2023-2024学年济宁市高中学段学校数学八年级上册期末质量检测试题含解析

2023-2024学年济宁市高中学段学校数学八上期末质量检测试

题

题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷

及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔

在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图一个五边形木架，要保证它不变形,至少要再钉上几根木条（）

A.4B.3C.2D.1

2.若等腰三角形的周长为40,一边为16,则腰长为（）

A.16B.12C.16或12D.以上都不对

3.下列四个命题中，真命题有（）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等;②三角形的一个外角大于任何一个内角;

③如果Nl和N2是对顶角，那么N1=N2;④若a1=b2>则α=T.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.微信已成为人们的重要交流平台，以下微信表情中，不是轴对称图形的是（）

5.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

Xx+l

A.---D.------

y

6.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.ICm,2Cm,4CmB.15cm,9cm,3cmC.14cm,13cm,5cm

D.4cm,7cm.∖3cm

7.在平面直角坐标系中，点”（-3,-6）关于y轴对称的点的坐标为（）

A.（一3,6）B.（3,-6）C.（3,6）D.（—6,—3）

8.如图，高速公路上有A,5两点相距IOkm,为两村庄，已知

DA=4km,CB=6km,_LAB于A,CB，A3于B,现要在AB上建一个服务站

E,使得C,。两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（）km.

AEB

/\

4fowJj、、、6km

，、

J、

D'、、

、

C

A.4B.5C.6D.√20

9.下列命题，是真命题的是（）

A.三角形的外角和为180。

B.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

D.垂直于同一直线的两直线互相垂直.

10.对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化,

其中，可以看作是轴对称图形的有（）

H.若JTT亍在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x<2B.χ≥-2C.X<—2D.X>—2

12.在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A.1,2,4B.1,4,9C.3,4,5D.4,5,9

二、填空题（每题4分，共24分）

13.把多项式用3_4m2n+4mn2分解因式的结果为

14.如图，将等边ΔABC沿AC翻折得ΔADC,AB=2√3,点七为直线AO上的一

个动点，连接CE,将线段EC绕点C顺时针旋转/BCZ）的角度后得到对应的线段C产

（即ZECF=ABCD）,EF交CD于点P,则下列结论:①AO=OC；②AC_LBD；

③当E为线段AO的中点时，则PE=6A8；④四边形ABCO的面积为46；⑤连

接AE、DF,当。E的长度最小时，则ΔACF的面积为？力.则说法正确的有

2

（只填写序号）

16.如果y=Jx-2+，2-x+3,那么y'值是.

17.八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180Am的风景区度假，出发一小时

内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达

风景区；第二天返回时以去时原计划速度的L2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差

分钟.

y=k.x+b.

18.如图，y=kιx+b∣与y=k2x+b2交于点A,则方程组＜.的解为______.

y=κ2x+b2

19.（8分）已知x、y是实数，且X=Jy-5++1,求9x-2y的值.

20.（8分）阅读下列材料，并按要求解答.

（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC中，ZACβ=90o,CB=CA,直线E。经

过点G过A作AQ_LEO于点O,过8作BELE。于点E.求证：4BE8ACDA.

（模型应用）

o2

应用1：如图②，在四边形A5C。中，ZADC=90,AD=6,CD=8,BC=IO1AB

=1.求线段8。的长.

应用2：如图③，在平面直角坐标系中，纸片AOPQ为等腰直角三角形，QO=QP,P

(4,机)，点0始终在直线OP的上方.

(1)折叠纸片，使得点尸与点。重合，折痕所在的直线/过点。且与线段QP交于点

M,当所=2时，求。点的坐标和直线/与X轴的交点坐标；

(2)若无论,〃取何值，点。总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析

式______

21.(8分)(1)如图，已知AABC的顶点在正方形方格点上每个小正方形的边长为L写

出ΔA3C各顶点的坐标

(2)画出ZVSC关于y轴的对称图形MGG

22.(10分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中NC=90。,

NB=NE=30°.

图4

(1)操作发现如图1,固定AABC,使ADEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上

时，填空：线段DE与AC的位置关系是一；

②设ABDC的面积为Si,AAEC的面积为Si.则Sl与SI的数量关系是.

（1）猜想论证

当ADEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中Sl与Sl的数量关系仍然

成立，并尝试分别作出了ABDC和AAEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知NABC=60。，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,OE〃AB交BC于点E（如

图4）,若在射线BA上存在点F,使SADCF=SABDC,请直接写出相应的BF的长

23.（10分）求下列各式中的X.

（D5X2=10;

（2）（x+4）3=-8.

24.（10分）如图，在四边形ABCD中，ADHBC,/0=90°,AD=3,BC=2,

分别以点A、C为圆心，大于LAC的长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AO

2

于点F,交AC于点。.若点。是AC的中点.

（1）求证：BElACt

在ZVLBC中，AC=BC,NACB=90。，点E在直线BC上（RC除外），分别经过

点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F,研究AE和EF的数量关系.

（探究发现）

某数学兴趣小组在探究A£,炉的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发

现当点E是BC中点时，只需要取AC边的中点G（如图1）,通过推理证明就可以得

到和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

（数学思考）

那么点E在直线BC上（B,C除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立

呢？

请你从“点E在线段BC上”“点E在线段BC的延长线上”“点E在线段BC的反向延

长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.

26.南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每

株乙种兰花的成本多IOO元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花

数量相同.

（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？

（2）该种植基地决定在成本不超过3000（）元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙

种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把五边形分成三角形即可.

【详解】如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条.

【点睛】

本题考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能

唯一确定下来，故三角形具有稳定性.

2、C

【分析】分两种情况：腰长为12和底边长为12,分别利用等腰三角形的定义进行讨论

即可.

【详解】若腰长为1,则底边为40-16x2=8

此时，三角形三边为16,16,8,可以组成三角形，符合题意；

若底边长为1,则腰长为(40—16)÷2=12

此时，三角形三边为12,12,16,可以组成三角形，符合题意；

综上所述，腰长为12或L

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义并分情况讨论是解题的关键.

3、A

【分析】逐一对选项进行分析即可.

【详解】①两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故错误；

②三角形的一个外角大于任何与它不相邻的两个内角，故错误；

③如果Nl和N2是对顶角，那么N1=N2,故正确；

④若/=〃，则或α=-b,故错误.

所以只有一个真命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查真假命题，会判断命题的真假是解题的关键.

4、C

【解析】根据轴对称的概念作答：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互

相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.

【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了轴对称的概念，解题关键是掌握轴对称的概念并能找到对称轴.

5、A

【分析】根据分式的基本性质逐项计算即得答案.

【详解】解：根据分式的基本性质，若X、y的值均扩大为原来的2倍，贝!|：

2尤X

A、-~—=^,分式的值保持不变，本选项符合题意；

2x-2yX-y

2-2x4xX1

B、TTV=二'=7,分式的值缩小为原分式值的一，本选项不符合题意；

(2y)y2

c、住L="1=竺，分式的值扩大为原来的两倍，本选项不符合题意；

2y2yy

2x+lx+1,•—一

D、——≠——,本选项不符合题意.

2yy

故选：A.

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

6、C

【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可.

【详解】解：A、l+2<4,不能组成三角形，故此选项错误；

B、3+9<15,不能组成三角形，故此选项错误；

C,13+5>14,能组成三角形，故此选项正确；

D、4+7<13,不能组成三角形，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长

度即可.

7,B

【解析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可.

【详解】V(mʌn)关于y轴对称的点的坐标是(-m、n),

.∙.点M(-3,-6)关于y轴对称的点的坐标为(3,-6),

故选B.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解

题的关键.

8、A

【分析】根据题意设出EB的长为X,再由勾股定理列出方程求解即可.

【详解】设EB=X,贝IlAE=IO-X,

由勾股定理得：

在Rt∆ADE中，

DE2=AD2+AE2=42+(10-X)∖

在RtZ∖BCE中，

CE2^BC2+BE2=61+X2,

由题意可知：DE=CE,

所以：42+(10-X)2=62+X∖

解得：x=4(km).

所以，EB的长为4km.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查的是勾股定理的运用，主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示

出来，运用方程思想求解.

9、B

【分析】根据三角形的性质,平行与垂直的性质逐一判断即可.

【详解】解:A.三角形的外角和为360°,故错误；

B.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以它大于任何一个和它不相邻的

内角,故正确；

C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故错误；

D.垂直于同一直线的两直线互相平行,故错误.

故选:B.

【点睛】

本题通过判断命题的真假考查了几何基本图形的性质定理,理解掌握相关性质是解答关

键.

10、D

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说

这个图形关于这条直线(成轴)对称.

【详解】解：4个图形都是轴对称图形.

故选D∙

【点睛】

本题考查了轴对称图形的定义.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

11>B

【分析】根据被开方数大于等于O列式计算即可得解.

【详解】由题意得，x+l≥O,

解得Xe-L

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

12、C

【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边对各项逐一判断

A选项，l+2<4;故不能组成三角形

B选项，l+4<9;故不能组成三角形

C选项，3+4>5;故可以组成三角形

D选项，4+5=9；故不能组成三角形

故选C

考点：三角形的三边关系

点评:此题主要考查学生对应用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情

况,注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定三条线段能构成

一个三角形

二、填空题(每题4分，共24分)

13、m(m-2n)2

【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解.

【详解】解：—4∕∕j2∕2+4m2=m[jτΓ-4mn+4n2^-m(m-2n)2.

故答案为：m(m-2n)1.

【点睛】

本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键.

14、①©

【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质，得到四边形ABCD是菱形，则可以判断

①、②；当点E时AD中点时，可得ACPF是直角三角形，CE=CF=3,得到

PF=2粗=AB,可以判断③；求出对角线的长度，然后求出菱形的面积，可以判断

©;当点E与点A重合时，DF的长度最小，此时四边形ACFD是菱形，求出对角线

EF和CD的长度，求出面积，可以判断⑤；即可得到答案.

【详解】解：根据题意，将等边AABC沿AC翻折得ΔΛDC,如图：

ʌAB=AD=BC=CD=AC=2yβ>ZBCD=120o,

.∙.四边形ABCD是菱形，

ΛAC±BD,AO=CO,BO=DO;故①、②正确；

：.Ao=LAC=√L

2

22

ΛBO=Λ∕(2√3)-(√3)=3,

:∙BD=69

：.菱形ABCD的面积='AC・BD=2X2石X6=6百，故④错误;

22

当点E时AD中点时，CE±AD,

ΛDE=√3,ZDCE=30o,

，CF=CE=3,

'：NECF=NBCD=I2。。,

ZPCF=120o-30o=90o,ZF=30o,

：.PF=26=AB,故③错误；

当点E与点A重合时，DF的长度最小，如图：

VAD√CF,AD=AC=CF,

.∙.四边形ACFD是菱形,

ΛCD±EF,CD=2√3,EF=BD=6,

Sgb=;S菱形ACFO=Jxgx2√5χ6=3√5;故⑤错误;

.∙.说法正确的有：①②；

故答案为：①②.

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质，菱形的性质、等边三角形的性质，勾股定

理、菱形的面积，三角形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和等边

三角形的性质是解决问题的关键.

15、2

2

x-y113X3

【解析】由一-=得χ-y=^y,即x=—y,故一=±.

y222y2

3

故答案为一.

2

16、1

【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出X,y的值，然后代入即可求出答案.

【详解】根据二次根式有意义的条件可知

x-2≥0

解得x=2

2—X≥O

y=0+0+3=3

∕=32=9

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查代数式求值，掌握二次根式有意义的条件，求出相应的x,y的值是解题的

关键.

17、1

40

【分析】设从家到风景区原计划行驶速度为Xkm∕h,根据“实际时间=计划时间---b

60

得出方程，求出原计划的行驶速度，进而计算出从家到风景区所用的时间以及回家所用

的时间，即可得出结论.

【详解】设从家到风景区原计划行驶速度为Xkm∕h,根据题意可得：

180-x18040

------Fl=------,

1.5Xx60

解得：x=60,

检验得：x=60是原方程的根.

.∙.第一天所用的时间=等—罢=:（小时），

60603

第二天返回时所用时间=180÷（60X1.2）=2.5（小时），

71

时间差=2.5一—=:（小时）=1（分钟）.

36

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，正确得出方程是解答本题的关键.

X——2

18、〈

V=-3

【解析】试题解析：∙.∙y=用χ+4与y=仇交于点（一2,-3卜

y=kix+blX=-2

.∙.二元一次方程组<的解为o

y=k2x+h2[y=-3

IX=—2

故答案为C

V=-3.

三、解答题（共78分）

19、-1.

【解析】根据被开方数大于等于0列式求出X的值，再求出y的值，然后代入代数式进

行计算即可得解.

【详解】解：由题意得，y-5≥0,5-y≥0

Λj=5X=I

Λ9x-2j=9×l-2×5=-1

.∙.9x-2y的值为-1

【点睛】

本题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子右（«>0）叫二次根式.性质：二次

根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

20、模型建立：见解析；应用1：2麻；应用2：（1）Q（l,3）,交点坐标为（∣∙,0）；

(2)y=-x+2

【分析】根据AAS证明45ECg4CD4,即可；

应用1：连接AC,过点B作BHLDC,交DC的延长线于点H,易证44OCgZ∖C∕∕8,

结合勾股定理，即可求解；

应用2：(1)过点尸作PN_LX轴于点N,过点。作QZCLy轴于点K,直线KQ和直线

N尸相交于点"，易得：∆0KQ^ΛQHP,设"(2,j),列出方程，求出y的值，进而

求出。(1,3),再根据中点坐标公式，得P(2,2),即可得到直线1的函数解析式，进

而求出直线1与X轴的交点坐标；(2)设。(x,y),由40KQgZ∖Q"P,KQ=x,OK

=HQ=y,可得：J=-x+2,进而即可得到结论.

【详解】如图①，'：ADLED,BEA.ED,NAC8=90°,

：.ZADC=ZBEC=9Qo,

：.NACD+NDAC=ZACD+ZBCE=90°,

.∙.ZOAC=ZBCE,

∖,AC=BC,

：.ABEC冬ACDA(AAS)；

应用1：如图②，连接AG过点8作交OC的延长线于点H,

VZADC=90o,AD=6,CD=S,

ΛAC=10,

VBC=IO,AB2=I,

ΛAC2+BC2=AB2,

ΛZACB=90o,

VZADC=ZBHC=ZACB=90°,

ZACD=ZCBH,

'：AC=BC=IO,

△△ADgACHB(AAS),

.".CH=AD=6,BH=CD=S,

ΛDH=6+8=12,

'：BHLDC,

∙∙∙BD=4BH2+DH2=√260=2√65；

应用2：(1)如图③，过点尸作「ALLx轴于点N,过点。作0cLy轴于点直线KQ

和直线NP相交于点;7,

由题意易：40KQ与AQHP(AAS),

设4(2,y),那么KQ=?H=y--2,0K=QH=2-KQ=6-y,

又∙.∙OK=y,

Λ6-y=y,y=3,

.∙.Q(1,3),

：折叠纸片，使得点尸与点。重合，折痕所在的直线/过点。且与线段。尸交于点M,

.∙.点M是O尸的中点，

∙.∙P(2,2),

ΛM(2,1),

设直线0M的函数表达式为：y=kx+b,

2k+b=∖[k=-2

把。(1,3),M(2,1),代入上式得：＜,C，解得：U

k+b=3[力=5

・・・直线/的函数表达式为：J=-2x+5,

・・・该直线/与X轴的交点坐标为(°,0)；

2

(2),：∆OKQ^∆QHP,

：.QK=PH,OK=HQ,

设Q(x,ʃ),

/.KQ=x,OK=HQ=y,

：.x+y=KQ+HQ=2,

.∙.y=-x+2,

.∙.无论，〃取何值，点。总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y=-x+2,

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握

“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键.

21、(1)A(-2,2),B(-3,-1),C(-1,1)；(2)见解析

【分析】(1)利用坐标可得A、B、C三点坐标；

(2)首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，然后再连接即可.

【详解】解：(1)由图可知：A(-2,2),B(-3,-1),C(-1,1)；

(2)如图，ZkAiBiCi即为所画图形.

【点睛】

此题主要考查了作图一轴对称变换,关键是正确确定组成图形的关键点关于y轴的对称

点位置.

22、解：(D①DE〃AC.②S∣=S>(1)S∣=S?仍然成立，证明见解析；(3)3或2.

【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC,

VZC=90o,NB=NDCE=30。，ΛZDAC=ZCDE=20o.aADC是等边三角形.

ΛZDCA=20o.ΛZDCA=ZCDE=20o.ΛDE√AC.

②过D作DNLAC交AC于点N,过E作EMJ_AC交AC延长线于M,过C作CF±AB

交AB于点F.

由①可知：AADC是等边三角形,DE〃AC,ΛDN=CF5DN=EM.

ΛCF=EM.

VZC=90o,ZB=30°

ΛAB=IAC.

又TAD=AC

ΛBD=AC.

∙.∙s∣='CF∙BD,S,JACEM

1222

.∙.S1=S2.

(1)如图，过点D作DMj_BC于M,过点A作AN_LCE交Ee的延长线于

5

「△DEC是由AABC绕点C旋转得到，

ΛBC=CE,AC=CD,

VZACN+ZBCN=90o,ZDCM+ZBCN=180o-90o=90o,

ΛZACN=ZDCM,

'ZACN=ZDCM

：在AACN和ADCM中，＜NCMD=NN,

AC=CD

Λ∆ACN^∆DCM(AAS),

二AN=DM,

Λ∆BDC的面积和AAEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

即Si=Si;

(3)如图，过点D作DFi〃BE,易求四边形BEDFl是菱形，

所以BE=DF1,且BE、DFl上的高相等，

此时SADCFI=SABDE;

过点D作DF」BD,

VZABC=20o,FID〃BE,

ΛZFιFιD=ZABC=20o,

VBFi=DFi,NFiBD」NABC=30。，NFIDB=90。，

2

.∙.NFlDFl=NABC=20。，

.•.△DFiFi是等边三角形，

ΛDF∣=DFι,过点D作DGj_Be于G,

VBD=CD1NABC=20。，点D是角平分线上一点，

119

...ZDBC=ZDCB=—×20o=30o,BG=—BC=-，

222

.,.BD=3√3

ΛZCDFι=180o-ZBCD=180o-30o=150o,

ZCDF∣=320o-150o-20o=150o,

ΛZCDFι=ZCDF1,

：在ACDFI和ACDFi中，

DF=DF2

<ZCDF=CDF2,

CD=CD

Λ∆CDFι^ΔCDFι(SAS),

.∙.点Fl也是所求的点，

VZABC=20o,点D是角平分线上一点，DE〃AB,

ΛNDBC=NBDE=NABD」x2(r=3()。，

2

X∙.∙BD=3√3,

：.BE=TX36÷cos30o=3,

ΛBFι=3,BFl=BFl+FιFι=3+3=2,

故BF的长为3或2.

23、(1)X=夜或X=(2)X=-6.

【分析】(1)方程两边同时除以5,再利用平方根的定义即可

(2)利用立方根的定义解方程即可

【详解】⑴解：5/=10

X2=2

X=夜或X=—V∑

3

⑵解：(X+4)=-8

x÷4=-2

x=-6

【点睛】

本题主要考查了平方根与立方根的定义，熟记定义是解答本题的关键.

24、(1)详见解析；(2)√3

【分析】(1)连接AE,CE,由题意得AE=CE,根据等腰三角形中线的性质得证AE

=CE.

(2)连接CF,通过证明4AOFgZ∖COB(ASA),求得CF、DF的长，利用勾股定理

求得CD的长.

【详解】(1)连接AE,CE,由题意可知，AE=CE

又=O是AC的中点,.φ.EO±ACBPBE±AC

(2)连接CF,由(1)知，BE垂直平分Ae

/.AF=CF

VAD/7BC,

ΛZDAC=ZBCA

ZDAC=ZBCA

在AAOF和ACOB中∙OA=OC

ZAOF=ZCOB

ΛΔAOF^ΔCOB(ASA)

ΛAF=BC=2,

ΛCF=AF=2,

VAD=3,

ΛDF=3-2=1

VZD=90o,

.∙.在RtZkCFD中，CD=I2?-f=6

答：CD的长为G

本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形中线的性质、全等三角形的判定定理以

及勾股定理是解题的关键.

25、(1)AE=EF;(2)AE=EF;(3)仍然成立AE=EF.

【分析】(1)【探究发现】取AC中点G,连接EG,根据三角形全等的判定即可证明

ΔE4GMAFEB(AS4),即可得出AE和EF的数量关系；

(2)【数学思考】分三种情况讨论：

①若点E在线段BC上，在AC上截取CG=CE,连接GE;

②若点E在线段BC的反向延长线上，在AC反向延长线上截取CG=CE,连接GE;

③若点E在线段BC的延长线上，在AC延长线上截取CG=CE,连接GE;

根据三角形全等的判定即可证明AEAGAFEB(ASA),即可得出AE和EF的数量

关系.

【详解】(1)和M的数量关系为：AE=EF.

理由：如图1,取AC中点G,连接EG,

MBC中，AC=BC,ZACB=90°,

：.ZABC=45°,AG=BE,∖CEG是等腰直角三角形，

二.NCGE=45°,NEG4=135。，

AElEF,ABLBF,