2023年上海市嘉定区高三下学期高考二模数学试卷含答案

2022学年第二学期高三年级质量调研

数学试卷

（本试卷共21道试卷，满分150分，考试时间120分钟）

填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4

分，后六题每题得5分.

1.已知复数z=3+4i,其中i是虚数单位，则IZI=.

22

2.双曲线---=1的离心率为.

97

3.已知A=]dp4θ1,B={x∣x≥l},则4ΓB=.

4.函数y=sin2x的最小正周期为.

5zABC是边长为1的等边三角形，点M为边4?的中点，则AC∙AM=.

6.已知函数y=2r+^~,定义域为（0,+∞）,则该函数的最小值为.

7.已知〃∈N,若C.=Γ^,则〃=.

2〃/7—1

s

8.已知数列{4}的通项公式为an=2二心；前〃项和为"，则，如C=.

9.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为正的正方形，侧棱长均为石.若点4B、C、D

在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为.

10.已知某产品的一类部件由供应商A和8提供，占比分别为1和女，供应商A提供的部件

33

的良品率为0.96.若该部件的总体良品率为0.92,则供应商B提供的部件的良品率

为.

11.如图，线段ΛB的长为8,点C在线段AB上，AC=2.点P为线段CB上任意一点，点

A绕着点C顺时针旋转，点JB绕着点P逆时针旋转.若它们恰重合于点。，则△CDP的面

积的最大值为________.

-----------1、

iAc

x+aPB

12.若关于X的函数y在R上存在极小值

e

（e为自然对数的底数），则实数”的取值范围为.

选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一

个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.

13.设αeR,则“α<l"是“Y，，的（）

A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；

C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.

14.函数y=IgQ-x）+lg（l+x）是（）

A.奇函数；B.偶函数；C.奇函数也是偶函数；D.非奇非偶函数

15.已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为凡,与该正方体每条

棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为&，则下列关系正确的是（)

A.«：&：居=痣:6：2；B.R]+R2=R3；

C.R；+7?/=鼠；D.Rj+咫=/?/.

16.有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万.该笔资金也可以做房产投资或商业投

资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为Q2、

0.7、Ql.据此判断房产投资的收益X1和商业投资的收益X2的分布分别为

fXl113-3^∣（X274-2>

0.20.70.1J[p0.20.70.1J

则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（）

A.存银行；B.房产投资；C.商业投资；D.房产投资和商业投资均可.

三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，正四棱柱ABCD-ABe。中，43=2,点区产分别是棱3C和CG的中点.

（1）判断直线ΛE与D尸的关系，并说明理由;

Tr

（2）若直线AE与底面ΛB8所成角为巳，求四棱柱ABa）-A4G。

的全面积.'

A

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

TCoSX

已知向量4=(sinx,l+cos2x),f(x)=a-b.

（1）求函数y="χ）的最大值及相应X的值;

7

(2)在AABC中，角A为锐角，S,A+B=-π,/(A)=1,BC=Z,求边AC的长.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到

单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共

40个记录:

n(ad-bc)~

附：Z2,p(z2>3.841)≈0.05

(α+6)(c+d)(α+c)(b+d)

20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该

点处的切线，该公共点为切点.己知抛物线G：V=4"和C2：f=4y,其中4>0.G与C2

在第一象限内的交点为P∙C1和G在点P处的切线分别为人和4，定义4和的夹角为曲线

cl>G的夹角.

(1)求点P的坐标；

(2)若G、C,的夹角为arcta∏3,求”的值；

^4

(3)若直线4既是G也是G的切线，切点分别为Q、R，当AP0R为直角三角形时，求

出相应的。的值.

21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

已知AX)=X+2sinx,等差数列｛为｝的前“项和为S,,,记7；=£八4).

∕=i

(1)求证：函数y=∕(x)的图像关于点(π,兀)中心对称；

(2)若q、出、生是某三角形的三个内角，求4的取值范围；

(3)若SK)O=IO0π,求证：7Joo=lOOπ.反之是否成立？并请说明理由.

参考答案

填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4

分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.

415r-

1.52,-3.1114.π5.-6.17.38.-9.2π10.0.911.2√2

31142

12.(0,4)

二.选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一

个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.

13.B14.BI5.C16.C

三,解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.(1)解：连结斯、A2、BCt,

因为点区产是中点，所以且,

因为正四棱柱，所以四边形ABCa是矩形，则Aq"BG且曲=BG

于是EFHAD,且EF=gAD1,则四边形EFD1A是梯形，

所以直线北与RF是相交直线.

(2)解：连结。E,因为Λβ=2,点E是中点，所以在直角三角形DEC中，DE=y∣5,

因为正四棱柱，所以QDl面ΛBCO,则NREC是直线AE与底面ABa)所成角,

所以NREo=45°,于是DDl=DE=卮

所以全面积为S=4x2后+2x4=8石+8.

,/,X⅛cι∖l+cos2xsin2x+cos2x1y/2.(兀)1

1o8.(1)zj解：V=/lx)=Sinx-Cosx+---------=-------------------+—=——sin2x+一+一

v722224J2

所以函数y="x)的最大值为变+Li⅛时X=E+々ZeZ).

228

(2)解：因为〃A)=l,所以孝sin(2A+；)+；=l,又角A为锐角，则A=：,

因为A+8=2∙π,所以3=殳.

123

由正弦定理，则空=型，即AC=匹SinB=

sinAsinBsinA

19.解：M=43,

填表

超过M不超过M

上班时间812

下班时间713

(2)解：假设上下班的通勤时间没有显著差异,

则人行翳抵喘<3.841,不能拒绝原假设,

2n(ad-bc)~

”(a+⅛)(c+J)(α+c)(fe+J),

所以，上下班的通勤时间没有显著差异.

20.(1)解：设点P(x,y),联立方程H=4以，解得卜=4。'即p(4*,4*).

[x2=4y[),=城17

(2)解：设4和的斜率分别为4和A2,因为P在第一象限内，对于V=4"考虑函数

y=>j4ax,求导V=GJ=,代入点P横坐标，得K=G=

√x√4α52

对于∕=4y,考虑函数y='，求导y'=(代入点尸横坐标，得心=2“工

因为G、C,的夹角为arctan』，所以∕∣和/,的夹角为arctan3,由夹角公式得：勺二殳=3,

^44l+k,k24

化简为I浸=1(1+浸)，即“一1『=0,得α=l.

(3)因为Z3显然不与坐标轴平行，所以其方程设为y=Λx+伙kwθ),

因为％和C只有一个公共点，所以方程组[)'=4公有两个相同的解，所以

[y=kx+h

ky1-4ay+4ab=0的判别式=0,即]—妨二。，.

同理方程组『一二4)'有两个相同的解，所以/_4履-46=0的判别式A,=0,即&2+o=o,.

y=kx+b

a-kb=Q[k=-ɑɪ7∩

联立方程2,解得，，又点。纵坐标为幺、点A横坐标为2%,所以

k'+b=Ob=-a3k

Q(a，,一、及一2α%α].

设浸=，,则尸(4人4巧,Q(L-2产),/?(-2r,r),

若NPQR为直角，则。尸∙QR=O,-9r+18√=0,t=与,

若NQRP为直角,则RQ∙RP=O,18r-9r4=0,r=√2,α=2√2;

若NRPQ为直角，则PR∙PQ=0,I8r2+I8∕4=θ,无解，

综上，a=立或α=2应为所求.

4

21.(1)证：在函数y=x+2sinx的图像上任取一点尸(x,y),点P关于点(π,兀)的对称点

为尸'(2π-x,2π—y),而/(2兀一x)=2π-x+2sin(2兀一X)=2冗一x-2Sin犬=2兀一》,

所以点P(2π-x,2π-y)在函数y=∕(x)图像上，所以函数y=∕(x)的图像关于点

(π,π)中心对称.

⑵解：若小％、％是某三角形的三个内角，则q+出+%=兀，又｛叫为等差数列，则的q，

Ti=/(al)+/(02)+/(a,)=α1+a2+a3+2(Sinq+sin02+sin)=π++2(sinal+sinai),

T3=π+λ∕3+4(Sin%；%CoS",4)=π+G+2+CoSal,

不妨设0<4∣≤%<：兀，则一■!兀<q-%≤0，于是COSqO&∈，

所以《e(τt+2xΛ,