换元积分法与分部积分法

§8.2换元积分法与分部积分法教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．根本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．教学过程：一、第一类换元法——凑微分法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用根本积分表求出积分。例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为令那么上述右端积分然后再代回原来的积分变量，就求得原不定积分更一般的，假设函数是函数的一个原函数，是可微函数，并且复合运算有意义，根据复合函数求导法那么

及不定积分的定义，有

由于

从而

〔1〕综上所述，可得如下结论定理8.4：〔第一换元积分法〕设是连续函数，是的一个原函数。又假设连续可微，并且复合运算有意义，那么

〔2〕第一换元积分公式〔2〕说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式，可通过变量代换把被积表达式等同于，假设不定积分

容易求得，那么再将代入，便求出原不定积分由于第一换元积分法的根本手段就是将被积表达式变为的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。凑微分法1：例１、利用，求以下积分，令有再将代入，有令，有再将代入，有令再将代入，有如果运算比拟熟练，为了简化解题步骤，变量代换可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了。凑微分法2、.特别地,有和.例２、利用，求以下积分＝解：〔4〕例３、假设被积函数利用，有如下公式求以下积分以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用根本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。例４、将以下被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分＝＝凑微分法3：例５、对于与形式的积分，当是偶数时，可利用三角恒等式来降低三角函数的幂，当是奇数时，变正〔余〕弦函数的积分为余〔正〕弦函数的积分。＝＝例６、对于形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式＝例７、根据＝例８、＝凑微分法4：.例9、凑微分法5：例10、凑微分法6：.例11、.其他凑法举例:例12、.例13、例14.例15、.例16、.例17、例18、.以上例子大都采用了初等数学〔代数或三角函数〕中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。习题：P188—1891〔1〕～(24)；二、第二类换元法 从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即==在式〔１〕中，如果容易求得，并且，那么式〔2〕右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。第二换元积分法可以确切的表达如下。定理8.5〔第二换元积分法〕:设是连续函数，是连续可微函数，且定号，复合运算有意义。设是的一个原函数，即

那么

=

〔3〕其中。证明：有定理假设定号，，故函数存在反函数，又

于是=可见是式〔3〕左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式〔3〕成立。第二换元积分法指出，求式〔3〕左端不定积分，作变量代换，从而，于是假设上式右端的不定积分

〔4〕容易求出，那么再代回原来的变量，便求出原不定积分由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换，从而使式〔4〕的不定积分容易求出。那么如何选择变换呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，假设被积函数中有根式，一般选择适当的变换来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积分容易求出。常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.以下我们着重介绍三角代换和无理代换.1、三角代换〔1〕正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,那么例19、计算解：令，且从而

=

=由图2.1知

所以==〔2〕正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式令有变量还愿时,常用辅助三角形法.例20、计算

解“令存在反函数。这里仅讨论的情况，同法可讨论的情况。由于0<t<，，从而

由图2.2知，，所以这里〔3〕正切代换：正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即令.此时有变量复原时,常用所谓辅助三角形法.例21、计算〔〕解：令那么存在反函数。且，从而=由图2.3知

sect=

所以=这里。总结例2.19～2.21，有如下规律：〔1〕假设被积函数含有，一般令或〔2〕假设被积函数含有，一般令〔3〕假设被积函数含有，一般令2、无理代换假设被积函数是的有理式时,设为的最小公倍数,作代换,有.可化被积函数为的有理函数.例22、计算解：为了去掉被积函数的根式，令，即作变量代换那么，从而==

=例23、.假设被积函数中只有一种根式或可试作代换或.从中解出来.例24、.此题还可用割换计算,但较繁.3、双曲代换利用双曲函数恒等式,令,可去掉型如的根式..化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如:〔参阅复旦大学(陈传璋等)编,数学分析,上册P24.〕例25、.此题可用切换计算,但归结为积分,该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例26、(可用切换计算过该题.现用曲换计算).解：.例27、.(曾用割换计算过该题.现用曲换计算).解4、倒代换当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换例28、.5、万能代换万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261).令，就有，，例29、.解法一：(用万能代换).解法二：(用初等化简).解法三：(用初等化简,并凑微)例30、解：=.代换法是一种很灵活的方法.习题：[1]P1891(25)(27)(28)～(30)三、分部积分法设与均为的连续可微函数。于是，由函数乘积的求导公式，有

或

再由不定积分的定义及线性性质，有

即

〔5〕或

〔6〕

公式〔5〕或公式〔6〕称为不定积分的分部积分公式。一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比拟难求甚至无法求出的不定积分转变成容易求的不定积分，起到化繁为简的作用。对于给定的不定积分作分部积分运算，通常要把被积函数分解为两个因子的乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作也会有多种选择。选择不同，效果不一样的。例如，在积分中，假设选择，，那么

并没有到达简化积分计算的目的。假设选择，，那么

由此可见，与的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部积分技巧。一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，假设被积函数是幂函数与指数函数或三角函数的乘积时，应选择；假设被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，应选择。1、幂X型函数的积分分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂”型的积分,使用分部积分法可使“幂”降次,或对“”求导以使其成为代数函数.例31、计算以下不定积分〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

〔5〕

2、建立所求积分的方程求积分分部积分追求的另一个目标是:对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来.例32、例33、求和解：解得例34、解：==〔参阅例41〕解得例35、=，解得.例36、==,解得.分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分。例37、计算以下不定积分〔1〕。设，那么

再由例21，有=故原积分

这里〔2〕计算和解：==

=移项，整理，有

=同理可得

=在含有自然数的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式。例38、n〕解：

=即

这就是递推公式。例如时有=

〔n，)解：设

，那么==从而

〔7〕特别当时，有于是利用递推公式〔2.7〕，有=++这里=分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳。例39、计算解：==

==由图8.2.4

所以通过本节的讨论，我们还应在根本积分表中再补充如下公式：

根本积分表〔补充〕综上所述，我们已经对求不定积分的根本方法进行了全面的讨论。由不定积分的定义知，求不定积分的运算是微分法的逆运算。而第一、第二换元积分法对应与复合函数求导的链式法那么，分部积分法那么是基于乘积函数的求导法那么推导出来的。求不定积分的根本思想是：采用各种方法将被积函数化为根本积分表中的被积函数的形式或它们的线性组合。然后利用根本积分表和线性性质求出不定积分。显然，掌握较多的不定积分公式会给求不定积分带来方便，为此人们把一些常用的不定积分公式聚集起来，做成根本积分表。同学们可以利用这个表进行运算。但是无论容量多么大的积分表也不能把所有的不定积分都罗列出来。所以，上面介绍的求不定积分的各种方法都是最根本的，作为初学者必须掌握。另外，把不定积分法与微分法相比拟，求积分要比求微分困难的多，复杂的多，甚至于有些被积函数很简单，但他们的不定积分却无法积出。例如：

，等等这说