

动点，设直线y=5+与与坐标轴的交点为4、B,贝∣L4(*,0),B(0,y),利用勾股定理计算出

AB=⅛,过M点作MP_L直线48于P,交。M于Q,此时线段PQ的值最小，证RtΔMBPSRtΔABO,

O

利用相似比计算出MP=茅贝IJPQ=|,即线段PQ的最小值为:

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点

到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了一次函数的性质和相似三角形

的判定与性质.

8.【答案】A

【解析】解：如图，取MB中点P,连接FP,EP,DN,

∙.∙FP是AMNB的中位线，EF是AMDN的中位线，

.∙.FP//BN,FP=^BN,EF/∕DN,EF=：DN,

・•・当点N从A到B运动过程中，点尸在尸P所在直线上运动，

即线段EF扫过的图形为△EFP,

••・当点N与点4重合时，FP=^BN=^BA=4,

过点。作DQIyIB于点Q,

•：AB//CD,NC=90°,AB=8,AD=CD=5,

ʌAQ=8—5=3,

22

.∙.DQ=y∕AD-AQ=4,

二当点N与点Q重合时，EF=TDN=TDQ=2,

EF//DQ,即EFIAB,即EFlFP,

•••△EFP中，FP上的高为2,

当N从4到B的运动过程中，线段EF扫过的图形面积为：

1

∣×4×2=4.

故选：A.

取MB中点P,连接FP,EP,DN,根据三角形中位线定理可得，当点N从4到B运动过程中，点F在

FP所在直线上运动，即线段EF扫过的图形为AEFP,求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP

上的高，进而即可求解.

本题考查了直角梯形、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理.

9.【答案】α≥-3且α≠±1

【解析】解：由题意得，ɑ+3≥0且ɑ2—l40,

解得a≥-3且a≠±1.

故答案为：ɑ≥-3且ɑ装±l.

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

(1)分式无意义Q分母为零；

(2)分式有意义=分母不为零；

(3)分式值为零=分子为零且分母不为零.

10.【答案】J

【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，

设圆的半径为1,则正方形的面积为2,

所以黑色部分的面积为S=∣∙π∙l2=≡,

则所求的概率P=*=》

218

故答案为：≡

根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得.

本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键.

IL【答案】京哈

【解析】

【分析】

本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是弄清新定义运算的法则，并分情况讨论.

依据M{3,2%+1,4%-1}=min{2l-x+3,5x},分三种情况讨论，即可得到工的值.

【解答】

解:M[3,2x+1,4X—1}=min{2f—x+3,5%},

①若"(3+2%+1+4x-1)=2,则％=2，(符合题意)

②若“3+2%+1+4x-1)=r+3,则％(一%+3不是三个数中最小的数，不符合题意)

③若g(3+2%÷1+4%-1)=5x,则X=(符合题意)

故答案为：或

12.【答案】O

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.

设这个相同的实数根为t，把X=t代入3个方程得出α∙t2+从+c=1,e2+ct+α=-3,Ct2+

a-t+b=2,3个方程相加即可得出(α+b+c)(t2+t+i)=0,即可求出答案.

【解答】

解：设这个相同的实数根为3

把X=t代入ax?+bx+c=1,bx2+ex+a=-3,cx2+ax+b=2得：

a-12+bt+c=1,bt2+ct+a=-3,ct2+a-t+b=2

相加得：(α+b+c)t?+(b+c+ɑ)t+(ɑ+b+c)=0,

(ɑ+ð+c)(t2+t+1)=0,

-1ɔ

Vt2+t+1=(t+ɪ)2+->0,

.∙.a+b+c=O,

故答案是：O.

13.【答案】-24

【解析】

【分析】

本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形4BC。=2SACD。是解题的关键.

易证S菱形ABCO=25ACDO,再根据tan"。C的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入

反比例函数即可解题.

【解答】

解：W-DE//AO,CFLAO,设CF=4x,

•••四边形OaBC为菱形,

∙.AB//COfAollBC,

vDEllAO,

ʌSAAOO=SbDEO,

同理'S>BCD=S>CDE，

v

S菱形ABCo=S^ADO+SbDEO+S>BCD+SACDE，

λS菱形HBCo=2(SADEO+∙^ΔCDE)=2S>CDO=40,

4

vtanzy40c=3,

.∙.OF—3x,

・•・OC=√0F2÷CF2=5%,

：•OA=OC=5%,

vS菱形ABC。=CF=20x2,解得：X=√2,

.∙.OF=3√2,CF=4√2,

・・・点C坐标为(-3&,4√2),

•・,反比例函数y=：的图象经过点C,

・•・代入点C得：k=-24,

故答案为一24.

14.【答案】2+2√3+⅛π

【解析】

【分析】

本题考查弧长的计算，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已

知圆的半径为r,那么心的圆心角所对的弧的长度为篝.

IoU

连接OF,OE,BF,取。尸的中点7,连接B7.证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线

的性质求出。E,EF≥0F-OE=2,推出当。，E,F共线时，EF的值最小，此时点E与点7重合，

求出BT,FT,冷的长即可.

【解答】

解：如图，连接OF,OE,BF,取OF的中点T,连接B7.

V∆AOB=90o,AF=项，

：.乙BOF=60°,

，好的长=喘='，

VCE=DE,

.∙.OE=^CD=2,

•.・OF—4,

∙∙∙EF≥0F-0E=2,

・・・当。，E,F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合,

∙∙∙1⅛时EF=2,

VOF=OB9∆BOF=60°,

：.△Bo尸是等边三角形，

VOT=TF,

^BTIOF9

ΛBE=BT=∖∣0B2-OT2=√42-22=2√3,

••・此时阴影部分的周长为2+2g+gτr.

15.【答案】①③④

【解析】解：①•••四边形ZBCD是正方形，

.∙.AB=BC,Z.ABP=乙CBP=45°,

•・•BP=BP,

・•.ZMBP三ACBP(SAS),

・・・AP=CP,

VPE1BC,PFIDCf∆BCD=90°,

・・・四边形PECF是矩形,

EF=PC=AP,

-AP=PC,AD=CD1PD=PD1

・•・△∕1PD≤∆CPD(SSS)

：•Z-DAP=∆DCPf

-AD//BC,

∙∙∆DAP=乙H,

・•・Z.DCP=ZH,

•・・PE=CF,乙PEC=乙FCE=90o,EC=EC,

•・・△PEC^LFCE(SAS)

・•・Z-PCE=Z.FEC,

•・・乙PCF+乙PCE=乙FCE=90°,

・・・Z.H+乙FEC=90°,

・•・Z-EGH=90°,

：・AH1EF,

故①正确；

②因为当点P与BD中点重合时，CM=0,显然FM4CM,

故②不合正确；

③∙∙∙AD//BH,

ʌZ-DAP=∆H1

•・•Z-DAP=∆PCM1

・•・乙PCM=UL

VZ-CPM=(HPJ

・•・△CPMfHPC,

CP_PM

••丽='CPf

.∙.CP2=PM∙PH,且EF=PC,

EF2=PM-PH,

故③正确；

④EF=AP,

∙∙∙4P取最小值时，EF有最小值，

.∙.当4P1BD时，4P有最小值，

此时：■■AB=AD=2,NBAO=90。，AP1BD,

...BD=2Λ∕2,AP-^BD—√2,

EF的最小值为√L

故④正确.

故答案为：①③④.

由特殊值法可判断②，由‘'SAS"可证AABPWZiCBP,可得4P=CP,由矩形的性质可得EF=

PC=AP,由“SSS”可证△APD三XCPD,可得z√λ4P=乙DCP,由平行线的性质可得NDCP=∆H,

⅛αSΛS"W∆Pfi'C≤∆FCf,可得NPCE=4FEC,由余角的性质可得4H_LE尸；通过证明4

CPMSAHPC,可得黑=萼,可得泗=PM-PH,由4P=EF,可得次=PM-PH-由4P=EF,

PHCP

可得ZP取最小值时，EF有最小值，即由垂线段最短可求解.

本题是相似综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

16.【答案】(2√6,0)

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进

而得出点Bn的规律是解题的关键.根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分

别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点名的坐标.

【解答】

解：如图，作4C∙tx轴于点C，

设BIC=a,则42。-√3α>

OC=OB1+BIC=2+α,A2(2+a,√3α).

∙∙∙点4在双曲线y=γ(χ>0)±,

•••(2+α)∙√3α=√3,

解得a=¢-1，或a=―a—1(舍去)，

ʌOB2=OBT+2B[C=2+2√2-2=2√2,

点殳的坐标为(2√Xθ);

作人。，》轴于点D，设=b,则/D=苗儿

OD=OB2+B2D=2√2+b，∕13(2√2+h,√3b).

•・•点4在双曲线y=y(x>0)±.

.∙.(2√2+b)∙y∕3b=y∕3,

解得b=—a+V5，或b=—V∑—舍去)，

.∙.OB3=OB2+2B2D=2√2-2√2+2√3=2√5,

二点B3的坐标为(2%,0);

同理可得点区的坐标为(2√ξθ)即(4,0)；

以此类推…，

.∙.点%的坐标为（2诉,0）,

点B6的坐标为（2历0）.

故答案为（2e,0）.

17.【答案】解：原式等F=合，

由一√5<Q<√5,a+2≠0,a—2≠0,a—1≠0,得a=-1或0,

当Q=0时，原式=2.

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分

得到最简结果，求出Q的值代入计算即可求出值.

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

小学生人数

18.【答案】1001540-----------

4035

【解析】解：(由题意可得，

1)30.....................

m=10÷10%=100,n%=15÷100=15%,

20.....................

10.....................10

OL(IIII(

乒

羽

足

篮

项目

乓

毛

球

球

球

球

故答案为：100,15；

(2)喜爱篮球的有：IOoX35%=35(人)，

补全的条形统计图，如右图所示；

(3)由题意可得，

全校2100名学生中，喜爱踢足球的有：210OX编=840(人),

答：全校2100名学生中，大约有840人喜爱踢足球；

(4)设四名女生分别为:4(小红)、8(小梅)、C、D,

则出现的所有可能性是：

(48)、(4C)、(4。)、

(B,A),(B,C),(B,D)、

(C,4)、(C,B)、(C,D)、

(D,Ay(D,B)、(D,C),

•••小红、小梅能分在同一组的概率是：⅛=∣.

19.【答案】解：(1)画出树状图如下:

∙∙∙P(两只都为红枣馅)=今=/

(2)这样模拟不正确，理由如下：

连续两次掷骰子点数朝上的情况有

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16利I,而满足条

件的情况有4种，

.∙∙P(点数3,4向上)=a=扛「(两只均为红枣馅)，

・•.这样模拟不正确.

【解析】本题考查用列举法求概率，以及概率公式.

20.【答案】解：(1)设每辆中巴车有座位X个，每辆大客车有座位(x+15)个，依题意有

270_270+30

X-%+15+ɪ

解之得：Xl=45,%2=-90(不合题意，舍去).

经检验X=45是分式方程的解，

故大客车有座位：X+15=45+15=60个.

答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个.

(2)解法一*：

①若单独租用中巴车，租车费用为需X350=2100(元)

②若单独租用大客车，租车费用为(6-1)×400=2000(元)

③设租用中巴车y辆，大客车(y+l)辆，则有

45y+60(y+1)≥270

解得y≥2,当y=2时，y+1=3,运送人数为45X2+60X3=270人，符合要求

这时租车费用为350×2+400×3=1900(元)

故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车

费少100元.

解法二：①、②同解法一

③设租用中巴车y辆，大客车(y+l)辆，则有

350y+400(y+1)<2000

解得:y<f∣.

由y为整数，得到y=1或y=2.

当y=l时，运送人数为45X1+60x2=165<270,不合要求舍去；

当y=2时，运送人数为45x2+60x3=270,符合要求.

故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车

费少IoO元.

【解析】(1)每辆车的座位数：设每辆中巴车有座位X个，每辆大客车有座位(x+15)个，可座学

生人数分别是：270、(270+30).车辆数可以表示为竽,方辔，因为租用大客车少一辆.所以,

中巴车的辆数=大客车辆数+1,列方程.

(2)在保证学生都有座位的前提下，有三种租车方案：

①单独租用中巴车，需要租车瑞=6辆，可以计算费用.

②单独租用大客车，需要租车(6-1)辆，也可以计算费用.

③合租，设租用中巴车y辆，则大客车(y+1)辆，座位数应不少于学生数，根据题意列出不等式.注

意，车辆数必须是整数.三种情况，通过比较，就可以回答题目的问题了.

本题具有一定的综合性，需要考虑学生人数、座位数、车辆数、三者之间的关系，从而得出每个

车辆的座位数.第二问，在保证学生都有座位的前提下，租车方案有三种，需要分类、比较.

21.【答案】解：过点C作CE,2B于E,过点B作BFlCD于尸,

在Rt△BFC中，

∙.∙NDBF=30。，SinNOBF=黑=；,CoSwBF=黑=

ifULBD2

∙∙∙BD=8米，

•••DF=4（米），BF=4√5（米），

"AB//CD,CELAB,BF1CD,

四边形BFCE为矩形，

.∙.BF=CE=4g（米），CF=BE=CD-DF=1（米），

在Rt△4CE中，NACE=45°,

.∙.AE=CE=4√5(米)，

.-.AB=(4我+1)(米).

答：铁塔48的∣¾为(4Λ∕5+l)m∙

【解析】过点C作CEJ.4B于E,过点B作BFJ.CO于F,在RtABFD中，分别求出DF、BF的长度,

在Rt△4CE中，求出4E、CE的长度，继而可求得的长度.

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用

三角函数的知识求解.

22.【答案】（1）证明：∙∙∙BF"4D,

・∙・Z-ADB=Z-DBF9

VZ-ADB=Z.ACB1

：.4DBF=∆ACB；

(2)NG。。与ZADC之间的数量关系为：24GOD+ΛADC=240°.

理由如下：

作OMIDC于点M,连接0C.

∙.∙AD//BF,

∙∙∙AB=DF,

F为CD中点,

.-.CF=DF=AB1

乙

ʌZ-ACB—CBF=Z.DBF9

∙∙∙4CJLB。于G,

・・・乙BGC=Z-AGD=90°,

・•・乙DBF+乙CBF+乙ACB=90°,

・•・Z-ACB=乙CBF=乙DBF=30°,乙DBC=60°,

・・・∆ADB=∆ACB=30°,乙DOC=2乙DBC=120°,

VOD=OC,

・・・∆ODM=30°,

设GE=%,则AG=.

∙∙.DG=举X，BG=√3χ,GC=3x,DC=孚χ,OM=挚％,QD=—%，

2242

・•.DG=ODf

・・・2∆GOD+乙ODG=180°,

∙∙∙44D8+NODC=600,

・•・2乙GoD+乙ODG+乙408+乙ODC=240°,

B∣J2zG0D+Zi4DC=240o.

【解析】(1)根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论.

(2)作OMJ.DC于点M,连接0C.先证明NACB=/CBF=NCBF=30。，再根据AG与GE的关系推

出DG=。。，然后可得出结论.

本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30。的直角三角形的性质、

勾股定理等知识点，判断出乙4CB=4CBF=乙DBF=30。以及证明DG=。。是解答的关键.

23.【答案】解：(I)当％=20时，y=-IOx+500=-10×20+500=300,

300X(12-10)=300×2=600元，

即政府这个月为他承担的总差价为600元；

(2)由题意得,W=(%-10)(-10x+500)

=-IOx2+600x-5000

=-10(x-30)2+4000

∙.∙α=-Io<0,.••当久=30时，W有最大值4000元.

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元，

(3)由题意得：-IoX2+600χ—5000=3000,

解得：x1=20,X2=40.

a=-10<0,抛物线开口向下，

.∙.结合图象可知：当20≤x≤40时,3000≤x≤4000.

又X≤28,

•・•当20≤x≤28时，W≥3000,

设政府每个月为他承担的总差价为P元，

.∙.p=(12-10)X(-IOx+500)

=-20X+1000.

∙∙∙k=-20<0..∙∙P随X的增大而减小，

当X=28时，P有最小值440元.

即销售单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价最少为440元.

【解析I(I)求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题.

(2)构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

(3)根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题.

本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关

键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中

的最值问题，属于中考常考题型.

24.【答案】（1）证明：过点M作MF于F,作MGJ.BC于G,如图①所示:

・・・Z.AFM=Z.MFB=乙BGM=乙NGM=90°,

•・•四边形48CD是正方形，

o

・・・∆ABC=Z-DAB=90,AD=ABf乙ABD=乙DBC=45°,

-MFLAB9MGIBCf

.∙.MF=MG,

•・•∆ABC=90°,

・•・四边形FBGM是正方形，

・・・乙FMG=90°,

・・・4FMN+乙NMG=90°,

∙∙∙MN14M,

・・.∆AMF+乙FMN=90°,

・・・Z-AMF=乙NMG,

在△4M尸和aNMG中，

∆AFM=Z-NGM

MF=MG

.∆AMF=乙NMG

NMG(ASA)9

・•・MA=MN；

(2)解：在Rt△4MN中，由(I)知：MA=MNf

・•・乙MAN=45°,

•・・Z.DBC=45°,

・•.∆MAN=CDBC,

・•・Rt△AMNSRt△BCD,

.SAAMN—rAN、2

∙∙SABCD~(而),

在RMABD中，AB=AD=6,

ʌBD=6Λ∕2,

AN2_13

‘南厂适

解得：AN=2√13,

・・・在RtZkABN中，BN=√½W2-½B2=J(2√13)2-62=4»

•・•在Rt2∖AMN中，MA=MN,O是AN的中点，

・・・OM=OA=ON=^AN=√13,OM1AN,

・•・Z.AOP=90°,

・・・Z,AOP=(ABN,

V∆PAO=∆NABf

・•.△PAO^Δ,NAB9

・・・”=竺即："=W,

BNAB146

解得：OP=罕，

.∙.PM=0M+0P=√13+ɪ=ɪ;

(3)解：过点A作4尸IBD于尸，如图③所示:

・•・∆FAM+∆AMF=90°,

∙∙∙MN1∕M,

・•・乙AMN=90°,

・・・Z,AMF+乙HMN=90°,

・・・Z-FAM=LHMN,

∙.∙NH1BD,

：.Z.AFM=乙MHN=90o,

在△?!〜”和仆MHN中，

∆FAM=4HMN

乙AFM=4MHN,

AM=MN

.♦.△4FM三AMHN(44S),

.∙.AF=MH,

在等腰直角^ABO中，TAFLBD,

ʌAF=^BD=TX6>∕2=3>∕2,

.∙.MH=3√2.

∙.∙½M=2√5-

.∙.MN=2√5.

.∙.HN=^MN2-MH2=J(2√5)2-(3√2)2=√2-

•••SAHMN=TMH∙"N=gx3√Σx√I